Замена переменных - Change of variables

В математике замена переменных это базовая техника, используемая для упрощения задач, в которых исходный переменные заменены на функции других переменных. Смысл в том, что при выражении в новых переменных проблема может стать проще или эквивалентной более понятной проблеме.

Замена переменных - это операция, связанная с замена. Однако это разные операции, как можно увидеть при рассмотрении дифференциация (Правило цепи ) или же интеграция (интеграция путем замены ).

Очень простой пример полезной замены переменной можно увидеть в задаче нахождения корней многочлена шестой степени:

{ displaystyle x ^ {6} -9x ^ {3} + 8 = 0.}

Полиномиальные уравнения шестой степени, как правило, невозможно решить в терминах радикалов (см. Теорема Абеля – Руффини ). Однако это конкретное уравнение можно записать

{ displaystyle (x ^ {3}) ^ {2} -9 (x ^ {3}) + 8 = 0}

(это простой случай полиномиальное разложение ). Таким образом, уравнение можно упростить, задав новую переменную ${ Displaystyle и = х ^ {3}}$ . Подстановка Икс к ${ displaystyle { sqrt [{3}] {u}}}$ в полином дает

{ displaystyle u ^ {2} -9u + 8 = 0,}

что просто квадратное уровненеие с двумя решениями:

{ displaystyle u = 1 quad { text {and}} quad u = 8.}

Решения в терминах исходной переменной получаются заменой Икс³ назад для ты, который дает

{ displaystyle x ^ {3} = 1 quad { text {and}} quad x ^ {3} = 8.}

Тогда, предполагая, что вас интересует только настоящий решений, решения исходного уравнения

{ displaystyle x = (1) ^ {1/3} = 1 quad { text {and}} quad x = (8) ^ {1/3} = 2.}

Простой пример

Рассмотрим систему уравнений

{ displaystyle xy + x + y = 71}

{ displaystyle x ^ {2} y + xy ^ {2} = 880}

куда ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ положительные целые числа с ${ displaystyle x> y}$ . (Источник: 1991 г. AIME )

Обычно это не так сложно, но может оказаться немного утомительным. Однако мы можем переписать второе уравнение в виде ${ Displaystyle ху (х + у) = 880}$ . Делаем замены ${ displaystyle s = x + y}$ и ${ Displaystyle т = ху}$ сокращает систему до ${ displaystyle s + t = 71, st = 880}$ . Решение этого дает ${ Displaystyle (s, t) = (16,55)}$ и ${ Displaystyle (s, t) = (55,16)}$ . Обратное замещение первой упорядоченной пары дает нам ${ displaystyle x + y = 16, xy = 55, x> y}$ , что дает решение ${ displaystyle (x, y) = (11,5).}$ Обратное замещение второй упорядоченной пары дает нам ${ displaystyle x + y = 55, xy = 16, x> y}$ , что не дает решений. Следовательно, решение, которое решает систему, есть ${ Displaystyle (х, у) = (11,5)}$ .

Официальное введение

Позволять ${ displaystyle A}$ , ${ displaystyle B}$ быть гладкие многообразия и разреши ${ displaystyle Phi: A rightarrow B}$ быть ${ displaystyle C ^ {r}}$ -диффеоморфизм между ними, то есть: ${ displaystyle Phi}$ это ${ displaystyle r}$ раз непрерывно дифференцируемые, биективный карта из ${ displaystyle A}$ к ${ displaystyle B}$ с ${ displaystyle r}$ раз непрерывно дифференцируемые обратные ${ displaystyle B}$ к ${ displaystyle A}$ . Здесь ${ displaystyle r}$ может быть любым натуральным числом (или нулем), ${ displaystyle infty}$ (гладкий ) или же ${ displaystyle omega}$ (аналитический ).

Карта ${ displaystyle Phi}$ называется регулярное преобразование координат или же регулярная подстановка переменных, куда обычный относится к ${ displaystyle C ^ {r}}$ степень ${ displaystyle Phi}$ . Обычно пишут ${ Displaystyle х = Фи (у)}$ для обозначения замены переменной ${ displaystyle x}$ по переменной ${ displaystyle y}$ путем подстановки значения ${ displaystyle Phi}$ в ${ displaystyle y}$ для каждого случая ${ displaystyle x}$ .

