Теорема Клеро - Википедия - Clairauts theorem

Не путать с Отношение Клеро в дифференциальной геометрии или Теорема Клеро о равенстве смешанных частных в исчислении.
Рисунок 1: Эллипсоид
Рисунок 2: Каркасная визуализация эллипсоида (сплюснутый сфероид)

Теорема Клеро характеризует поверхностную гравитацию на вязком вращающемся эллипсоид в равновесии под действием его гравитационного поля и центробежной силы. Он был опубликован в 1743 г. Алексис Клод Клеро в трактате[1] который синтезировал физические и геодезические доказательства того, что Земля представляет собой сжатую вращательную эллипсоид.[2][3] Первоначально он использовался, чтобы связать гравитацию в любой точке на поверхности Земли с положением этой точки, что позволяло эллиптичность Земли, который будет рассчитан на основе измерений силы тяжести на разных широтах. Сегодня его в значительной степени вытеснил Уравнение сомильяны.

История

Хотя с древних времен было известно, что Земля сферическая, к 17 веку накапливались свидетельства того, что это не идеальная сфера. В 1672 г. Жан Рише нашли первое свидетельство того, что гравитация не постоянна над Землей (как было бы, если бы Земля была сферой); он взял маятниковые часы к Cayenne, Французская Гвиана и обнаружил, что потерял2 1⁄2 минут в день по сравнению со скоростью в Париже.[4][5] Это указывало на ускорение свободного падения на Кайенне было меньше, чем в Париже. Маятниковые гравиметры начали использовать в путешествиях в отдаленные уголки мира, и постепенно было обнаружено, что гравитация плавно увеличивается с увеличением широты, причем гравитационное ускорение на полюсах примерно на 0,5% больше, чем на экваторе.

Британский физик Исаак Ньютон объяснил это в своем Principia Mathematica (1687), в котором он изложил свою теорию и расчеты формы Земли. Ньютон правильно предположил, что Земля не совсем сфера, но имеет сплюснутый эллипсоидальный форма, слегка приплюснутая на полюсах из-за центробежная сила его вращения. Поскольку поверхность Земли находится ближе к центру на полюсах, чем на экваторе, гравитация там сильнее. Используя геометрические вычисления, он привел конкретные аргументы в пользу гипотетической эллипсоидной формы Земли.[6]

Цель Principia заключалась не в том, чтобы дать точный ответ на естественные явления, а в теоретическом обосновании возможных решений этих неразрешенных в науке факторов. Ньютон подтолкнул ученых к более глубокому изучению необъяснимых переменных. Два выдающихся исследователя, которых он вдохновил, были Алексис Клеро и Пьер Луи Мопертюи. Они оба стремились доказать справедливость теории Ньютона о форме Земли. Для этого они отправились в экспедицию в Лапландия в попытке точно измерить дуга меридиана. По таким измерениям они могли рассчитать эксцентриситет Земли, степень ее отклонения от идеальной сферы. Клеро подтвердил, что теория Ньютона о том, что Земля имеет форму эллипса, верна, но его расчеты были ошибочными, и написал письмо Лондонское королевское общество с его выводами.[7] Общество опубликовало статью в Философские труды в следующем году, в 1737 году, обнаружилось его открытие. Клеро показал, насколько неверны уравнения Ньютона, и не доказал, что Земля имеет форму эллипсоида.[8] Однако он исправил проблемы с теорией, что фактически подтвердило правильность теории Ньютона. Клеро считал, что у Ньютона были причины для выбора той формы, которую он сделал, но он не поддерживал ее в Principia. Статья Клеро также не содержала действительного уравнения, подтверждающего его аргументы. Это вызвало много споров в научном сообществе.

Только когда Клеро написал Теория де ла фигура де ла терр в 1743 г. был дан правильный ответ. В ней он провозгласил то, что сегодня более формально известно как теорема Клеро.

Формула

Формула Клеро для ускорения свободного падения грамм на поверхности сфероида на широте φ была:[9][10]

куда - величина ускорения свободного падения на экваторе, м отношение центробежной силы к силе тяжести на экваторе, и ж то сплющивание из меридиан участок земли, определяемый как:

(куда а = большая полуось, б = малая полуось).

Клеро вывел формулу в предположении, что тело состоит из концентрических коаксиальных сфероидальных слоев постоянной плотности.[11] Эту работу впоследствии продолжили Лаплас, который ослабил первоначальное предположение о том, что поверхности одинаковой плотности являются сфероидами.[12]Стокса в 1849 году показал, что теорема применима к любому закону плотности, если внешняя поверхность является сфероидом равновесия.[13][14] История предмета и более подробные уравнения для грамм можно найти в Хан.[15]

Уравнение сомильяны

Вышеприведенное выражение для грамм был вытеснен уравнением Сомильяны (после Карло Сомильяна ):

куда,

  • это сфероид эксцентриситет, в квадрате;
  • - заданная сила тяжести на экваторе и полюсах соответственно;
  • (постоянная формула);

Для Земли, = 9,7803253359 мс−2; = 9,8321849378 мс−2; k = 0.00193185265241 ; е2 = 0.00669437999013:[16] [17]

Геодезия

Смотрите также: Теоретическая гравитация

Сфероидальная форма Земли - результат взаимодействия между сила тяжести и центробежная сила вызванный вращением Земли вокруг своей оси.[18][19] В его Principia, Ньютон предложил равновесную форму однородной вращающейся Земли в виде эллипсоида вращения с уплощением ж дано 1/230.[20][21] В результате сила тяжести увеличивается от экватора к полюсам. Применяя теорему Клеро, Лаплас из 15 значений силы тяжести найдено, что ж = 1/330. Современная оценка - 1 / 298,25642.[22] Видеть Фигура Земли для более подробной информации.

