Аппроксимация Паде - Padé approximant

В математика а Аппроксимация Паде является «наилучшим» приближением функции рациональная функция заданного порядка - по данной методике аппроксимирующая степенной ряд соответствует степенному ряду аппроксимируемой функции. Техника была разработана около 1890 г. Анри Паде, но возвращается к Георг Фробениус, который ввел идею и исследовал особенности рациональных приближений степенных рядов.

Аппроксимация Паде часто дает лучшее приближение функции, чем ее усечение. Серия Тейлор, и он все еще может работать там, где серия Тейлора не работает. сходиться. По этим причинам аппроксимации Паде широко используются в компьютерах. расчеты. Они также использовались как вспомогательные функции, в Диофантово приближение и трансцендентная теория чисел, хотя для резких результатов для этого случая методы, в некотором смысле вдохновленные теорией Паде, обычно заменяют их. Поскольку аппроксимация Паде является рациональной функцией, в качестве приближения может возникнуть искусственная особая точка, но этого можно избежать, если Анализ Бореля-Паде.

Причина, по которой аппроксимация Паде имеет тенденцию быть лучшим приближением, чем усечение Серия Тейлор понятна с точки зрения метода многоточечного суммирования. Поскольку во многих случаях асимптотическое разложение на бесконечности становится 0 или константой, его можно интерпретировать как «неполное двухточечное приближение Паде», в котором обычное приближение Паде улучшает метод усечения Серия Тейлор.

Определение

Учитывая функцию ж и два целые числа м ≥ 0 и п ≥ 1, Аппроксимация Паде порядка [м/п] - рациональная функция

${ displaystyle R (x) = { frac { sum _ {j = 0} ^ {m} a_ {j} x ^ {j}} {1+ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} x ^ {k}}} = { frac {a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + dots + a_ {m} x ^ {m}} { 1 + b_ {1} x + b_ {2} x ^ {2} + dots + b_ {n} x ^ {n}}},}$

что согласуется с ж(Икс) в максимально возможном порядке, который составляет

${ displaystyle { begin {align} f (0) & = R (0), f '(0) & = R' (0), f '' (0) & = R '' (0 ), & vdots f ^ {(m + n)} (0) & = R ^ {(m + n)} (0). end {align}}}$

Эквивалентно, если р(Икс) расширен в серии Маклорена (Серия Тейлор при 0), его первая м + п условия отменит первый м + п условия ж(Икс), и как таковой

${ Displaystyle е (х) -R (х) = c_ {m + n + 1} x ^ {m + n + 1} + c_ {m + n + 2} x ^ {m + n + 2} + точки}$

Аппроксимация Паде единственна для заданных м и п, то есть коэффициенты ${ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, dots, a_ {m}, b_ {1}, dots, b_ {n}}$ можно однозначно определить. По причинам уникальности член нулевого порядка в знаменателе р(Икс) был выбран равным 1, иначе числитель и знаменатель р(Икс) был бы уникальным только вплоть до умножение на константу.

Аппроксиманта Паде, определенная выше, также обозначается как

${ displaystyle [m / n] _ {f} (x).}$

Вычисление

Для данного Икс, Аппроксимации Паде могут быть вычислены с помощью Винн алгоритм эпсилон^[1] а также другие преобразования последовательности^[2] из частичных сумм

${ displaystyle T_ {N} (x) = c_ {0} + c_ {1} x + c_ {2} x ^ {2} + cdots + c_ {N} x ^ {N}}$

из Серия Тейлор из ж, т.е. имеем

${ displaystyle c_ {k} = { frac {f ^ {(k)} (0)} {k!}}.}$

ж также может быть формальный степенной ряд, и, следовательно, аппроксимации Паде также могут применяться к суммированию расходящийся ряд.

Один из способов вычислить аппроксимант Паде - использовать расширенный алгоритм Евклида для полиномиальный наибольший общий делитель.^[3] Соотношение

${ Displaystyle R (x) = P (x) / Q (x) = T_ {m + n} (x) { text {mod}} x ^ {m + n + 1}}$

эквивалентно существованию некоторого фактора K(Икс) такие, что

${ Displaystyle P (x) = Q (x) T_ {m + n} (x) + K (x) x ^ {m + n + 1},}$

что можно интерпретировать как Безу личность одного шага в вычислении расширенного наибольшего общего делителя многочленов ${ Displaystyle Т_ {м + п} (х)}$ и ${ Displaystyle х ^ {м + п + 1}}$.

