Метод сингулярной границы - Singular boundary method

Рисунок 1. Схема задачи и распределение узлов с использованием MFS: (а) внутренние проблемы, (б) внешние проблемы (пожалуйста, нажмите, чтобы увидеть большие фотографии)
Рис 2. Схема задачи и распределение узлов с использованием SBM: (c) внутренние проблемы, (d) внешние проблемы (пожалуйста, нажмите, чтобы увидеть большие фотографии)

В числовой анализ, то метод сингулярной границы (SBM) принадлежит семье бессеточный граница методы коллокации которые включают метод фундаментальных решений (MFS),[1][2][3] метод граничного узла (БКМ),[4] регуляризованный бессеточный метод (RMM),[5] метод граничных частиц (BPM),[6] модифицированная MFS,[7] и так далее. Это семейство методов коллокации в строгой форме разработано, чтобы избежать единичного численного интегрирования и генерации сетки в традиционных метод граничных элементов (BEM) при численном решении краевых задач с граничными узлами, в которых фундаментальное решение основного уравнения известно явно.

Отличительной чертой SBM является преодоление фиктивной границы в методе фундаментального решения, сохраняя при этом все его достоинства. Этот метод имеет несколько преимуществ по сравнению с классическими методами дискретизации области или границы, среди которых:

  • бессеточный. Метод не требует ни области, ни граничной сетки, а только граничных точек дискретизации;
  • без интеграции. Численное интегрирование сингулярных или почти сингулярных ядер могло быть в противном случае хлопотным, дорогостоящим и сложным, как, например, в случае метода граничных элементов;
  • только граничная дискретизация для однородных задач. SBM разделяет все преимущества BEM над методами дискретизации области, такими как методы конечных элементов или конечных разностей;
  • преодолеть запутанную фиктивную границу в методе фундаментальных решений (см. рис. 1 и 2), благодаря введению понятия фактора интенсивности происхождения, который выделяет сингулярность фундаментальных решений.

SBM представляет собой значительную и многообещающую альтернативу популярным методам граничного типа, таким как BEM и MFS, в частности, для бесконечных областей, волн, тонкостенных структур и обратных задач.

История метода сингулярных границ

Методология SBM была впервые предложена Ченом и его сотрудниками в 2009 году.[8][9] Основная идея состоит в том, чтобы ввести понятие коэффициента интенсивности источника, чтобы изолировать сингулярность фундаментальных решений, так что исходные точки могут быть размещены непосредственно на реальной границе. Для сравнения, метод фундаментальных решений требует фиктивной границы для размещения точек источника, чтобы избежать сингулярности фундаментального решения. С тех пор SBM успешно применялся для решения множества физических проблем, таких как потенциальные проблемы,[10][11] проблема бесконечной области,[12] Проблема Гельмгольца,[13] и плоская задача упругости.[14]

Есть два метода оценки коэффициента интенсивности происхождения. Первый подход состоит в том, чтобы поместить кластер узлов выборки внутри области задачи и вычислить алгебраические уравнения. Эта стратегия приводит к дополнительным вычислительным затратам и делает метод не таким эффективным, как ожидалось, по сравнению с MFS. Второй подход[15][16] заключается в использовании техники регуляризации для устранения особенностей фундаментального решения и его производных. Следовательно, факторы интенсивности происхождения могут быть определены напрямую, без использования каких-либо узлов выборки. Такая схема делает метод более стабильным, точным, эффективным и расширяет возможности его применения.

Последние достижения

Проблемы с эффектом пограничного слоя

Как и все другие численные методы граничного типа, также было замечено, что SBM сталкивается с резким падением точности решения в области вблизи границы. В отличие от сингулярности в начале координат фундаментальное решение в приграничных областях остается конечным. Однако вместо того, чтобы быть плоской функцией, функция интерполяции развивает острый пик по мере приближения точки поля к границе. Следовательно, ядра становятся «почти единичными» и не могут быть точно рассчитаны. Это похоже на так называемый эффект пограничного слоя, встречающийся в методах на основе БЭМ.

