Дуга меридиана - Meridian arc

В геодезия, а дуга меридиана измерение - это расстояние между двумя точками с одинаковым долгота, т.е. сегмент из меридиан изгиб или его длина. Два или более таких определения в разных местах затем определяют форму опорный эллипсоид который наилучшим образом соответствует форме геоид. Этот процесс называется определением фигура Земли. Самые ранние определения размера сферическая Земля требовалась единственная дуга. Последние определения используют астрогеодезический измерения и методы спутниковая геодезия для определения опорных эллипсоидов.

Те, кто интересуется точными выражениями дуги меридиана для WGS84 эллипсоид следует обратиться к подразделу, озаглавленному числовые выражения.

История измерений

Сферическая земля

Ранние оценки размеров Земли были сделаны в Греции в 4 веке до нашей эры, а учеными из калиф с Дом Мудрости в 9 веке. Первое реалистичное значение было рассчитано Александрийский ученый Эратосфен около 240 г. до н. э. По его оценкам, длина меридиана составляет 252 000 стадион, с ошибкой реального значения от -2,4% до + 0,8% (при условии, что значение стадиона составляет от 155 до 160 метров).^[1] Эратосфен описал свою технику в книге под названием По мере земли, который не сохранился. Похожий метод был использован Посидоний примерно 150 лет спустя, и несколько лучшие результаты были рассчитаны в 827 г. оценка качества^{[нужна цитата ]} халифа Аль-Мамун.

Эллипсоидальная Земля

В ранней литературе используется термин сплюснутый сфероид описать сфера «раздавлены полюсами». В современной литературе используется термин эллипсоид вращения на месте сфероид, хотя уточняющие слова «революции» обычно опускаются. An эллипсоид который не является эллипсоидом вращения, называется трехосным эллипсоидом. Сфероид и эллипсоид В этой статье используются как взаимозаменяемые, если не указано иное, подразумевается сжатие.

17 и 18 веков

Хотя это было известно с классическая древность что Земля была сферический К 17 веку накапливались свидетельства того, что это не идеальная сфера. В 1672 г. Жан Рише нашел первые доказательства того, что сила тяжести не было постоянным над Землей (как было бы, если бы Земля была сферой); он взял маятниковые часы к Cayenne, Французская Гвиана и обнаружил, что потерял2 ¹⁄₂ минут в день по сравнению со скоростью Париж.^[2][3] Это указывало на ускорение гравитации было меньше в Кайенне, чем в Париже. Маятниковые гравиметры начали использовать в путешествиях в отдаленные уголки мира, и постепенно было обнаружено, что сила тяжести плавно увеличивается с увеличением широта, гравитационное ускорение примерно на 0,5% больше на географические полюса чем на Экватор.

В 1687 году Ньютон опубликовал в Principia как доказательство того, что Земля была сжатой сфероид из сплющивание равно 1/230.^[4] Это оспаривали некоторые, но не все, французские ученые. Меридианная дуга Жан Пикар был продлен до более длинной дуги Джованни Доменико Кассини и его сын Жак Кассини за период 1684–1718 гг.^[5] Дуга была измерена, по крайней мере, с тремя определениями широты, поэтому они смогли вывести среднюю кривизну для северной и южной половин дуги, что позволило определить общую форму. Результаты показали, что Земля была вытянутый сфероид (с экваториальным радиусом меньше полярного). Чтобы решить проблему, Французская Академия Наук (1735) предложил экспедиции в Перу (Буге, Луи Годен, де ла Кондамин, Антонио де Уллоа, Хорхе Хуан ) и Лапландии (Мопертюи, Clairaut, Камю, Ле Монье, Аббат Оутьер, Андерс Цельсий ). Экспедиция в Перу описана в Французская геодезическая миссия статья, а это в Лапландию описано в Долина Торне статья. Полученные измерения на экваториальных и полярных широтах подтвердили, что Земля лучше всего моделируется сплюснутым сфероидом, поддерживающим Ньютон.^[5] К 1743 г. Теорема Клеро однако полностью вытеснил подход Ньютона.

