Нутация - Nutation

Вращение, прецессия и нутация в наклоне планеты

Нутация (из латинский нутатих, "кивание, покачивание") - это раскачивание, покачивание или кивание в ось вращения в значительной степени осесимметричного объекта, такого как гироскоп, планета, или же пуля в полете, или как предполагаемое поведение механизма. В соответствующем система отсчета это можно определить как изменение второго Угол Эйлера. Если это не вызвано внешними по отношению к телу силами, это называется бесплатная нутация или же Эйлер нутация.^[1] А чистая нутация представляет собой движение оси вращения, при котором первый угол Эйлера постоянен.^{[нужна цитата ]} В динамике космических аппаратов прецессия (изменение первого угла Эйлера) иногда называют нутацией.^[2]

Жесткое тело

Если верх установлен наклонно на горизонтальной поверхности и быстро вращается, его ось вращения начинает прецессировать вокруг вертикали. Через короткий промежуток времени волчок приходит в движение, при котором каждая точка на его оси вращения следует по круговой траектории. Вертикальная сила тяжести создает горизонтальный крутящий момент. $τ$ о точке контакта с поверхностью; вершина вращается в направлении этого крутящего момента с угловой скоростью $Ω$ такой, что в любой момент

{displaystyle {oldsymbol {au}} = mathbf {Omega} imes mathbf {L},}

куда $L$ - мгновенный момент количества движения волчка.^[3]

Однако вначале прецессии нет, и вершина падает прямо вниз. Это вызывает дисбаланс крутящих моментов, который запускает прецессию. При падении вершина превышает уровень, на котором она будет устойчиво прецессировать, а затем колеблется около этого уровня. Это колебание называется нутация. Если движение затухает, колебания затихают до тех пор, пока движение не станет устойчивой прецессией.^[3]^[4]

Физика нутации в топах и гироскопы можно исследовать, используя модель тяжелый симметричный верх с фиксированным концом. (Симметричная вершина - это вершина с вращательной симметрией или, в более общем смысле, такая, в которой два из трех основных моментов инерции равны.) Первоначально эффект трения игнорируется. Движение волчка можно описать тремя Углы Эйлера: угол наклона $θ$ между осью симметрии верха и вертикалью; то азимут $φ$ верха о вертикаль; и угол поворота $ψ$ вершины вокруг собственной оси. Таким образом, прецессия - это изменение $φ$ а нутация - это изменение $θ$ .^[5]

Если верх имеет массу $M$ и это центр массы на расстоянии $л$ от точки поворота, его гравитационный потенциал относительно плоскости опоры

{displaystyle V = Mglcos (heta).}

В системе координат, где $z$ ось - ось симметрии, вершина имеет угловые скорости $ω 1, ω 2, ω 3$ и моменты инерции $я 1, я 2, я 3$ о $Икс, у$ , и $z$ топоры. Поскольку мы берем симметричный волчок, имеем $я 1$ = $я 2$ . В кинетическая энергия является

{displaystyle E_ {ext {r}} = {frac {1} {2}} I_ {1} left (omega _ {1} ^ {2} + omega _ {2} ^ {2} ight) + {frac { 1} {2}} I_ {3} omega _ {3} ^ {2}.}

В терминах углов Эйлера это

{displaystyle E_ {ext {r}} = {frac {1} {2}} I_ {1} left ({dot {heta}} ^ {2} + {dot {phi}} ^ {2} sin ^ {2 } (heta) ight) + {frac {1} {2}} I_ {3} left ({dot {psi}} + {dot {phi}} cos (heta) ight) ^ {2}.}.

Если Уравнения Эйлера – Лагранжа. решены для этой системы, установлено, что движение зависит от двух постоянных $а$ и $б$ (каждый связан с постоянная движения ). Скорость прецессии связана с наклоном соотношением

{displaystyle {dot {phi}} = {frac {b-acos (heta)} {sin ^ {2} (heta)}}.}

Наклон определяется дифференциальным уравнением для $ты = cos (θ)$ формы

{displaystyle {точка {u}} ^ {2} = f (u)}

куда $ж$ это кубический многочлен это зависит от параметров $а$ и $б$ а также константы, связанные с энергией и гравитационным моментом. Корни $ж$ находятся косинусы углов, под которыми скорость изменения из $θ$ равно нулю. Один из них не связан с физическим углом зрения; два других определяют верхнюю и нижнюю границы угла наклона, между которыми колеблется гироскоп.^[6]

Астрономия

Нутация планеты происходит потому, что гравитационные эффекты других тел вызывают скорость ее движения. осевая прецессия изменяться со временем, так что скорость не постоянна. Английский астроном Джеймс Брэдли обнаружил нутацию Ось земли в 1728 г.