Нелинейное преобразование, основанное на функция sinh, может использоваться для удаления или гашения быстрых изменений почти единичных ядер.[17] В результате проблемный эффект пограничного слоя в SBM был успешно устранен. Реализация этого преобразования проста и может быть легко встроена в существующие программы SBM. Для исследуемых тестовых задач получаются очень многообещающие результаты, даже когда расстояние между точкой поля и границей составляет всего 1×10−10.

Масштабные проблемы

Подобно MFS и BEM, SBM будет создавать плотные матрицы коэффициентов, количество операций которых и требования к памяти для построения матричных уравнений имеют порядок О(N2), что требует слишком больших вычислительных ресурсов для моделирования крупномасштабных задач.

В быстрый мультипольный метод (FMM) может снизить требования к процессору и памяти с О(N2) к О(N) или же О(NбревноN). С помощью FMM SBM может полностью решить крупномасштабную проблему с несколькими миллионами неизвестных на рабочем столе. Этот быстрый алгоритм значительно расширяет применимую территорию SBM до гораздо более серьезных проблем, чем это было возможно ранее.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ метод фундаментальных решений (МФС)
  2. ^ Гольберг М.А., Чен С.С., Ганеш М., "Частные решения трехмерных уравнений типа Гельмгольца с использованием радиальных базисных функций с компактным носителем", Eng анальный связанный элемент 2000;24(7–8): 539–47.
  3. ^ Фэйрвезер Г., Карагеоргис А., "Метод фундаментальных решений эллиптических краевых задач", Adv Comput Math 1998;9(1): 69–95.
  4. ^ Чен В., Танака М. "Технология RBF без сетки, интеграции и только с границами В архиве 2016-03-04 в Wayback Machine ", Comput Math Appl 2002;43(3–5): 379–91.
  5. ^ D.L. Янг, К. Чен, К. В. Ли, "Новый бессеточный метод решения потенциальных проблем с произвольной областью", J Comput Phys 2005;209(1): 290–321.
  6. ^ метод граничных частиц (BPM)
  7. ^ Сарлер Б., "Решение потенциальных задач потока модифицированным методом фундаментальных решений: формулировки с однослойными и двухслойными фундаментальными решениями", Eng анальный связанный элемент 2009;33(12): 1374–82.
  8. ^ Чен В. "Метод сингулярных границ: новый, простой, бессеточный численный метод коллокации границ ", Подбородок J Solid Mech 2009;30(6): 592–9.
  9. ^ Чен В., Ван Ф.З. "Метод фундаментальных решений без фиктивной границы В архиве 2015-06-06 на Wayback Machine ", Eng анальный связанный элемент 2010;34(5): 530–32.
  10. ^ Вэй X, Чен В., Фу З. Дж. "Решение неоднородных задач методом сингулярных границ", J Mar SCI Tech 2012; 20(5).
  11. ^ Чен В., Фу З. Дж., Вэй Х "Возможные задачи методом сингулярной границы, удовлетворяющие моментному условию ", Компьютерная модель Eng Sci 2009;54(1): 65–85.
  12. ^ Чен В., Фу З. "Новый численный метод решения потенциальных задач с бесконечной областью ", Подбородок Sci Bull 2010;55(16): 1598–603.
  13. ^ Фу З.Дж., Чен В., "Новый метод без граничной сетки для задач излучения и рассеяния", Достижения в технике граничных элементов XI, Труды 11-й международной конференции, 12–14 июля 2010 г., стр. 83–90, Опубликовано EC Ltd, Соединенное Королевство (ISBN  978-0-9547783-7-8)
  14. ^ Гу И, Чен В., Чжан Ч.З. "Метод сингулярных границ для решения задач упругости при плоской деформации ", Int J Solids Struct 2011;48(18): 2549–56.
  15. ^ Чен В, Гу И, "Последние достижения в области метода сингулярных границ ", Совместный международный семинар по методу Треффца VI и методу фундаментального решения II, Тайвань 2011.
  16. ^ Гу И, Чен, В, "Улучшенный метод сингулярных границ для трехмерных потенциальных задач ", Китайский журнал теоретической и прикладной механики, 2012, 44 (2): 351-360 (на китайском языке)
  17. ^ Гу И, Чен В., Чжан Дж. "Исследование приграничных решений методом сингулярных границ ", Eng анальный связанный элемент 2012;36(8): 117–82.

внешняя ссылка