К концу века Деламбре повторно измерил и расширил французскую дугу от Дюнкерк к Средиземноморье (в дуга меридиана Деламбра и Мешена ). Он был разделен на пять частей четырьмя промежуточными определениями широты. Комбинируя измерения вместе с измерениями для дуги Перу, были определены параметры формы эллипсоида и расстояние между экватором и полюсом вдоль Парижский меридиан был рассчитан как 5130762 туаз как указано в стандартном туаз-баре в Париже. Определение этого расстояния как точное 10000000 м привело к созданию нового стандарта метр бар как 0.5130762 туаз.^[5]:22

19 век

В XIX веке многие астрономы и геодезисты занимались детальными исследованиями кривизны Земли по разным дугам меридианов. В результате анализа было получено множество модельных эллипсоидов, таких как Plessis 1817, Airy 1830, Бессель 1830, Эверест 1830 г. и Кларк 1866.^[6] Полный список эллипсоидов приведен в разделе Эллипсоид Земли.

Расчет

Определение меридионального расстояния, то есть расстояния от экватора до точки на широте. φ на эллипсоиде - важная проблема теории картографических проекций, особенно поперечная проекция Меркатора. Эллипсоиды обычно задаются в терминах параметров, определенных выше, а, б, ж, но в теоретической работе полезно определить дополнительные параметры, в частности эксцентриситет, е, а третий сплющивание п. Только два из этих параметров независимы, и между ними существует множество взаимосвязей:

${displaystyle {egin {выравнивается} f & = {frac {ab} {a}} ,, qquad e ^ {2} = f (2-f) ,, qquad n = {frac {ab} {a + b}} = {frac {f} {2-f}} ,, b & = a (1-f) = a {sqrt {1-e ^ {2}}} ,, qquad e ^ {2} = {frac {4n} {(1 + n) ^ {2}}} ,. конец {выровнено}}}$

В меридиональный радиус кривизны можно показать^[7][8] быть равным

${displaystyle M (varphi) = {frac {a (1-e ^ {2})} {left (1-e ^ {2} sin ^ {2} varphi ight) ^ {frac {3} {2}}} },}$

так что длина дуги бесконечно малого элемента меридиана равна дм = M(φ) dφ (с φ в радианах). Следовательно, меридиональное расстояние от экватора до широты φ является

${displaystyle {egin {выравнивается} m (varphi) & = int _ {0} ^ {varphi} M (varphi), dvarphi & = a (1-e ^ {2}) int _ {0} ^ {varphi} left (1-e ^ {2} sin ^ {2} varphi ight) ^ {- {frac {3} {2}}}, dvarphi, .end {выровнено}}}$

Формула расстояния проще, если записать ее в терминахпараметрическая широта,

${displaystyle m (varphi) = bint _ {0} ^ {eta} {sqrt {1 + e '^ {2} sin ^ {2} eta}}, d eta ,,}$

куда загар β = (1 − ж) загар φ и е′² = е²/1 − е².

Расстояние от экватора до полюса, четверть меридиана, равно

${displaystyle m_ {mathrm {p}} = mleft ({frac {pi} {2}} ight) ,.}$

Хотя широта обычно ограничивается диапазоном [−π/2,π/2], все приведенные здесь формулы применимы для измерения расстояния вокруг полного эллипса меридиана (включая антимеридиан). Таким образом, диапазоны φ, β, а выпрямляющая широта μ, не ограничены.

Связь с эллиптическими интегралами

Приведенный выше интеграл относится к частному случаю неполный эллиптический интеграл третьего рода. В обозначениях онлайн-справочника NIST^[9] (Раздел 19.2 (ii) ),

${displaystyle m (varphi) = aleft (1-e ^ {2} ight), Pi (varphi, e ^ {2}, e) ,.}$

Это также может быть записано в терминах неполные эллиптические интегралы второго рода (См. Руководство NIST Раздел 19.6 (iv) ),

${displaystyle {egin {выравнивается} m (varphi) & = aleft (E (varphi, e) - {frac {e ^ {2} sin varphi cos varphi} {sqrt {1-e ^ {2} sin ^ {2}} varphi}}} ight) & = aleft (E (varphi, e) + {frac {d ^ {2}} {dvarphi ^ {2}}} E (varphi, e) ight) & = bE (eta, т.е. ') ,. конец {выровнен}}}$