земной шар

Ежегодные изменения местоположения Тропик Рака рядом с шоссе в Мексике

Нутация тонко меняет осевой наклон Земли по отношению к эклиптика самолет, смещая большие круги широты которые определяются наклоном Земли ( тропические круги и полярные круги ).

В случае Земли основными источниками приливной силы являются солнце и Луна, которые постоянно меняют положение относительно друг друга и тем самым вызывают нутацию оси Земли. Самый большой компонент нутации Земли имеет период 18,6 года, такой же, как у прецессии Земли. Орбитальные узлы Луны.^[1] Однако есть и другие важные периодические условия, которые необходимо учитывать в зависимости от желаемой точности результата. Математическое описание (система уравнений), представляющее нутацию, называется «теорией нутации». Теоретически параметры регулируются более-менее для этого случая метод получения наилучшего соответствия данным. Простой динамика твердого тела не дают лучшей теории; необходимо учитывать деформации Земли, в том числе неупругость мантии и изменения в граница ядро – мантия.^[7]

Главный срок нутации связан с регрессом Луны. узловая линия и имеет тот же период 6798 дней (18,61 года). Он достигает плюс-минус 17 дюймов. долгота и 9,2 дюйма в наклонность.^[8] Все остальные термины намного меньше; следующая по величине, с периодом 183 дня (0,5 года), имеет амплитуды соответственно 1,3 ″ и 0,6 ″. Периоды всех членов больше 0,0001 ″ (примерно так же точно, как один^{[ВОЗ? ]} можно измерить) лежат от 5,5 до 6798 дней; по какой-то причине (как в случае с океанскими приливными периодами) они, кажется, избегают диапазона от 34,8 до 91 дня, поэтому принято делить нутацию на долгопериодные и краткосрочные. Долгосрочные сроки рассчитываются и указываются в альманахах, в то время как дополнительная поправка на краткосрочные сроки обычно берется из таблицы. Их также можно рассчитать из Юлианский день в соответствии с методологией IAU 2000B.^[9]

В популярной культуре

В фильме-катастрофе 1961 года День, когда Земля загорелась, почти одновременный взрыв двух сверхмощныхводородные бомбы вблизи полюсов вызывает изменение нутации Земли, а также сдвиг оси на 11 ° и изменение орбиты Земли вокруг Солнца.

Смотрите также

Освобождение

дальнейшее чтение

Фейнман, Ричард П .; Лейтон, Роберт Б .; Пески, Мэтью (2011). Лекции Фейнмана по физике (Новое тысячелетие ред.). Нью-Йорк: BasicBooks. ISBN 978-0465024933.CS1 maint: ref = harv (связь)
Гольдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0201029189.CS1 maint: ref = harv (связь)
Ламбек, Курт (2005). Переменное вращение Земли: геофизические причины и последствия (В цифровой печати 1-е изд. Изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521673303.
Мунк, Уолтер Х .; Макдональд, Гордон Дж. Ф. (1975). Вращение Земли: геофизическая дискуссия. Перепечатка. с корр. Кембридж, англ .: Cambridge University Press. ISBN 9780521207782.

[Lowrie-1] а ^б Лоури, Уильям (2007). Основы геофизики (2-е изд.). Кембридж [u.a.]: Издательство Кембриджского университета. стр.58 –59. ISBN 9780521675963.

[2] Касдин, Н. Джереми; Палей, Дерек А. (2010). Инженерная динамика: всестороннее введение. Принстон, штат Нью-Джерси: Princeton University Press. С. 526–527. ISBN 9780691135373.

[Feynman-3] а ^б Фейнман, Лейтон и Сэндс 2011, стр. 20–7^{[требуется разъяснение ]}

[Goldstein220-4] Гольдштейн 1980, п. 220

[Goldstein217-5] Гольдштейн 1980, п. 217

[6] Гольдштейн 1980, стр. 213–217

[7] «Резолюция 83 по теории нежесткой нутации Земли». Международная служба вращения Земли и систем отсчета. Федеральное агентство картографии и геодезии. 2 апреля 2009 г.. Получено 2012-08-06.

[8] «Основы космического полета, глава 2». Лаборатория реактивного движения / НАСА. 28 августа 2013 г.. Получено 2015-03-26.

[9] «Неопрограммика - научные вычисления».

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]