Резюмируем: вычислить наибольший общий делитель двух многочленов п и q, можно вычислить с помощью длинного деления остаток последовательности

${ displaystyle r_ {0} = p, ; r_ {1} = q, quad r_ {k-1} = q_ {k} r_ {k} + r_ {k + 1},}$

k = 1, 2, 3, ... с ${ Displaystyle deg r_ {к + 1} < deg r_ {k} ,}$, до того как ${ displaystyle r_ {k + 1} = 0}$. Для тождеств Безу расширенного наибольшего общего делителя одновременно вычисляются две полиномиальные последовательности

${ displaystyle u_ {0} = 1, ; v_ {0} = 0, quad u_ {1} = 0, ; v_ {1} = 1, quad u_ {k + 1} = u_ {k- 1} -q_ {k} u_ {k}, ; v_ {k + 1} = v_ {k-1} -q_ {k} v_ {k}}$

для получения на каждом шаге тождества Безу

${ displaystyle r_ {k} (x) = u_ {k} (x) p (x) + v_ {k} (x) q (x).}$

Для [м/п] аппроксимант, таким образом, выполняется расширенный алгоритм Евклида для

${ displaystyle r_ {0} = x ^ {m + n + 1}, ; r_ {1} = T_ {m + n} (x)}$

и останавливает его в последний момент, когда ${ displaystyle v_ {k}}$ имеет степень п или меньше.

Тогда многочлены ${ Displaystyle P = r_ {k}, ; Q = v_ {k}}$ дай [м/п] Аппроксимация Паде. Если бы нужно было вычислить все шаги вычисления расширенного наибольшего общего делителя, то можно было бы получить антидиагональ Стол Pade.

Дзета-функция Римана – Паде

Для изучения пересуммирования расходящийся ряд, сказать

${ Displaystyle сумма _ {г = 1} ^ { infty} е (г),}$

может быть полезно ввести Паде или просто рациональную дзета-функцию как

${ Displaystyle zeta _ {R} (s) = sum _ {z = 1} ^ { infty} { frac {R (z)} {z ^ {s}}},}$

куда

${ Displaystyle Р (х) = [м / п] _ {е} (х) ,}$

- аппроксимация Паде порядка (м, п) функции ж(Икс). В дзета-регуляризация стоимость в s = 0 считается суммой расходящегося ряда.

Функциональное уравнение для этой дзета-функции Паде имеет вид

${ displaystyle sum _ {j = 0} ^ {n} a_ {j} zeta _ {R} (sj) = sum _ {j = 0} ^ {m} b_ {j} zeta _ {0 } (sj),}$

куда а_j и б_j - коэффициенты в приближении Паде. Индекс «0» означает, что Паде имеет порядок [0/0] и, следовательно, у нас есть дзета-функция Римана.

Метод DLog Padé

Аппроксимации Паде можно использовать для извлечения критических точек и показателей функций. В термодинамике, если функция ж(Икс) ведет себя неаналитическим образом вблизи точки Икс = р подобно ${ Displaystyle е (х) sim | х-г | ^ {p}}$, один звонит Икс = р критическая точка и п связанный критический показатель ж. Если достаточные члены разложения в ряд ж известны, можно приближенно извлечь критические точки и критические показатели из полюсов и вычетов аппроксимаций Паде соответственно ${ Displaystyle [п / п + 1] _ {г} (х)}$ куда ${ displaystyle g = { frac {f '} {f}}}$.

Обобщения

Аппроксимант Паде приближает функцию от одной переменной. Аппроксимация двух переменных называется аппроксимацией Чисхолма (после Дж. С. Р. Чизхолм ),^[4] во многих переменных - аппроксимация Кентербери (по Грейвсу-Моррису из Кентского университета).^[5]

Аппроксимация Паде двух точек

Установлено, что обычное приближение Паде воспроизводит разложение Маклорена до заданного порядка. Следовательно, приближение для значения, отличного от точки расширения, может быть плохим. Этого можно избежать с помощью 2-точечного приближения Паде, который представляет собой тип метода многоточечного суммирования.^[6] В ${ displaystyle x = 0}$, рассмотрим случай, когда функция ${ displaystyle f (x)}$ что выражается асимптотикой ${ displaystyle f_ {0} (х)}$,

${ displaystyle f sim f_ {0} (x) + o (f_ {0} (x)) (x rightarrow 0)}$

Помимо этого, в ${ Displaystyle х rightarrow infty}$, дополнительная асимптотика ${ displaystyle f _ { infty} (х)}$

${ Displaystyle е (х) сим е _ { infty} (х) + о (е _ { infty} (х)) (х rightarrow infty)}$

Выбрав основное поведение ${ displaystyle f_ {0} (x), f _ { infty} (x)}$, Приближенные функции ${ Displaystyle F (х)}$ такие, которые одновременно воспроизводят асимптотику, развивая приближение Паде, можно найти в различных случаях. В результате в точке ${ Displaystyle х rightarrow infty}$ где точность аппроксимации может быть наихудшей в обычном приближении Паде, гарантируется хорошая точность двухточечной аппроксимации Паде. Следовательно, двухточечная аппроксимация Паде может быть методом, который дает хорошее приближение в целом для ${ Displaystyle х = 0 сим infty}$.

