Дискретное время и непрерывное время - Discrete time and continuous time

В математическая динамика, дискретное время и непрерывное время это две альтернативные рамки для моделирования переменные которые со временем развиваются.

Дискретное время

Дискретный дискретизированный сигнал

Дискретное время рассматривает значения переменных как происходящие в отдельные, отдельные «моменты времени» или, что эквивалентно, как неизменные на протяжении каждого ненулевого периода времени («период времени»), то есть время рассматривается как дискретная переменная. Таким образом, не-временная переменная перескакивает от одного значения к другому по мере того, как время перемещается от одного временного периода к другому. Такой взгляд на время соответствует цифровым часам, которые какое-то время показывают фиксированное показание 10:37, а затем перескакивают к новому фиксированному показанию 10:38 и т. Д. В этой структуре каждая интересующая переменная измеряется один раз в каждый временной период. Количество измерений между любыми двумя периодами времени конечно. Измерения обычно производятся последовательно. целое число значения переменной «время».

А дискретный сигнал или же сигнал с дискретным временем это Временные ряды состоящий из последовательность количества.

В отличие от сигнала с непрерывным временем, сигнал с дискретным временем не является функцией непрерывного аргумента; однако он мог быть получен отбор проб от сигнала непрерывного времени. Когда сигнал с дискретным временем получается путем дискретизации последовательности через равномерно распределенные моменты времени, он имеет связанный частота выборки.

Сигналы с дискретным временем могут иметь несколько источников, но обычно их можно разделить на две группы:^[1]

• Приобретая значения аналоговый сигнал с постоянной или переменной скоростью. Этот процесс называется отбор проб.^[2]
• Наблюдая за процессом, который по своей сути является дискретным по времени, например, за еженедельным пиковым значением определенного экономического индикатора.

Непрерывное время

В отличие, непрерывное время рассматривает переменные как имеющие определенное значение потенциально только для бесконечно мало короткое количество времени. Между любыми двумя моментами времени есть бесконечный количество других моментов времени. Переменная "время" колеблется на всем действительная числовая линия или, в зависимости от контекста, над некоторым его подмножеством, например неотрицательными действительными числами. Таким образом, время рассматривается как непрерывная переменная.

А непрерывный сигнал или непрерывный сигнал это разные количество (а сигнал ), доменом которого часто является время, является континуум (например, связаны интервал реалы ). То есть домен функции - это бесчисленное множество. Сама функция не должна быть непрерывный. Для контраста дискретное время сигнал имеет счетный домен, как и натуральные числа.

Сигнал непрерывной амплитуды и времени известен как сигнал непрерывного времени или аналоговый сигнал. Это сигнал ) будет иметь некоторую ценность в каждый момент времени. Электрические сигналы, полученные пропорционально физическим величинам, таким как температура, давление, звук и т. Д., Обычно являются непрерывными сигналами. Другими примерами непрерывных сигналов являются синусоидальная волна, косинусная волна, треугольная волна и т. Д.

Сигнал определяется в области, которая может быть или не быть конечной, и существует функциональное отображение из области в значение сигнала. Непрерывность временной переменной в связи с законом плотности действительные числа, означает, что значение сигнала может быть найдено в любой произвольный момент времени.

Типичный пример сигнала бесконечной длительности:

${ Displaystyle е (т) = грех (т), квад т ин mathbb {R}}$

Аналогом вышеуказанного сигнала с конечной длительностью может быть:

${ Displaystyle е (т) = грех (т), квад т в [- пи, пи]}$ и ${ displaystyle f (t) = 0}$ иначе.

Значение сигнала конечной (или бесконечной) длительности может быть или не быть конечным. Например,

${ displaystyle f (t) = { frac {1} {t}}, quad t in [0,1]}$ и ${ displaystyle f (t) = 0}$ иначе,

сигнал конечной длительности, но он принимает бесконечное значение для ${ Displaystyle т = 0 ,}$.

Во многих дисциплинах принято, что непрерывный сигнал всегда должен иметь конечное значение, что имеет больше смысла в случае физических сигналов.

Для некоторых целей допустимы бесконечные особенности, если сигнал интегрируем на любом конечном интервале (например, ${ displaystyle t ^ {- 1}}$ сигнал не интегрируется на бесконечности, но ${ displaystyle t ^ {- 2}}$ является).