Четверть меридиана можно выразить через полный эллиптический интеграл второго рода,

${displaystyle m_ {mathrm {p}} = aE (e) = bE (ie ').}$

Вычисление (с произвольной точностью) эллиптических интегралов и приближений также обсуждается в справочнике NIST. Эти функции также реализованы в программах компьютерной алгебры, таких как Mathematica.^[10] и Максима.^[11]

Расширения серии

Вышеупомянутый интеграл может быть выражен в виде бесконечного усеченного ряда путем разложения подынтегрального выражения в ряд Тейлора, определения итоговых интегралов по члену и выражения результата в виде тригонометрического ряда. В 1755 г. Эйлер^[12] получил разложение в третий эксцентриситет в квадрате.

Расширения эксцентриситета (е)

Деламбре в 1799 г.^[13] получил широко используемое расширение на е²,

${displaystyle m (varphi) = {frac {b ^ {2}} {a}} left (D_ {0} varphi + D_ {2} sin 2varphi + D_ {4} sin 4varphi + D_ {6} sin 6varphi + D_ {8} sin 8varphi + cdots ight) ,,}$

куда

${displaystyle {egin {align} D_ {0} & = 1+ {frac {3} {4}} e ^ {2} + {frac {45} {64}} e ^ {4} + {frac {175} {256}} e ^ {6} + {frac {11025} {16384}} e ^ {8} + cdots, D_ {2} & = - {frac {3} {8}} e ^ {2} - {frac {15} {32}} e ^ {4} - {frac {525} {1024}} e ^ {6} - {frac {2205} {4096}} e ^ {8} -cdots, D_ { 4} & = {frac {15} {256}} e ^ {4} + {frac {105} {1024}} e ^ {6} + {frac {2205} {16384}} e ^ {8} + cdots , D_ {6} & = - {frac {35} {3072}} e ^ {6} - {frac {105} {4096}} e ^ {8} -cdots, D_ {8} & = {frac {315} {131072}} e ^ {8} + cdots .end {align}}}$

Рапп^[14] дает подробный вывод этого результата. В этой статье тригонометрические термины формы грех 4φ интерпретируются как грех (4φ).

Расширения в третьем уплощении (п)

Ряды со значительно более быстрой сходимостью можно получить, расширив по третье сплющивание п вместо эксцентричности. Они связаны

${displaystyle e ^ {2} = {frac {4n} {(1 + n) ^ {2}}} ,.}$

В 1837 г. Бессель получил одну такую ​​серию,^[15] что было преобразовано в более простую форму Helmert,^[16][17]

${displaystyle m (varphi) = {frac {a + b} {2}} left (H_ {0} varphi + H_ {2} sin 2varphi + H_ {4} sin 4varphi + H_ {6} sin 6varphi + H_ {8 } sin 8varphi + cdots ight) ,,}$

с

${displaystyle {egin {align} H_ {0} & = 1+ {frac {1} {4}} n ^ {2} + {frac {1} {64}} n ^ {4} + cdots, H_ { 2} & = - {frac {3} {2}} n + {frac {3} {16}} n ^ {3} + cdots, & H_ {6} & = - {frac {35} {48}} n ^ {3} + cdots, H_ {4} & = {frac {15} {16}} n ^ {2} - {frac {15} {64}} n ^ {4} -cdots, qquad & H_ {8} & = {frac {315} {512}} n ^ {4} -cdots .end {выровнено}}}$

Потому что п меняет знак, когда а и б меняются местами, и поскольку исходный фактор 1/2(а + б) постоянна при этой замене, половина членов разложений ЧАС_2k исчезнуть.