Для подробного описания конструкции эталонная модель Земли геодезии см. Chatfield.[23]

Рекомендации

  1. ^ Теория де ла фигура де ла терр, tirée des Principes de l'hydrostatique (Теория формы Земли, основанная на принципах гидростатики) Из каталога научных книг библиотеки Королевского общества.
  2. ^ Вольфганг Торге (2001). Геодезия: Введение (3-е изд.). Вальтер де Грюйтер. п. 10. ISBN  3-11-017072-8.
  3. ^ Эдвард Джон Раус (2001). Трактат по аналитической статике с многочисленными примерами. Vol. 2. Адамант Медиа Корпорация. п. 154. ISBN  1-4021-7320-2. Переиздание оригинальной работы, опубликованной в 1908 году издательством Cambridge University Press.
  4. ^ Пойнтинг, Джон Генри; Джозеф Джон Томпсон (1907). Учебник физики, 4-е изд.. Лондон: Charles Griffin & Co., стр.20.
  5. ^ Виктор Ф., Лензен; Роберт П. Мултауф (1964). "Документ 44: Развитие гравитационных маятников в XIX веке". Бюллетень 240 Национального музея США: Вклад Историко-технологического музея, перепечатанный в Бюллетене Смитсоновского института. Вашингтон: Пресса Смитсоновского института. п. 307. Получено 2009-01-28.
  6. ^ Ньютон, Исаак. Принципы, Книга III, Предложение XIX, Проблема III.
  7. ^ Гринбург, Джон (1995). Проблема формы Земли от Ньютона до Клеро. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр.132. ISBN  0-521-38541-5.
  8. ^ Клеро, Алексис; Колсон, Джон (1737). «Исследование о фигуре таких планет, которые вращаются вокруг оси, предполагая, что плотность постоянно меняется от центра к поверхности». Философские труды. JSTOR  103921.
  9. ^ У. В. Роуз Болл Краткое изложение истории математики (4-е издание, 1908 г.)
  10. ^ Уолтер Уильям Роуз Болл (1901). Краткое изложение истории математики (3-е изд.). Макмиллан. п.384. Краткое изложение истории математики »(4-е издание, 1908 г.) У. У. Роуз Болл.
  11. ^ Пойнтинг, Джон Генри; Джозеф Джон Томпсон (1907). Учебник физики, 4-е изд.. Лондон: Charles Griffin & Co., стр.22 –23.
  12. ^ Исаак Тодхантер. История математических теорий притяжения и фигуры Земли со времен Ньютона до времени Лапласа. Vol. 2. Элиброн Классикс. ISBN  1-4021-1717-5. Перепечатка оригинального издания 1873 года, опубликованного Macmillan and Co.
  13. ^ Осмонд Фишер (1889). Физика земной коры. Macmillan and Co. п. 27.
  14. ^ Джон Генри Пойнтинг; Джозеф Джон Томсон (1907). Учебник физики. К. Гриффин. п.22. Теорема Клеро.
  15. ^ Дело НАСА О равновесной фигуре земли Мохаммад А. Хан (1968)
  16. ^ Мировая геодезическая система Министерства обороны 1984 года - ее определение и взаимосвязь с местными геодезическими системами, NIMA TR8350.2, 3-е изд., Табл. 3.4, уравнение. 4-1
  17. ^ Уравнение 2.57 в заметках MIT Essentials of Geophysics OpenCourseWare
  18. ^ Джон П. Винти; Gim J. Der; Нино Л. Бонавито (1998). Орбитальная и небесная механика. Успехи в космонавтике и воздухоплавании, т. 177. Американский институт аэронавтики и астронавтики. п. 171. ISBN  1-56347-256-2.
  19. ^ Артур Гордон Вебстер (1904). Динамика частиц и твердых, упругих и жидких тел: лекции по математической физике. Б.Г. Teubner. п.468.
  20. ^ Исаак Ньютон: Principia Книга III Предложение XIX Проблема III, стр. 407 в переводе Эндрю Мотта.
  21. ^ Увидеть Principia на линии в Эндрю Мотт Перевод
  22. ^ Таблица 1.1 Численные стандарты IERS (2003 г.) )
  23. ^ Аверил Б. Чатфилд (1997). Основы высокоточной инерциальной навигации. Объем 174 дюйма Прогресс в космонавтике и воздухоплавании. Американский институт аэронавтики и астронавтики. Глава 1, Часть VIII с. 7. ISBN  1-56347-243-0.