Другие примеры

Преобразование координат

Некоторые системы легче решить при переходе на полярные координаты. Рассмотрим, например, уравнение

{ displaystyle U (x, y): = (x ^ {2} + y ^ {2}) { sqrt {1 - { frac {x ^ {2}} {x ^ {2} + y ^ { 2}}}}} = 0.}

Это может быть функция потенциальной энергии для некоторой физической проблемы. Если решение не сразу видно, можно попробовать замену

{ Displaystyle Displaystyle (х, у) = фи (г, тета)}

данный

{ displaystyle displaystyle Phi (r, theta) = (r cos ( theta), r sin ( theta)).}

Обратите внимание, что если ${ displaystyle theta}$ выходит за пределы ${ displaystyle 2 pi}$ -длина интервала, например, ${ displaystyle [0,2 pi]}$ , карта ${ displaystyle Phi}$ больше не биективен. Следовательно, ${ displaystyle Phi}$ должно быть ограничено, например, ${ displaystyle (0, infty] times [0,2 pi)}$ . Обратите внимание, как ${ displaystyle r = 0}$ исключен, для ${ displaystyle Phi}$ не биективен в начале координат ( ${ displaystyle theta}$ может принимать любое значение, точка будет отображаться в (0, 0)). Затем, заменив все вхождения исходных переменных на новые выражения предписано ${ displaystyle Phi}$ и используя личность ${ Displaystyle грех ^ {2} х + соз ^ {2} х = 1}$ , мы получили

{ displaystyle V (r, theta) = r ^ {2} { sqrt {1 - { frac {r ^ {2} cos ^ {2} theta} {r ^ {2}}}}} = r ^ {2} { sqrt {1- cos ^ {2} theta}} = r ^ {2} left | sin theta right |.}

Теперь решения можно легко найти: ${ Displaystyle грех ( тета) = 0}$ , так ${ displaystyle theta = 0}$ или же ${ displaystyle theta = pi}$ . Применяя инверсию ${ displaystyle Phi}$ показывает, что это эквивалентно ${ displaystyle y = 0}$ пока ${ Displaystyle х not = 0}$ . Действительно, мы видим, что для ${ displaystyle y = 0}$ функция обращается в нуль, за исключением начала координат.

Обратите внимание: если бы мы разрешили ${ displaystyle r = 0}$ , источник также был бы решением, хотя это не решение исходной проблемы. Здесь биективность ${ displaystyle Phi}$ это важно. Функция всегда положительна (для ${ displaystyle x, y in mathbb {R}}$ ), отсюда и абсолютные значения.

Дифференциация

В Правило цепи используется для упрощения сложного дифференцирования. Например, рассмотрим задачу вычисления производной

{ displaystyle { frac {d} {dx}} sin (x ^ {2}).}

Письмо

{ displaystyle y = sin u quad { text {and}} quad u = x ^ {2}}

мы получили

{ displaystyle { begin {align} & { frac {d} {dx}} sin (x ^ {2}) = overbrace {{ frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} , { frac {du} {dx}}} ^ { text {Эта часть является цепным правилом.}} = left ({ frac {d} {du}} sin u right ) left ({ frac {d} {dx}} x ^ {2} right) [8pt] = {} & { big (} cos u { big)} (2x) = cos (х ^ {2}) cdot 2x. конец {выровнено}}}

Интеграция

Сложные интегралы часто можно вычислить, меняя переменные; это обеспечивается правило замены и аналогичен использованию цепного правила выше. Сложные интегралы также могут быть решены путем упрощения интеграла с помощью замены переменных, заданных соответствующими Матрица Якоби и определитель.^[1] Использование определителя Якоби и соответствующего изменения переменной, которое он дает, составляет основу таких систем координат, как полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат.

Дифференциальные уравнения

Переменные изменения для дифференциации и интеграции преподаются на элементарном уровне. исчисление и шаги редко выполняются полностью.