Ряд может быть выражен как а или же б в качестве исходного фактора, написав, например,

${displaystyle {frac {1} {2}} (a + b) = {frac {a} {1 + n}} = a (1-n + n ^ {2} -n ^ {3} + n ^ { 4} -cdots) ,,}$

и разворачивая результат в ряд в п. Несмотря на то, что это приводит к более медленно сходящимся рядам, такие ряды используются в спецификации для поперечная проекция Меркатора посредством Национальное агентство геопространственной разведки^[18] и Картографическая служба Великобритании.^[19]

Ряд по параметрической широте

В 1825 году Бессель^[20] получили расширение меридионального расстояния с точки зрения параметрической широты β в связи с его работой над геодезические,

${displaystyle m (varphi) = {frac {a + b} {2}} left (B_ {0} eta + B_ {2} sin 2 eta + B_ {4} sin 4 eta + B_ {6} sin 6 eta + B_ {8} sin 8 eta + cdots ight) ,,}$

с

${displaystyle {egin {align} B_ {0} & = 1+ {frac {1} {4}} n ^ {2} + {frac {1} {64}} n ^ {4} + cdots = H_ {0 } ,, B_ {2} & = - {frac {1} {2}} n + {frac {1} {16}} n ^ {3} + cdots, & B_ {6} & = - {frac {1} {48}} n ^ {3} + cdots, B_ {4} & = - {frac {1} {16}} n ^ {2} + {frac {1} {64}} n ^ {4} + cdots, qquad & B_ {8} & = - {frac {5} {512}} n ^ {4} + cdots .end {выровнено}}}$

Поскольку этот ряд обеспечивает расширение для эллиптического интеграла второго рода, его можно использовать для записи длины дуги с точки зрения географической широты как

${displaystyle m (varphi) = {frac {a + b} {2}} left (B_ {0} varphi -B_ {2} sin 2varphi + B_ {4} sin 4varphi -B_ {6} sin 6varphi + B_ {8 } sin 8varphi -cdots - {frac {2nsin 2varphi} {sqrt {1 + 2ncos 2varphi + n ^ {2}}}} ight) ,.}$

Обобщенный ряд

Вышеупомянутые серии до восьмого порядка по эксцентриситету или четвертого порядка по третьему уплощению обеспечивают точность до миллиметра. С помощью систем символьной алгебры их можно легко расширить до шестого порядка при третьем выравнивании, что обеспечивает полную точность двойной точности для наземных приложений.

Деламбре^[13] и Бессель^[20] оба написали свои серии в форме, позволяющей обобщать их в произвольном порядке. Коэффициенты в ряду Бесселя можно выразить особенно просто

${displaystyle B_ {2k} = {egin {case} c_ {0} ,, & {ext {if}} k = 0 ,, [5px] {dfrac {c_ {k}} {k}} ,, & { ext {if}} k> 0,, конец {случаи}}}$

куда

${displaystyle c_ {k} = sum _ {j = 0} ^ {infty} {frac {(2j-3) !!, (2j + 2k-3) !!} {(2j) !!, (2j + 2k ) !!}} n ^ {k + 2j}}$

и k!! это двойной факториал, расширенный до отрицательных значений с помощью рекурсивного отношения: (−1)!! = 1 и (−3)!! = −1.

Коэффициенты ряда Гельмерта могут быть выражены аналогичным образом в общем виде:

${displaystyle H_ {2k} = (- 1) ^ {k} (1-2k) (1 + 2k) B_ {2k} ,.}$

Этот результат был выдвинут Гельмертом.^[21] и доказано Кавасе.^[22]

Фактор (1 − 2k)(1 + 2k) приводит к ухудшению сходимости ряда по φ по сравнению с одним в β.

Четверть меридиана определяется выражением

${displaystyle m_ {mathrm {p}} = {frac {pi (a + b)} {4}} c_ {0} = {frac {pi (a + b)} {4}} sum _ {j = 0} ^ {infty} left ({frac {(2j-3) !!} {(2j) !!}} ight) ^ {2} n ^ {2j} ,,}$

результат, который впервые был получен Айвори.^[23]

Числовые выражения

Приведенный выше тригонометрический ряд удобно оценивать с помощью Суммирование Кленшоу. Этот метод позволяет избежать вычисления большинства тригонометрических функций и позволяет быстро и точно суммировать ряды. Этот метод также можно использовать для оценки разницы м(φ₁) − м(φ₂) при сохранении высокой относительной точности.