В случаях, когда ${ displaystyle f_ {0} (x), f _ { infty} (x)}$ выражаются полиномами или сериями отрицательных степеней, экспоненциальной функцией, логарифмической функцией или ${ Displaystyle х ln х}$, мы можем применить двухточечную аппроксимацию Паде к ${ displaystyle f (x)}$. Существует метод использования этого для получения приближенного решения дифференциального уравнения с высокой точностью.^[6] Кроме того, для нетривиальных нулей дзета-функции Римана первый нетривиальный нуль можно оценить с некоторой точностью из асимптотики на действительной оси.^[6]

Многоточечная аппроксимация Паде

Дальнейшим расширением двухточечной аппроксимации Паде является многоточечная аппроксимация Паде.^[6] Этот метод обрабатывает точки сингулярности ${ Displaystyle х = х_ {j} (j = 1,2,3 cdots, N)}$ функции ${ displaystyle f (x)}$ который подлежит приближению. Рассмотрим случаи, когда особенности функции выражаются индексом ${ displaystyle n_ {j}}$ к

${ displaystyle f (x) sim { frac {A_ {j}} {(x-x_ {j}) ^ {n_ {j}}}} (x rightarrow x_ {j})}$

Помимо 2-балльной аппроксимации Паде, которая включает информацию на${ Displaystyle х = 0, х rightarrow infty}$, этот метод приближается к уменьшению свойства расходиться при ${ displaystyle x sim x_ {j}}$. В результате, поскольку информация об особенностях функции фиксируется, приближение функции ${ displaystyle f (x)}$ может выполняться с большей точностью.

Примеры

грех (Икс)

${ displaystyle sin (x) приблизительно { frac {(12671/4363920) x ^ {5} - (2363/18183) x ^ {3} + x} {1+ (445/12122) x ^ {2 } + (601/872784) x ^ {4} + (121/16662240) x ^ {6}}}}$

ехр (Икс)

${ Displaystyle ехр (х) приблизительно { гидроразрыва {1+ (1/2) х + (1/9) х ^ {2} + (1/72) х ^ {3} + (1/1008) х ^ {4} + (1/30240) x ^ {5}} {1- (1/2) x + (1/9) x ^ {2} - (1/72) x ^ {3} + (1 / 1008) x ^ {4} - (1/30240) x ^ {5}}}}$

Якоби С.Н. (z, 3)

${ displaystyle mathrm {sn} (z | 3) приблизительно { frac {- (9851629/283609260) z ^ {5} - (572744/4726821) z ^ {3} + z} {1+ (859490 / 1575607) z ^ {2} - (5922035/56721852) z ^ {4} + (62531591/2977897230) z ^ {6}}}}$

Бессель J(5, Икс)

${ displaystyle J_ {5} (x) приблизительно { frac {- (107/28416000) x ^ {7} + (1/3840) x ^ {5}} {1+ (151/5550) x ^ { 2} + (1453/3729600) x ^ {4} + (1339/358041600) x ^ {6} + (2767/120301977600) x ^ {8}}}}$

эрф (Икс)

${ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно { frac {(2/15) cdot (49140x + 3570x ^ {3} + 739x ^ {5})} {{ sqrt { pi}} cdot (165x ^ {4} + 1330x ^ {2} +3276)}}}$

Френель C(Икс)

${ displaystyle C (x) приблизительно { frac {(1/135) cdot (990791x ^ {9} pi ^ {4} -147189744x ^ {5} pi ^ {2} + 8714684160x)} {( 1749 pi ^ {4} x ^ {8} +523536 pi ^ {2} x ^ {4} +64553216)}}}$

Смотрите также

• Стол Паде

Рекомендации

Литература

• Baker, G.A., Jr .; и Грейвс-Моррис, П. Аппроксиманты Паде. Кембридж, США, 1996 г.
• Бейкер, Г. А., мл. Аппроксимация Паде, Scholarpedia, 7(6):9756.
• Брезинский, Ц .; и Редиво Загля, М. Методы экстраполяции. Теория и практика. Северная Голландия, 1991 г.
• Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, BP (2007), «Раздел 5.12 Аппроксимации Паде», Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-88068-8
• Фробениус, G .; Ueber Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen, [Journal für die reine und angewandte Mathematik (журнал Crelle)]. Том 1881, выпуск 90, страницы 1–17
• Gragg, W.B .; Таблица Паде и ее связь с некоторыми алгоритмами численного анализа [Обзор SIAM], Vol. 14, № 1, 1972, с. 1–62.
• Padé, H .; Sur la répresentation Approchée d'une fonction par des fractions rationelles, Диссертация, [Ann. 'Ecole Nor. (3), 9, 1892, с. 1–93 приложение.
• Винн, П. (1966), «О системах рекурсий, которые встречаются среди частных таблицы Паде», Numerische Mathematik, 8 (3): 264–269, Дои:10.1007 / BF02162562

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Аппроксимант Паде». MathWorld.
• Аппроксиманты Паде, Александр Павлык, Демонстрационный проект Wolfram.
• Краткое руководство по анализу данных: приближение Паде, Рудольф К. Бок Европейская лаборатория физики элементарных частиц, ЦЕРН.
• Синусоидальная волна, Скотт Даттало, последний доступ 11 ноября 2010 г.
• Функция MATLAB для аппроксимации Паде моделей с запаздыванием.