Теорема момент-площадь - Moment-area theorem
В теорема момент-площадь представляет собой инженерный инструмент для определения угла наклона, поворота и прогиба балок и рам. Эта теорема была развита Мор а позже заявлено именно Чарльз Эзра Грин в 1873 г. Этот метод полезен, когда мы решаем задачи, связанные с балками, особенно для тех, которые подвергаются серии сосредоточенных нагрузок или имеют сегменты с разными моменты инерции. Если мы нарисуем диаграмма моментов для балки, а затем разделив ее на жесткость на изгиб (EI), диаграмма M / EI получится по следующему уравнению
Теорема 1.
Изменение наклона между любыми двумя точками на упругой кривой равно площади диаграммы M / EI (момент) между этими двумя точками.
куда,
- = момент
- = жесткость на изгиб
- = изменение наклона между точками A и B
- = точки на упругой кривой[1]
Теорема 2.
Вертикальное отклонение точки A на упругой кривой относительно касательной, которая продолжается от другой точки B, равно моменту площади под диаграммой M / EI между этими двумя точками (A и B). Этот момент вычисляется относительно точки A, в которой необходимо определить отклонение от точки B до точки A.
куда,
- = момент
- = жесткость на изгиб
- = отклонение касательной в точке A относительно касательной в точке B
- = точки на упругой кривой[2]
Правила подписи
Отклонение в любой точке упругой кривой положительное, если точка лежит выше касательной, отрицательное, если точка находится ниже касательной; мы измеряли его от левого касательного, если θ направлено против часовой стрелки, изменение наклона положительное, отрицательное, если θ направлено по часовой стрелке.[3]
Процедура анализа
Следующая процедура предоставляет метод, который можно использовать для определения смещения и наклона в точке упругой кривой балки с использованием теоремы момент-площадь.
- Определите силы реакции конструкции и начертите диаграмму M / EI конструкции.
- Если на конструкцию действуют только сосредоточенные нагрузки, будет легко нарисовать диаграмму M / EI, в результате которой получится серия треугольных форм.
- Если есть смешанные с распределенными нагрузками и сосредоточенные, диаграмма моментов (M / EI) даст параболические кривые, кубические и т. Д.
- Затем предположите и нарисуйте форму отклонения конструкции, глядя на диаграмму M / EI.
- Найдите повороты, изменения наклона и прогиб конструкции с помощью геометрической математики.
Рекомендации
- ^ Хиббелер, Р. К. (2012). Структурный анализ (8-е изд.). Бостон: Прентис Холл. п. 316. ISBN 0-13-257053-X.
- ^ Хиббелер, Р. К. (2012). Структурный анализ (8-е изд.). Бостон: Прентис Холл. п. 317. ISBN 0-13-257053-X.
- ^ Метод "момент-площадь" Отклонение луча