Матричное разностное уравнение - Википедия - Matrix difference equation

А матричное разностное уравнение это разностное уравнение в котором значение a вектор (или иногда матрица) переменных в один момент времени связана со своим собственным значением в один или несколько предыдущих моментов времени, используя матрицы.^[1]^[2] В порядок уравнения - максимальный временной интервал между любыми двумя указанными значениями вектора переменной. Например,

{ displaystyle mathbf {x} _ {t} = mathbf {A} mathbf {x} _ {t-1} + mathbf {B} mathbf {x} _ {t-2}}

является примером матричного разностного уравнения второго порядка, в котором $Икс$ является $п \times 1$ вектор переменных и $А$ и $B$ находятся $п \times п$ матрицы. Это уравнение является однородным, потому что в конец уравнения не добавляется член-константа вектора. То же уравнение можно записать как

{ displaystyle mathbf {x} _ {t + 2} = mathbf {A} mathbf {x} _ {t + 1} + mathbf {B} mathbf {x} _ {t}}

или как

{ displaystyle mathbf {x} _ {n} = mathbf {A} mathbf {x} _ {n-1} + mathbf {B} mathbf {x} _ {n-2}}

Наиболее часто встречаются матричные разностные уравнения первого порядка.

Неоднородный случай первого порядка и установившееся состояние

Примером неоднородного матричного разностного уравнения первого порядка является

{ displaystyle mathbf {x} _ {t} = mathbf {A} mathbf {x} _ {t-1} + mathbf {b}}

с аддитивным постоянным вектором $б$ . Устойчивое состояние этой системы - это величина $Икс *$ вектора $Икс$ от которой, если она будет достигнута, не отклонятся впоследствии. $Икс *$ находится путем установки $Икс т = Икс т -1 = Икс *$ в разностном уравнении и решение для $Икс *$ чтобы получить

{ Displaystyle mathbf {x} ^ {*} = [ mathbf {I} - mathbf {A}] ^ {- 1} mathbf {b}}

куда $я$ это п × п единичная матрица, и где предполагается, что $[я - А]$ является обратимый. Тогда неоднородное уравнение можно переписать в однородном виде в терминах отклонений от стационарного состояния:

{ displaystyle left [ mathbf {x} _ {t} - mathbf {x} ^ {*} right] = mathbf {A} left [ mathbf {x} _ {t-1} - mathbf {x} ^ {*} right]}

Устойчивость случая первого порядка.

Матричное разностное уравнение первого порядка $[Икс т - Икс *] = А [Икс т -1 - Икс *]$ является стабильный -то есть, $Икс т$ асимптотически сходится к установившемуся состоянию $Икс *$ - если и только если все собственные значения матрицы перехода $А$ (реальный или сложный) иметь абсолютная величина что меньше 1.

Решение случая первого порядка

Предположим, что уравнение записано в однородном виде $у т = Ау т -1$ . Затем мы можем повторять и заменять несколько раз из начальное состояние $у 0$ , являющееся начальным значением вектора $у$ и которые необходимо знать, чтобы найти решение:

{ displaystyle { begin {align} mathbf {y} _ {1} & = mathbf {A} mathbf {y} _ {0} mathbf {y} _ {2} & = mathbf { A} mathbf {y} _ {1} = mathbf {A} ^ {2} mathbf {y} _ {0} mathbf {y} _ {3} & = mathbf {A} mathbf {y} _ {2} = mathbf {A} ^ {3} mathbf {y} _ {0} end {выравнивается}}}

и так далее, чтобы математическая индукция решение с точки зрения $т$ является

{ displaystyle mathbf {y} _ {t} = mathbf {A} ^ {t} mathbf {y} _ {0}}

Далее, если $А$ диагонализируется, мы можем переписать $А$ с точки зрения его собственные значения и собственные векторы, давая решение как

{ displaystyle mathbf {y} _ {t} = mathbf {P} mathbf {D} ^ {t} mathbf {P} ^ {- 1} mathbf {y} _ {0},}

куда $п$ является $п \times п$ матрица, столбцы которой являются собственные векторы из $А$ (предполагая, что все собственные значения различны) и $D$ является $п \times п$ диагональная матрица диагональные элементы которого являются собственными значениями $А$ . Это решение мотивирует вышеуказанный результат стабильности: $А т$ сжимается до нулевой матрицы со временем тогда и только тогда, когда собственные значения А все меньше единицы по абсолютной величине.