Любой аналоговый сигнал по своей природе непрерывен. Дискретные сигналы времени, используется в цифровая обработка сигналов, можно получить отбор проб и квантование непрерывных сигналов.

Непрерывный сигнал также может быть определен по независимой переменной, кроме времени. Другой очень распространенной независимой переменной является пробел, которая особенно полезна в обработка изображений, где используются два пространственных измерения.

Соответствующие контексты

Дискретное время часто используется, когда эмпирический измерения участвуют, потому что обычно можно измерять переменные только последовательно. Например, пока экономическая активность на самом деле происходит непрерывно, нет момента, когда экономика полностью находится в состоянии паузы, экономическую активность можно измерить только дискретно. По этой причине опубликованные данные, например, о валовой внутренний продукт покажет последовательность ежеквартальный значения.

Когда кто-то пытается эмпирически объяснить такие переменные в терминах других переменных и / или их собственных предшествующих значений, он использует Временные ряды или же регресс методы, в которых переменные индексируются с нижним индексом, указывающим период времени, в котором происходило наблюдение. Например, у_т может относиться к стоимости доход наблюдается в неустановленный период времени т, у₃ к величине дохода, наблюдаемого в третьем временном периоде и т. д.

Более того, когда исследователь пытается разработать теорию для объяснения того, что наблюдается в дискретном времени, часто сама теория выражается в дискретном времени, чтобы облегчить разработку временного ряда или регрессионной модели.

С другой стороны, это часто более математически послушный строить теоретические модели в непрерывном режиме и часто в таких областях, как физика точное описание требует использования непрерывного времени. В контексте непрерывного времени значение переменной у в неустановленный момент времени обозначается как у(т) или, когда смысл ясен, просто как у.

Типы уравнений

Дискретное время

Дискретное время использует разностные уравнения, также известные как рекуррентные отношения. Пример, известный как логистическая карта или логистическое уравнение, является

${ displaystyle x_ {t + 1} = rx_ {t} (1-x_ {t}),}$

в котором р это параметр в диапазоне от 2 до 4 включительно, и Икс - переменная в диапазоне от 0 до 1 включительно, значение которой в периоде т нелинейно влияет на его стоимость в следующем периоде, т+1. Например, если ${ displaystyle r = 4}$ и ${ displaystyle x_ {1} = 1/3}$, то для т= 1 имеем ${ Displaystyle x_ {2} = 4 (1/3) (2/3) = 8/9}$, и для т= 2 имеем ${ Displaystyle x_ {3} = 4 (8/9) (1/9) = 32/81}$.

Другой пример моделирует настройку цена п в ответ на ненулевой избыточный спрос для продукта как

${ Displaystyle P_ {t + 1} = P_ {t} + delta cdot f (P_ {t}, ...)}$

куда ${ displaystyle delta}$ - положительный параметр скорости регулировки, который меньше или равен 1, и где ${ displaystyle f}$ это функция избыточного спроса.

Непрерывное время

Непрерывное время использует дифференциальные уравнения. Например, корректировка цены п в ответ на ненулевой избыточный спрос на продукт можно смоделировать в непрерывном времени как

${ displaystyle { frac {dP} {dt}} = lambda cdot f (P, ...)}$

где левая сторона - это первая производная цены по времени (то есть скорость изменения цены), ${ displaystyle lambda}$ - параметр скорости регулировки, который может быть любым положительным конечным числом, и ${ displaystyle f}$ снова является функцией избыточного спроса.

Графическое изображение

Переменная, измеренная в дискретном времени, может быть представлена ​​как ступенчатая функция, в котором каждому временному периоду задан регион на Горизонтальная ось такой же длины, как и любой другой период времени, а измеряемая переменная отображается как высота, которая остается постоянной на протяжении всего периода времени. В этой графической технике график представляет собой последовательность горизонтальных шагов. В качестве альтернативы, каждый период времени можно рассматривать как отдельный момент времени, обычно с целочисленным значением на горизонтальной оси, а измеренная переменная отображается как высота над этой точкой оси времени. В этом методе график отображается в виде набора точек.

Значения переменной, измеренные в непрерывном времени, отображаются как непрерывная функция, поскольку временной областью считается вся действительная ось или, по крайней мере, некоторая ее связная часть.

Смотрите также

Рекомендации

• Гершенфельд, Нил А. (1999). Природа математического моделирования. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-57095-6.

• Вагнер, Томас Чарльз Гордон (1959). Аналитические переходные процессы. Вайли.