Метод граничного узла - Boundary knot method

В вычислительной математике метод граничных узлов (БКМ) предлагается в качестве альтернативной схемы коллокации функций расстояния без сеток граничного типа.

В последние десятилетия наблюдается бум исследований в области бессеточных численных методов УЧП с момента построения сетки в стандартной метод конечных элементов и метод граничных элементов нетривиальна, особенно для движущихся границ и многомерных задач. Метод граничного узла отличается от других методов, основанных на фундаментальные решения, Такие как метод граничных элементов, метод фундаментальных решений и особый граничный метод в том, что первое не требует специальных методов для устранения сингулярности. BKM действительно бессеточный, спектрально сходящийся (численные наблюдения), симметричный (самосопряженные УЧП), не требует интеграции, его легко изучить и реализовать. Метод был успешно протестирован на уравнениях Гельмгольца, диффузии, конвекции-диффузии и Поссиона с очень нерегулярными 2D и 3D областями.

Описание

BKM в основном представляет собой комбинацию функции расстояния, неособого общего решения и метода двойной взаимности (DRM). Функция расстояния используется в BKM для аппроксимации неоднородных членов через DRM, в то время как неособое общее решение уравнения в частных производных приводит к формулировке однородного решения только на границе. Без особого фундаментального решения BKM устраняет спорную искусственную границу в методе фундаментальных решений. Некоторые предварительные численные эксперименты показывают, что BKM может давать отличные результаты при относительно небольшом количестве узлов для различных линейных и нелинейных задач.

Формулировка

Рассмотрим следующие проблемы,

(1)

{ Displaystyle Лу = е влево (х, у вправо), влево (х, у вправо) в Омега}

(2)

{ Displaystyle и = г влево (х, у вправо), влево (х, у вправо) в partial Omega _ {D}}

(3)

{ Displaystyle { гидроразрыва { partial u} { partial n}} = ч влево (х, у вправо), ч влево (х, у вправо) в partial Omega _ {N }}

куда ${ displaystyle L}$ - дифференциальный оператор, ${ displaystyle Omega}$ представляет вычислительную область, ${ displaystyle partial Omega _ {D}}$ и ${ displaystyle partial Omega _ {N}}$ обозначим границы Дирихле и Неймана соответственно, выполнено ${ Displaystyle partial Omega _ {D} cup partial Omega _ {N} = partial Omega}$ и ${ Displaystyle partial Omega _ {D} cap partial Omega _ {N} = varnothing}$ БКМ использует неособое общее решение оператора ${ displaystyle L}$ чтобы аппроксимировать численное решение следующим образом,

(4)

{ displaystyle u ^ {*} left (x, y right) = sum limits _ {i = 1} ^ {N} alpha _ {i} phi left (r_ {i} right) }

куда ${ displaystyle r_ {i} = left | left (x, y right) - left (x_ {i}, y_ {i} right) right | _ {2}}$ обозначает евклидово расстояние, ${ Displaystyle фи влево ( CDOT вправо)}$ удовлетворяется ли общее решение

(5)

{ Displaystyle L phi = 0}

Используя технику коллокации для удовлетворения граничных условий (2) и (3),

(6)

{ Displaystyle { begin {align} & g left (x_ {k}, y_ {k} right) = sum limits _ {i = 1} ^ {N} alpha _ {i} phi left (r_ {i} right), qquad k = 1, ldots, m_ {1} & h left (x_ {k}, y_ {k} right) = sum limits _ {i = 1 } ^ {N} alpha _ {i} { frac { partial phi left (r_ {i} right)} { partial n}}, qquad k = m_ {1} +1, ldots , м конец {выровнено}}}

куда ${ displaystyle left (x_ {k}, y_ {k} right) | _ {k = 1} ^ {m_ {1}}}$ и ${ displaystyle left (x_ {k}, y_ {k} right) | _ {k = m_ {1} +1} ^ {m}}$ обозначает точки коллокации, расположенные на границе Дирихле и границе Неймана соответственно. Неизвестные коэффициенты ${ displaystyle alpha _ {я}}$ может быть однозначно определена по формуле выше. (6). И тогда решение BKM в любом месте расчетной области может быть оценено по формуле (4).

История и недавние события

Давно замечено, что метод граничных элементов (БЭМ) - это альтернативный метод метод конечных элементов (FEM) и метод конечных объемов (FVM) для бесконечной области, тонкостенных структур и обратные задачи, благодаря возможности уменьшения размеров. Однако основными узкими местами БЭМ являются дорогостоящие вычисления для оценки интеграции единственного фундаментального решения и создания поверхностной сетки или повторной сетки. Метод фундаментальных решений (МФС)^[1] в последнее десятилетие появился для устранения этих недостатков и привлекает все большее внимание. MFS не требует интеграции, спектральной сходимости и сетки.

