Линейное предсказание - Linear prediction

Линейное предсказание математическая операция, в которой будущие значения дискретное время сигнал оцениваются как линейная функция из предыдущих образцов.

В цифровая обработка сигналов, линейное предсказание часто называют кодирование с линейным прогнозированием (LPC) и, таким образом, может рассматриваться как подмножество теория фильтров. В Системный анализ, подполе математика, линейное предсказание можно рассматривать как часть математическое моделирование или же оптимизация.

Модель прогноза

Наиболее распространенное представление -

{displaystyle {widehat {x}} (n) = сумма _ {i = 1} ^ {p} a_ {i} x (n-i),}

куда ${displaystyle {widehat {x}} (n)}$ прогнозируемое значение сигнала, ${displaystyle x (n-i)}$ предыдущие наблюдаемые значения, с ${displaystyle p <= n}$ , и ${displaystyle a_ {i}}$ коэффициенты предиктора. Ошибка, порожденная этой оценкой, составляет

{displaystyle e (n) = x (n) - {widehat {x}} (n),}

куда ${displaystyle x (n)}$ истинное значение сигнала.

Эти уравнения справедливы для всех типов (одномерного) линейного прогноза. Различия обнаруживаются в том, как коэффициенты предиктора ${displaystyle a_ {i}}$ выбраны.

Для многомерных сигналов показатель ошибки часто определяется как

{displaystyle e (n) = | x (n) - {widehat {x}} (n) |,}

куда ${displaystyle | cdot |}$ подходящий выбранный вектор норма. Прогнозы, такие как ${displaystyle {widehat {x}} (n)}$ обычно используются в Фильтры Калмана и сглаживает для оценки текущего и прошлого значений сигнала соответственно.^{[нужна цитата ]}

Оценка параметров

Самый распространенный выбор при оптимизации параметров ${displaystyle a_ {i}}$ это среднеквадратичное значение критерий, который также называют автокорреляция критерий. В этом методе мы минимизируем ожидаемое значение квадрата ошибки. ${displaystyle E [e ^ {2} (n)]}$ , что дает уравнение

{displaystyle sum _ {i = 1} ^ {p} a_ {i} R (j-i) = R (j),}

для 1 ≤ j ≤ п, куда р это автокорреляция сигнала Икс_п, определяется как

{displaystyle R (i) = E {x (n) x (n-i)},}

,

и E это ожидаемое значение. В многомерном случае это соответствует минимизации L₂ норма.

Приведенные выше уравнения называются нормальные уравнения или же Уравнения Юла-Уокера. В матричной форме уравнения можно эквивалентно записать как

{displaystyle mathbf {RA} = mathbf {r}}

где автокорреляционная матрица ${displaystyle mathbf {R}}$ является симметричным, ${displaystyle p imes p}$ Матрица Теплица с элементами ${displaystyle r_ {ij} = R (i-j), 0leq i, j$ , вектор ${displaystyle mathbf {r}}$ вектор автокорреляции ${displaystyle r_ {j} = R (j), 0$ , и ${displaystyle mathbf {A} = [a_ {1}, a_ {2} ,, cdots ,, a_ {p-1}, a_ {p}]}$ , вектор параметров.

Другой, более общий подход - минимизировать сумму квадратов ошибок, определенных в форме

{displaystyle e (n) = x (n) - {widehat {x}} (n) = x (n) -sum _ {i = 1} ^ {p} a_ {i} x (ni) = - sum _ {i = 0} ^ {p} a_ {i} x (ni)}

где проблема оптимизации ищет по всем ${displaystyle a_ {i}}$ теперь должен быть ограничен ${displaystyle a_ {0} = - 1}$ .

С другой стороны, если среднеквадратическая ошибка предсказания ограничена единицей и уравнение ошибки предсказания включено поверх обычных уравнений, расширенная система уравнений получается как

{displaystyle mathbf {RA} = [1,0, ..., 0] ^ {mathrm {T}}}

где индекс ${displaystyle i}$ колеблется от 0 до ${displaystyle p}$ , и ${displaystyle mathbf {R}}$ это ${displaystyle (p + 1) imes (p + 1)}$ матрица.