Извлечение динамики одной скалярной переменной из матричной системы первого порядка

Начиная с $п$ -мерная система $у т = Ау т -1$ , мы можем извлечь динамику одной из переменных состояния, скажем $у 1$ . Приведенное выше уравнение решения для $у т$ показывает, что решение для $у 1, т$ с точки зрения $п$ собственные значения $А$ . Следовательно, уравнение, описывающее эволюцию $у 1$ само по себе должно иметь решение, включающее те же самые собственные значения. Это описание интуитивно мотивирует уравнение эволюции $у 1$ , который

{ displaystyle y_ {1, t} = a_ {1} y_ {1, t-1} + a_ {2} y_ {1, t-2} + dots + a_ {n} y_ {1, t-n}}

где параметры $а я$ из характеристическое уравнение матрицы $А$ :

{ displaystyle lambda ^ {n} -a_ {1} lambda ^ {n-1} -a_ {2} lambda ^ {n-2} - dots -a_ {n} lambda ^ {0} = 0.}

Таким образом, каждая отдельная скалярная переменная $п$ -мерная линейная система первого порядка эволюционирует по одномерному $п$ разностное уравнение th степени, которое имеет такое же свойство устойчивости (стабильное или нестабильное), что и матричное разностное уравнение.

Решение и устойчивость случаев высшего порядка

Матричные разностные уравнения более высокого порядка, то есть с запаздыванием более одного периода, могут быть решены, а их устойчивость проанализирована путем преобразования их в форму первого порядка с использованием блочная матрица (матрица матриц). Например, предположим, что у нас есть уравнение второго порядка

{ displaystyle mathbf {x} _ {t} = mathbf {A} mathbf {x} _ {t-1} + mathbf {B} mathbf {x} _ {t-2}}

с переменным вектором $Икс$ существование $п \times 1$ и $А$ и $B$ существование $п \times п$ . Его можно сложить в виде

{ displaystyle { begin {bmatrix} mathbf {x} _ {t} mathbf {x} _ {t-1} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} mathbf {A } & mathbf {B} mathbf {I} & mathbf {0} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} mathbf {x} _ {t-1} mathbf { х} _ {t-2} end {bmatrix}}}

куда $я$ это $п \times п$ единичная матрица и $0$ это $п \times п$ нулевая матрица. Затем обозначая $2 п \times 1$ сложенный вектор текущих и однократно запаздывающих переменных как $z т$ и $2 п \times 2 п$ блочная матрица как $L$ , по-прежнему имеем решение

{ Displaystyle mathbf {z} _ {t} = mathbf {L} ^ {t} mathbf {z} _ {0}}

Как и раньше, это комплексное уравнение и, следовательно, исходное уравнение второго порядка устойчивы тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы $L$ меньше единицы по модулю.

Нелинейные матричные разностные уравнения: уравнения Риккати

В линейно-квадратично-гауссовское управление, возникает нелинейное матричное уравнение для обратной эволюции текущих и будущих затрат матрица, обозначаемый ниже как $ЧАС$ . Это уравнение называется дискретным динамическим Уравнение Риккати, и он возникает, когда переменный вектор, эволюционирующий в соответствии с линейным матричным разностным уравнением, управляется путем манипулирования экзогенный вектор для оптимизации квадратичный функция стоимости. Это уравнение Риккати принимает следующий или аналогичный вид:

{ displaystyle mathbf {H} _ {t-1} = mathbf {K} + mathbf {A} ' mathbf {H} _ {t} mathbf {A} - mathbf {A}' mathbf {H} _ {t} mathbf {C} left [ mathbf {C} ' mathbf {H} _ {t} mathbf {C} + mathbf {R} right] ^ {- 1} mathbf {C} ' mathbf {H} _ {t} mathbf {A}}

куда $ЧАС$ , $K$ , и $А$ находятся $п \times п$ , $C$ является $п \times k$ , $р$ является $k \times k$ , $п$ - количество элементов в векторе, которым нужно управлять, и $k$ - количество элементов в векторе управления. Матрицы параметров $А$ и $C$ из линейного уравнения, а матрицы параметров $K$ и $р$ являются от квадратичной функции стоимости. Видеть здесь для подробностей.