Подставляя значения для большой полуоси и эксцентриситета WGS84 эллипсоид дает

${displaystyle {egin {выравнивается} m (varphi) & = left (111,132.952,55, varphi ^ {(circ)} - 16,038,509, sin 2varphi + 16,833, sin 4varphi -0.022, sin 6varphi + 0,000,03, sin 8varphi ight) {mbox {meter}} & = left (111,132.952,55, eta ^ {(circ)} - 5,346,170, sin 2 eta -1,122, sin 4 eta -0,001, sin 6 eta -0,5 imes 10 ^ {- 6}, sin 8 eta ight) {mbox {метров,}} конец {выровнено}}}$

куда φ⁽°⁾ = φ/1° является φ выражается в градусах (и аналогично для β⁽°⁾).

Для эллипсоида WGS84 четверть меридиана

${displaystyle m_ {mathrm {p}} = {frac {pi (a + b)} {4}} c_ {0} = 10 001 965,729 {mbox {m.}}}$

Периметр меридионального эллипса равен 4м_п = 2π (а + б)c₀. Следовательно, 1/2(а + б)c₀ - радиус круга, длина окружности которого совпадает с периметром меридионального эллипса. Это определяет исправление радиуса Земли в качестве 63674490,146 м.

На эллипсоиде точное расстояние между параллелями при φ₁ и φ₂ является м(φ₁) − м(φ₂). Для WGS84 приблизительное выражение для расстояния Δм между двумя параллелями на ± 0,5 ° от окружности на широте φ дан кем-то

${displaystyle Delta m = (111,133-560cos 2varphi) {mbox {meter.}}}$

Обратная меридианная задача для эллипсоида

В некоторых задачах нам нужно уметь решать обратную задачу: задано м, определять φ. Это может быть решено Метод Ньютона, итерация

${displaystyle varphi _ {i + 1} = varphi _ {i} - {frac {m (varphi _ {i}) - m} {M (varphi _ {i})}} ,,}$

до схождения. Подходящее начальное предположение дается формулой φ₀ = μ куда

${displaystyle mu = {frac {pi} {2}} {frac {m} {m_ {mathrm {p}}}}}$

это исправление широты. Обратите внимание, что нет необходимости дифференцировать серии для м(φ), поскольку формула для меридионального радиуса кривизны M(φ) можно использовать вместо этого.

В качестве альтернативы, ряд Гельмерта для меридионального расстояния можно повернуть вспять, чтобы получить^[24][25]

${displaystyle varphi = mu + H '_ {2} sin 2mu + H' _ {4} sin 4mu + H '_ {6} sin 6mu + H' _ {8} sin 8mu + cdots}$

куда

${displaystyle {egin {align} H '_ {2} & = {frac {3} {2}} n- {frac {27} {32}} n ^ {3} + cdots, & H' _ {6} & = {frac {151} {96}} n ^ {3} + cdots, H '_ {4} & = {frac {21} {16}} n ^ {2} - {frac {55} {32} } n ^ {4} + cdots, qquad & H '_ {8} & = {frac {1097} {512}} n ^ {4} + cdots .end {выровнено}}}$

Аналогично, ряд Бесселя для м с точки зрения β можно вернуть, чтобы дать^[26]

${displaystyle eta = mu + B '_ {2} sin 2mu + B' _ {4} sin 4mu + B '_ {6} sin 6mu + B' _ {8} sin 8mu + cdots,}$

куда

${displaystyle {egin {align} B '_ {2} & = {frac {1} {2}} n- {frac {9} {32}} n ^ {3} + cdots, & B' _ {6} & = {frac {29} {96}} n ^ {3} -cdots, B '_ {4} & = {frac {5} {16}} n ^ {2} - {frac {37} {96} } n ^ {4} + cdots, qquad & B '_ {8} & = {frac {539} {1536}} n ^ {4} -cdots .end {выровнено}}}$

Legendre^[27] показал, что расстояние по геодезической на сфероиде такое же, как и расстояние по периметру эллипса. По этой причине выражение для м с точки зрения β и его обратная, указанная выше, играют ключевую роль в решении геодезическая задача с м заменен на s, расстояние по геодезической и β заменен на σ- длина дуги на вспомогательной сфере.^[20][28] Необходимые серии, расширенные до шестого порядка, даны Карни,^[29] Уравнения. (17) и (21), с ε играя роль п и τ играя роль μ.

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка

• Онлайн-расчет дуг меридианов на различных геодезических опорных эллипсоидах