Спецификация параметров линейного предиктора - широкая тема, и было предложено большое количество других подходов. Фактически, метод автокорреляции является наиболее распространенным.^{[нужна цитата ]} и используется, например, для кодирование речи в GSM стандарт.

Решение матричного уравнения ${displaystyle mathbf {RA} = mathbf {r}}$ вычислительно относительно дорогой процесс. В Гауссово исключение для инверсии матрицы, вероятно, является самым старым решением, но этот подход неэффективно использует симметрию ${displaystyle mathbf {R}}$ . Более быстрый алгоритм - это Рекурсия Левинсона предложено Норман Левинсон в 1947 году, который рекурсивно вычисляет решение.^{[нужна цитата ]} В частности, приведенные выше уравнения автокорреляции могут быть более эффективно решены алгоритмом Дарбина.^[1]

В 1986 году Филипп Дельсарт и Ю.В. Генин предложил усовершенствование этого алгоритма, названное разделенной рекурсией Левинсона, которая требует примерно половины числа умножений и делений.^[2] Он использует особое свойство симметрии векторов параметров на последующих уровнях рекурсии. То есть вычисления оптимального предиктора, содержащего ${displaystyle p}$ термины используют аналогичные вычисления для оптимального предиктора, содержащего ${displaystyle p-1}$ термины.

Другой способ определения параметров модели - итеративное вычисление оценок состояния с использованием Фильтры Калмана и получение максимальная вероятность оценки в алгоритмы ожидания – максимизации.

Для равноотстоящих значений полиномиальная интерполяция линейная комбинация известных значений. Если сигнал дискретного времени оценивается как подчиняющийся полиному степени ${displaystyle p-1,}$ тогда коэффициенты предиктора ${displaystyle a_ {i}}$ даются соответствующей строкой треугольник коэффициентов биномиального преобразования. Эта оценка может быть подходящей для медленно меняющегося сигнала с низким уровнем шума. Прогнозы для первых нескольких значений ${displaystyle p}$ находятся

{displaystyle {egin {array} {lcl} p = 1 &: & {widehat {x}} (n) = 1x (n-1) p = 2 &: & {widehat {x}} (n) = 2x (n -1) -1x (n-2) p = 3 &: & {widehat {x}} (n) = 3x (n-1) -3x (n-2) + 1x (n-3) p = 4 & : & {widehat {x}} (n) = 4x (n-1) -6x (n-2) + 4x (n-3) -1x (n-4) end {array}}}

Смотрите также

дальнейшее чтение

Хейс, М. Х. (1996). Статистическая цифровая обработка сигналов и моделирование. Нью-Йорк: J. Wiley & Sons. ISBN 978-0471594314.
Левинсон, Н. (1947). «Критерий ошибки Wiener RMS (среднеквадратическое значение) при проектировании и прогнозировании фильтров». Журнал математики и физики. 25 (4): 261–278.
Махоул, Дж. (1975). «Линейное предсказание: учебное пособие». Труды IEEE. 63 (5): 561–580. Дои:10.1109 / PROC.1975.9792.
Юл, Г. У. (1927). «О методе исследования периодичностей в возмущенных рядах с особым упором на числа Вольфера». Фил. Пер. Рой. Soc. А. 226: 267–298. Дои:10.1098 / рста.1927.0007. JSTOR 91170.

внешняя ссылка

PLP и RASTA (и MFCC, и инверсия) в Matlab

[1] Рамирес, М.А. (2008). «Алгоритм Левинсона, основанный на изометрическом преобразовании Дурбина» (PDF). Письма об обработке сигналов IEEE. 15: 99–102. Дои:10.1109 / LSP.2007.910319.

[2] Дельсарт, П., Генин, Ю. В. (1986), Алгоритм разделения Левинсона, Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов, v. ASSP-34 (3), pp. 470–478

[1]

[2]