Экстраполяция - Extrapolation

В математика, экстраполяция это тип оценка за пределами исходного диапазона наблюдения значения переменной на основе ее взаимосвязи с другой переменной. Это похоже на интерполяция, который дает оценки между известными наблюдениями, но экстраполяция требует большего неуверенность и более высокий риск получения бессмысленных результатов. Экстраполяция также может означать расширение метод, если будут применимы аналогичные методы. Экстраполяция также может применяться к человеческим опыт проецировать, расширять или расширять известный опыт в области, неизвестной или ранее не испытанной, чтобы прийти к (обычно предполагаемому) знанию неизвестного ^[1] (например, во время движения водитель экстраполирует дорожные условия за пределы его поля зрения). Метод экстраполяции может применяться в реконструкция интерьера проблема.

Примерная иллюстрация проблемы экстраполяции, состоящая в присвоении значимого значения синему прямоугольнику в

{ displaystyle x = 7}

, учитывая красные точки данных.

Методы

Обоснованный выбор метода экстраполяции зависит от предварительное знание процесса, создавшего существующие точки данных. Некоторые эксперты предложили использовать причинные силы при оценке методов экстраполяции.^[2] Ключевыми вопросами являются, например, можно ли считать данные непрерывными, гладкими, возможно периодическими и т. Д.

Линейный

Линейная экстраполяция означает создание касательной в конце известных данных и расширение ее за этот предел. Линейная экстраполяция даст хорошие результаты только тогда, когда она используется для расширения графика приблизительно линейной функции или не слишком далеко за пределы известных данных.

Если две точки данных, ближайшие к точке ${ displaystyle x _ {*}}$ подлежат экстраполяции ${ Displaystyle (х_ {к-1}, у_ {к-1})}$ и ${ displaystyle (x_ {k}, y_ {k})}$ , линейная экстраполяция дает функцию:

{ displaystyle y (x _ {*}) = y_ {k-1} + { frac {x _ {*} - x_ {k-1}} {x_ {k} -x_ {k-1}}} (y_ {k} -y_ {k-1}).}

(что идентично линейная интерполяция если ${ displaystyle x_ {k-1}$ ). Можно включить более двух точек и усреднить наклон линейного интерполянта с помощью регресс -подобные методы, по выбранным для включения точкам данных. Это похоже на линейное предсказание.

Полиномиальный

Экстраполяции Лагранжа последовательности 1,2,3. Экстраполяция на 4 приводит к полиному минимальной степени (голубой линия).

Полиномиальная кривая может быть построена по всем известным данным или только ближе к концу (две точки для линейной экстраполяции, три точки для квадратичной экстраполяции и т. Д.). Полученная кривая затем может быть расширена за пределы известных данных. Полиномиальная экстраполяция обычно выполняется с помощью Интерполяция Лагранжа или используя метод Ньютона конечные разности создать Серия Ньютон что соответствует данным. Полученный многочлен можно использовать для экстраполяции данных.

Экстраполяцию полиномов высокого порядка следует использовать с должной осторожностью. Для примера набора данных и проблемы на рисунке выше все, что выше порядка 1 (линейная экстраполяция), возможно, даст непригодные для использования значения; оценка ошибки экстраполированного значения будет расти с увеличением степени экстраполяции полинома. Это связано с Феномен Рунге.

Коническая

А коническая секция может быть создан с использованием пяти точек ближе к концу известных данных. Если созданное коническое сечение представляет собой эллипс или же круг, при экстраполяции он вернется в исходное состояние и воссоединится. Экстраполированный парабола или же гипербола не соединится заново, но может отклониться назад относительно оси X. Этот тип экстраполяции может быть выполнен с помощью шаблона конических сечений (на бумаге) или с помощью компьютера.

Французская кривая

Французская кривая Экстраполяция - это метод, подходящий для любого распределения, которое имеет тенденцию быть экспоненциальным, но с факторами ускорения или замедления.^[3] Этот метод успешно использовался для составления прогнозов роста ВИЧ / СПИДа в Великобритании с 1987 года и варианта CJD в Великобритании в течение ряда лет. Другое исследование показало, что экстраполяция может дать такое же качество результатов прогнозирования, как и более сложные стратегии прогнозирования.^[4]

Качественный

Обычно качество конкретного метода экстраполяции ограничивается предположениями о функции, сделанной этим методом. Если метод предполагает, что данные гладкие, тогда негладкая функция будут плохо экстраполированы.

Что касается сложных временных рядов, некоторые эксперты обнаружили, что экстраполяция более точна, если выполняется путем разложения причинных сил.^[5]

Даже для правильных предположений о функции экстраполяция может сильно отличаться от функции. Классический пример - усеченный степенной ряд представления о грехе (Икс) и связанных тригонометрические функции. Например, взяв данные только из Икс = 0, можно оценить, что функция ведет себя как sin (Икс) ~ Икс. По соседству с Икс = 0, это отличная оценка. Вдали от Икс = 0, однако экстраполяция произвольно удаляется от Икс-ось при грехе (Икс) остается в интервал [−1, 1]. То есть погрешность неограниченно возрастает.

