Метод конечных объемов для двумерной задачи диффузии - Википедия - Finite volume method for two dimensional diffusion problem

Методы решения двумерных Диффузия задачи аналогичны тем, которые используются для одномерных задач. Общее уравнение стационарной диффузии можно легко вывести из общего уравнения переноса для свойства Φ путем удаления переходных и конвективных условий^[1]

${ displaystyle { frac { partial {}} { partial {} x}} left ( Gamma {} { frac { partial {} phi {}} { partial {} x}} right ) + { frac { partial {}} { partial {} y}} left ( Gamma {} { frac { partial {} phi {}} { partial {} y}} right) + S = 0}$

куда,
${ displaystyle Gamma}$ - коэффициент диффузии^[2] и ${ displaystyle S}$ это исходный термин.^[3]

Часть двумерного сетка используется для Дискретность показано ниже:

График двухмерного графика

В дополнение к восточным (E) и западным (W) соседям, общий узел P сетки теперь также имеет северных (N) и южных (S) соседей. Здесь для всех граней и размеров ячеек используются те же обозначения, что и в одномерном анализе. Когда приведенное выше уравнение формально интегрировано по Контрольный объем, мы получаем

${ displaystyle int _ { Delta {v}} { frac { partial {}} { partial {} x}} left ( Gamma {} { frac { partial {} phi {}} { partial {} x}} right) dxdy + int _ { Delta {v}} { frac { partial {}} { partial {} y}} left ( Gamma {} { frac { partial {} phi {}} { partial {} y}} right) dxdy + int _ { Delta {v}} S _ { phi {}} dV = 0}$

Используя теорему о расходимости, уравнение можно переписать как:

${ displaystyle left [{ Gamma {}} _ {e} A_ {e} left ({ frac { partial {} phi {}} { partial {} x}} right) _ {е } - { Gamma {}} _ {w} A_ {w} left ({ frac { partial {} phi {}} { partial {} x}} right) _ {w} right] + left [{ Gamma {}} _ {n} A_ {n} left ({ frac { partial {} phi {}} { partial {} y}} right) _ {n} - { Gamma {}} _ {s} A_ {s} left ({ frac { partial {} phi {}} { partial {} y}} right) _ {s} right] + { bar {S}} Delta {} V = 0}$

Это уравнение представляет собой баланс генерации свойства φ в Контрольный объем и потоки через грани клетки. Производные можно представить следующим образом, используя Серия Тейлор приближение:

${ displaystyle {{ Gamma {}} _ {w} A_ {w} left ({ frac { partial {} phi {}} { partial {x}}} right)} _ {w} = { Gamma {}} _ {w} A_ {w} { frac {({ phi {}} _ {p} - { phi {}} _ {w})} {{ delta {} x } _ {WP}}}}$

Поток через восточную стену =

${ displaystyle {{ Gamma {}} _ {e} A_ {e} left ({ frac { partial {} phi {}} { partial {x}}} right)} _ {e} = { Gamma {}} _ {e} A_ {e} { frac {({ phi {}} _ {e} - { phi {}} _ {p})} {{ delta {} x } _ {PE}}}}$

Поток через южную стену =

${ displaystyle {{ Gamma {}} _ {s} A_ {s} left ({ frac { partial {} phi {}} { partial {y}}} right)} _ {s} = { Gamma {}} _ {s} A_ {s} { frac {({ phi {}} _ {p} - { phi {}} _ {s})} {{ delta {} y } _ {SP}}}}$

Поток через северную стену =

${ displaystyle {{ Gamma {}} _ {n} A_ {n} left ({ frac { partial {} phi {}} { partial {y}}} right)} _ {n} = { Gamma {}} _ {n} A_ {n} { frac {({ phi {}} _ {n} - { phi {}} _ {p})} {{ delta {} y } _ {PN}}}}$

Подставляя эти выражения в уравнение (2), получаем

${ displaystyle { Gamma {}} _ {e} A_ {e} { frac {({ phi {}} _ {e} - { phi {}} _ {p})} {{ delta { } x} _ {PE}}} - { Gamma {}} _ {w} A_ {w} { frac {({ phi {}} _ {p} - { phi {}} _ {w} )} {{ delta {} x} _ {WP}}} + { Gamma {}} _ {n} A_ {n} { frac {({ phi {}} _ {n} - { phi {}} _ {p})} {{ delta {} y} _ {PN}}} - { Gamma {}} _ {s} A_ {s} { frac {({ phi {}} _ {p} - { phi {}} _ {s})} {{ delta {} y} _ {SP}}} + { bar {S}} Delta {} V = 0}$

Когда исходный член представлен в линеаризованной форме ${ displaystyle { bar {S}} Delta {} V = S_ {u} + S_ {p} * S _ { varphi}}$ , это уравнение можно переписать как