Как следует из названия, фундаментальное решение основных уравнений используется в качестве базисной функции в MFS. Чтобы избежать сингулярности фундаментального решения, требуется искусственная граница за пределами физической области, которая является основным узким местом для широкого использования MFS, поскольку такая фиктивная граница может вызвать вычислительную нестабильность. BKM классифицируется как один из видов методов без сетки граничного типа без использования сетки и искусственной границы.

С тех пор BKM прошел широкие испытания. В,^[2] BKM используется для решения уравнения Лапласа, уравнения Гельмгольца и уравнений Гельмгольца с переменными параметрами; в^[3] по аналогии с интерполяцией Эрмита Фассауэра RBF, симметричная схема BKM предлагается при наличии смешанных граничных условий; в,^[4] численные исследования сходимости БКМ при анализе однородных задач Гельмгольца, модифицированных задач Гельмгольца и конвекции-диффузии; в^[5] BKM используется для решения сложной геометрии двух- и трехмерных задач Гельмгольца и задач конвекции-диффузии; в^[6] колебания мембраны в граничных условиях смешанного типа исследованы методом симметричных граничных узлов; в^[7] BKM применяется к некоторым обратным задачам Гельмгольца; в^[8] BKM решает уравнения Пуассона; в^[9] BKM вычисляет обратные неоднородные уравнения Коши Гельмгольца; в^[10] BKM моделирует проблемы анизотропии через геодезическое расстояние; в^[11]^[12] исследуются отношения между числом условий, эффективным числом условий и регуляризациями; в^[13] БКМ исследует теплопроводность в нелинейном функционально-градиентном материале; в^[14] BKM также используется для решения нелинейного уравнения Эйконала.

Смотрите также

Связанный веб-сайт

[1] Р. Матон, Р. Л. Джонстон, Приближенное решение эллиптических краевых задач фундаментальными решениями. Журнал SIAM по численному анализу, 638–650, 1977.

[2] В. Чен и М. Танака, Метод безсеточной, экспоненциальной сходимости, без интегрирования и только граничный метод RBF, Компьютеры и математика с приложениями, 43, 379–391, 2002.

[3] W. Chen, Симметричный метод граничных узлов, Инженерный анализ с граничными элементами, 26(6), 489–494, 2002.

[4] В. Чен, Ю.С. Хон, Численная сходимость метода граничных узлов в анализе задач Гельмгольца, модифицированного Гельмгольца и конвекции-диффузии. Компьютерные методы в прикладной механике и технике, 192, 1859–1875, 2003.

[5] Y.C. Хон, В. Чен, Метод граничных узлов для 2D и 3D задач Гельмгольца и конвективно-диффузионных задач со сложной геометрией, Международный журнал численных методов в инженерии, 1931-1948, 56(13), 2003.

[6] X.P. Чен, W.X. Он и Б.Т. Джин, Метод симметричных граничных узлов для колебаний мембраны в граничных условиях смешанного типа. Международный журнал нелинейной науки и численного моделирования, 6, 421–424, 2005.

[7] Б.Т. Цзин, З. Яо, Метод граничных узлов для некоторых обратных задач, связанных с уравнением Гельмгольца, Международный журнал численных методов в инженерии, 62, 1636–1651, 2005.

[8] W. Chen, L.J. Shen, Z.J. Шен, Г. Юань, Метод граничных узлов для уравнений Пуассона, Инженерный анализ с граничными элементами, 29(8), 756–760, 2005.

[9] Б.Т. Цзинь, Ю. Чжэн, Метод граничных узлов для задачи Коши, связанной с неоднородным уравнением Гельмгольца, Инженерный анализ с граничными элементами, 29, 925–935, 2005.

[10] Б.Т. Джин и В. Чен, Метод граничных узлов на основе геодезического расстояния для анизотропных задач. Журнал вычислительной физики, 215(2), 614–629, 2006.

[11] F.Z. Ван, В. Чен, X.R. Цзян, Исследование регуляризованных методов для метода граничных узлов. Международный журнал численных методов в биомедицинской инженерии, 26(12), 1868–1877, 2010

[12] F.Z. Ван, Ливан Л., В. Чен, Эффективное число обусловленности для метода граничных узлов. CMC: компьютеры, материалы и континуа, 12(1), 57–70, 2009

[13] Z.J. Фу; В. Чен, К. Х. Цинь, Метод граничных узлов для теплопроводности в нелинейном функционально-градиентном материале. Инженерный анализ с граничными элементами, 35(5), 729–734, 2011.

[14] Д. Мехди и С. Резван, Безсеточный метод без границ для численного решения уравнения Эйконала, Вычислительная механика, 47, 283–294, 2011.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]