Очень широкое использование изменений переменных очевидно при рассмотрении дифференциальных уравнений, в которых независимые переменные могут быть изменены с помощью Правило цепи или зависимые переменные изменяются, что приводит к некоторой дифференциации. Экзотические изменения, такие как смешение зависимых и независимых переменных в точка и контактные преобразования, может быть очень сложным, но дает большую свободу.

Очень часто проблема заменяется общей формой изменения, а параметры выбираются по ходу дела, чтобы максимально упростить проблему.

Масштабирование и смещение

Вероятно, самое простое изменение - это масштабирование и сдвиг переменных, то есть замена их новыми переменными, которые «растягиваются» и «перемещаются» на постоянную величину. Это очень распространено в практических приложениях для получения физических параметров из задач. Для п^th производная порядка, изменение просто приводит к

{ displaystyle { frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}} = { frac {y _ { text {scale}}} {x _ { text {scale}} ^ {n}} } { frac {d ^ {n} { hat {y}}} {d { hat {x}} ^ {n}}}}

куда

{ displaystyle x = { hat {x}} x _ { text {scale}} + x _ { text {shift}}}

{ displaystyle y = { hat {y}} y _ { text {scale}} + y _ { text {shift}}.}

Это легко показать с помощью Правило цепи и линейность дифференцирования. Это изменение очень часто встречается в практических приложениях, чтобы получить физические параметры из проблем, например, краевая задача

{ displaystyle mu { frac {d ^ {2} u} {dy ^ {2}}} = { frac {dp} {dx}} quad; quad u (0) = u (L) = 0}

описывает параллельный поток жидкости между плоскими твердыми стенками, разделенными расстоянием δ; μ - это вязкость и ${ displaystyle dp / dx}$ в градиент давления, обе константы. При масштабировании переменных проблема становится

{ displaystyle { frac {d ^ {2} { hat {u}}} {d { hat {y}} ^ {2}}} = 1 quad; quad { hat {u}} ( 0) = { hat {u}} (1) = 0}

куда

{ displaystyle y = { hat {y}} L qquad { text {and}} qquad u = { hat {u}} { frac {L ^ {2}} { mu}} { frac {dp} {dx}}.}

Масштабирование полезно по многим причинам. Это упрощает анализ как за счет сокращения количества параметров, так и за счет упрощения задачи. Правильное масштабирование может нормализовать переменные, то есть заставляют их иметь разумный безразмерный диапазон, такой как от 0 до 1. Наконец, если проблема требует числового решения, чем меньше параметров, тем меньше количество вычислений.

Импульс против скорости

Рассмотрим систему уравнений

{ displaystyle { begin {align} m { dot {v}} & = - { frac { partial H} { partial x}} [5pt] m { dot {x}} & = { frac { partial H} { partial v}} end {align}}}

для данной функции ${ Displaystyle Н (х, v)}$ Массу можно исключить (тривиальной) заменой ${ Displaystyle Phi (p) = 1 / m cdot p}$ .Ясно, что это биективное отображение из ${ Displaystyle mathbb {R}}$ к ${ Displaystyle mathbb {R}}$ . При замене ${ Displaystyle v = Phi (p)}$ система становится

{ displaystyle { begin {align} { dot {p}} & = - { frac { partial H} { partial x}} [5pt] { dot {x}} & = { frac { partial H} { partial p}} end {выровнено}}}

Лагранжева механика

Учитывая силовое поле ${ Displaystyle varphi (т, х, v)}$ , Ньютон с уравнения движения находятся

{ displaystyle m { ddot {x}} = varphi (t, x, v).}

Лагранж исследовал, как эти уравнения движения меняются при произвольной замене переменных ${ Displaystyle х = пси (т, у)}$ , ${ displaystyle v = { frac { partial Psi (t, y)} { partial t}} + { frac { partial Psi (t, y)} { partial y}} cdot ш. }$

Он обнаружил, что уравнения

{ displaystyle { frac { partial {L}} { partial y}} = { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} { frac { partial {L}} { partial {w}}}}

эквивалентны уравнениям Ньютона для функции ${ Displaystyle L = Т-В}$ ,куда Т кинетический, а V потенциальная энергия.

Фактически, когда подстановка выбрана правильно (используя, например, симметрии и ограничения системы), эти уравнения намного легче решить, чем уравнения Ньютона в декартовых координатах.