Взяв больше терминов в степенной ряд греха (Икс) вокруг Икс = 0 даст лучшее согласие в большем интервале около Икс = 0, но приведет к экстраполяции, которая в конечном итоге отклонится от Икспо оси даже быстрее, чем в линейном приближении.

Это расхождение является специфическим свойством методов экстраполяции, и его можно обойти только тогда, когда функциональные формы, принятые методом экстраполяции (непреднамеренно или намеренно из-за дополнительной информации), точно представляют характер экстраполируемой функции. Для конкретных задач эта дополнительная информация может быть доступна, но в общем случае невозможно удовлетворить все возможные варианты поведения функций с работоспособным небольшим набором потенциального поведения.

В комплексной плоскости

В комплексный анализ, задача экстраполяции может быть преобразована в интерполяция проблема с заменой переменной ${ displaystyle { hat {z}} = 1 / z}$ . Это преобразование меняет часть комплексная плоскость внутри единичный круг с частью комплексной плоскости вне единичной окружности. В частности, компактификация точка в бесконечности сопоставляется с источником и наоборот. Однако с этим преобразованием следует проявлять осторожность, поскольку исходная функция могла иметь «особенности», например полюса и другие особенности, на бесконечности, что не было очевидно из выборочных данных.

Другая проблема экстраполяции слабо связана с проблемой аналитическое продолжение, где (обычно) a степенной ряд представление функция расширяется в одной из точек конвергенция произвести степенной ряд с большим радиус схождения. Фактически, набор данных из небольшой области используется для экстраполяции функции на большую область.

Опять таки, аналитическое продолжение может быть сорвано функция особенности, которые не были очевидны из исходных данных.

Также можно использовать преобразования последовательности подобно Аппроксимации Паде и Преобразования последовательности Левина как методы экстраполяции, которые приводят к суммирование из степенной ряд которые расходятся за пределами оригинала радиус схождения. В этом случае часто получается рациональные аппроксимации.

Быстрый

Экстраполированные данные часто свертываются в функцию ядра. После экстраполяции данных размер данных увеличивается в N раз, здесь N составляет примерно 2–3. Если эти данные необходимо преобразовать в известную функцию ядра, численные вычисления увеличат N log (N) раз даже с быстрым преобразованием Фурье (БПФ). Есть алгоритм, который аналитически рассчитывает вклад части экстраполированных данных. Время вычисления можно опустить по сравнению с исходным вычислением свертки. Следовательно, с помощью этого алгоритма вычисления свертки с использованием экстраполированных данных почти не увеличиваются. Это называется быстрой экстраполяцией. Быстрая экстраполяция была применена к реконструкции изображения КТ.^[6]

Аргументы экстраполяции

Аргументы экстраполяции - это неформальные и не поддающиеся количественной оценке аргументы, которые утверждают, что что-то истинно за пределами диапазона значений, для которых это известно. Например, мы верим в реальность того, что видим через увеличительное стекло, потому что оно согласуется с тем, что мы видим невооруженным глазом, но выходит за его пределы; мы верим в то, что видим в световые микроскопы, потому что это согласуется с тем, что мы видим через увеличительные стекла, но выходит за рамки этого; и то же самое для электронных микроскопов.

Нравиться скользкая дорожка аргументы, аргументы экстраполяции могут быть сильными или слабыми в зависимости от таких факторов, как то, насколько экстраполяция выходит за пределы известного диапазона.^[7]

Смотрите также

Примечания

^ Экстраполяция, вход в Мерриам – Вебстер
^ Дж. Скотт Армстронг; Фред Коллопи (1993). «Причинные силы: структурирование знаний для экстраполяции временных рядов». Журнал прогнозирования. 12 (2): 103–115. CiteSeerX 10.1.1.42.40. Дои:10.1002 / для 3980120205. Получено 2012-01-10.
^ AIDSCJDUK.info Главный индекс
^ Дж. Скотт Армстронг (1984). «Прогнозирование путем экстраполяции: выводы двадцати пяти лет исследований». Интерфейсы. 14 (6): 52–66. CiteSeerX 10.1.1.715.6481. Дои:10.1287 / inte.14.6.52. Получено 2012-01-10.
^ Дж. Скотт Армстронг; Фред Коллопи; Дж. Томас Йокум (2004). «Разложение по причинным силам: процедура прогнозирования сложных временных рядов» (PDF).
^ Шуангрен Чжао; Кан Ян; Синьти Ян (2011). «Реконструкция из усеченных проекций с использованием смешанных экстраполяций экспоненциальных и квадратичных функций» (PDF). Журнал рентгеновской науки и техники. 19 (2): 155–72. Дои:10.3233 / XST-2011-0284. PMID 21606580. Архивировано из оригинал (PDF) на 2017-09-29. Получено 2014-06-03.
^ Дж. Франклин, Аргументы, сила которых зависит от непрерывного изменения, Журнал неформальной логики 33 (2013), 33-56.