Как правило, это уравнение не может быть решено аналитически для $ЧАС т$ с точки зрения $т$ ; скорее, последовательность значений для $ЧАС т$ находится путем повторения уравнения Риккати. Однако было показано^[3] что это уравнение Риккати можно решить аналитически, если $р = 0$ и $п = k + 1$ , сведя его к скаляру рациональное разностное уравнение; кроме того, для любого $k$ и $п$ если матрица перехода $А$ является невырожденным, то уравнение Риккати может быть решено аналитически в терминах собственных значений матрицы, хотя их, возможно, придется находить численно.^[4]

В большинстве случаев эволюция $ЧАС$ назад во времени стабильно, что означает, что $ЧАС$ сходится к определенной фиксированной матрице $ЧАС *$ что может быть иррациональным, даже если все остальные матрицы рациональны. Смотрите также Стохастическое управление § Дискретное время.

Связанное уравнение Риккати^[5] является

{ displaystyle mathbf {X} _ {t + 1} = - left [ mathbf {E} + mathbf {B} mathbf {X} _ {t} right] left [ mathbf {C} + mathbf {A} mathbf {X} _ {t} right] ^ {- 1}}

в котором матрицы $Икс$ , $А$ , $B$ , $C$ , и $E$ все $п \times п$ . Это уравнение можно решить явно. Предполагать $Икс т = N т D -1 т$ , что, безусловно, верно для $т = 0$ с $N 0 = Икс 0$ и с $D 0 = я$ . Затем, используя это в разностном уравнении, получаем

{ displaystyle { begin {align} mathbf {X} _ {t + 1} & = - left [ mathbf {E} + mathbf {B} mathbf {N} _ {t} mathbf {D } _ {t} ^ {- 1} right] mathbf {D} _ {t} mathbf {D} _ {t} ^ {- 1} left [ mathbf {C} + mathbf {A} mathbf {N} _ {t} mathbf {D} _ {t} ^ {- 1} right] ^ {- 1} & = - left [ mathbf {E} mathbf {D} _ {t} + mathbf {B} mathbf {N} _ {t} right] left [ left [ mathbf {C} + mathbf {A} mathbf {N} _ {t} mathbf { D} _ {t} ^ {- 1} right] mathbf {D} _ {t} right] ^ {- 1} & = - left [ mathbf {E} mathbf {D} _ {t} + mathbf {B} mathbf {N} _ {t} right] left [ mathbf {C} mathbf {D} _ {t} + mathbf {A} mathbf {N} _ {t} right] ^ {- 1} & = mathbf {N} _ {t + 1} mathbf {D} _ {t + 1} ^ {- 1} end {выравнивается}}}

поэтому по индукции форма $Икс т = N т D -1 т$ относится ко всем $т$ . Затем эволюция $N$ и $D$ можно записать как

{ displaystyle { begin {bmatrix} mathbf {N} _ {t + 1} mathbf {D} _ {t + 1} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} - mathbf { B} & - mathbf {E} mathbf {A} & mathbf {C} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} mathbf {N} _ {t} mathbf {D} _ {t} end {bmatrix}} Equiv mathbf {J} { begin {bmatrix} mathbf {N} _ {t} mathbf {D} _ {t} end {bmatrix}}}

Таким образом, по индукции

{ displaystyle { begin {bmatrix} mathbf {N} _ {t} mathbf {D} _ {t} end {bmatrix}} = mathbf {J} ^ {t} { begin {bmatrix } mathbf {N} _ {0} mathbf {D} _ {0} end {bmatrix}}}