${ displaystyle left [{ frac {{ Gamma {}} _ {e} A_ {e}} {{ delta {} x} _ {PE}}} + { frac {{ Gamma {}} _ {w} A_ {w}} {{ delta {} x} _ {WP}}} + { frac {{ Gamma {}} _ {n} A_ {n}} {{ delta {} y } _ {PN}}} + { frac {{ Gamma {}} _ {s} A_ {s}} {{ delta {} y} _ {SP}}} - S_ {p} right] фи {} _ {P}}$ = ${ displaystyle { frac {{ Gamma {}} _ {e} A_ {e}} {{ delta {} x} _ {PE}}} phi {} _ {E} + { frac {{{ Gamma {}} _ {w} A_ {w}} {{ delta {} x} _ {WP}}} phi {} _ {W} + { frac {{ Gamma {}} _ {n } A_ {n}} {{ delta {} x} _ {PN}}} phi {} _ {N} + { frac {{ Gamma {}} _ {s} A_ {s}} {{ delta {} x} _ {SP}}} phi {} _ {S} + S_ {u}}$

Теперь это уравнение можно выразить в общем виде дискретизированный форма уравнения для внутренних узлов, т.е.

${ displaystyle a_ {P} phi {} _ {P} = a_ {W} phi {} _ {W} + a_ {E} phi {} _ {E} + a_ {S} phi {} _ {S} + a_ {N} phi {} _ {N} + S_ {u}}$

Где,

${ displaystyle a_ {W}}$	${ displaystyle a_ {E}}$	${ displaystyle a_ {S}}$	${ displaystyle a_ {N}}$	${ displaystyle a_ {P}}$
${ displaystyle { frac {{ Gamma {}} _ {w} A_ {w}} {{ delta {} x} _ {WP}}}}$	${ displaystyle { frac {{ Gamma {}} _ {e} A_ {e}} {{ delta {} x} _ {PE}}}}$	${ displaystyle { frac {{ Gamma {}} _ {s} A_ {s}} {{ delta {} x} _ {SP}}}}$	${ displaystyle { frac {{ Gamma {}} _ {n} A_ {n}} {{ delta {} x} _ {PN}}}}$	${ displaystyle a_ {W} + a_ {E} + a_ {S} + a_ {N} -S_ {p}}$

Области лица в двухмерном случае y:

${ displaystyle A_ {w} = A_ {e} =  Delta {} y}$

и

${ Displaystyle A_ {n} = A_ {s} =  Delta {} x}$.

Получаем распределение свойства ${ displaystyle varphi {}}$ то есть заданную двумерную ситуацию, написав дискретизированный уравнения вида уравнения (3) на каждом узле сетки разбитой области. На границах, где известны температура или потоки, дискретизированное уравнение модифицируется для включения граничные условия. Коэффициент стороны границы устанавливается равным нулю (перерезание связи с границей), и поток, пересекающий эту границу, вводится как источник, который добавляется к любому существующему ${ displaystyle s_ {u}}$ и ${ displaystyle S_ {p}}$ термины. Впоследствии полученная система уравнений решается для получения двумерного распределения свойства ${ displaystyle varphi {}}$

Рекомендации

• Патанкар, Сухас В. (1980), Численный перенос тепла и поток жидкости, полушарие.
• Хирш, К. (1990), Численный расчет внутренних и внешних потоков, Том 2: Вычислительные методы для невязких и вязких потоков, Wiley.
• Лэйни, Калберт Б. (1998), Вычислительная газовая динамика, Cambridge University Press.
• Левек, Рэндалл (1990), Численные методы для законов сохранения, Серия лекций ETH по математике, Birkhauser-Verlag.
• Таннехилл, Джон К. и др. (1997), Вычислительная механика жидкости и теплопередача, 2-е изд., Тейлор и Фрэнсис.
• Весселинг, Питер (2001), Принципы вычислительной гидродинамики, Springer-Verlag.
• Карслав, Х. С. и Ягер, Дж. К. (1959). Проводимость тепла в твердых телах. Оксфорд: Clarendon Press
• Крэнк, Дж. (1956). Математика диффузии. Оксфорд: Clarendon Press
• Thambynayagam, Р. К. М. (2011). Справочник по диффузии: прикладные решения для инженеров: McGraw-Hill

внешняя ссылка

• http://opencourses.emu.edu.tr/course/view.php?id=27&lang=en
• https://web.archive.org/web/20120303230200/http://nptel.iitm.ac.in/courses/112105045/
• http://ingforum.haninge.kth.se/armin/CFD/dirCFD.htm
• Уравнение диффузии
• Вычислительная гидродинамика
• Уравнение конвекции – диффузии
• Метод конечных объемов, Cheng Long
• Метод конечных объемов, Роберт Эймар и др. (2010), Scholarpedia, 5 (6): 9835

Смотрите также

• Вычислительная гидродинамика
• Конечная разница
• Уравнение тепла
• Уравнение Фоккера – Планка
• Законы диффузии Фика
• Уравнение Максвелла – Стефана
• Уравнение диффузии