Рациональное разностное уравнение - Википедия - Rational difference equation

А рациональное разностное уравнение является нелинейным разностное уравнение формы^[1][2][3][4]

${ displaystyle x_ {n + 1} = { frac { alpha + sum _ {i = 0} ^ {k} beta _ {i} x_ {ni}} {A + sum _ {i = 0} ^ {k} B_ {i} x_ {ni}}} ~,}$

где начальные условия ${ displaystyle x_ {0}, x _ {- 1}, dots, x _ {- k}}$ таковы, что знаменатель никогда не обращается в нуль ни при каких п.

Рациональное разностное уравнение первого порядка

А рациональное разностное уравнение первого порядка является нелинейным разностное уравнение формы

${ displaystyle w_ {t + 1} = { frac {aw_ {t} + b} {cw_ {t} + d}}.}$

Когда ${ displaystyle a, b, c, d}$ и начальное условие ${ displaystyle w_ {0}}$ являются действительными числами, это разностное уравнение называется Разностное уравнение Риккати.^[3]

Такое уравнение можно решить, написав ${ displaystyle w_ {t}}$ как нелинейное преобразование другой переменной ${ displaystyle x_ {t}}$ которое само развивается линейно. Тогда стандартные методы могут быть использованы для решения линейное разностное уравнение в ${ displaystyle x_ {t}}$.

Решение уравнения первого порядка

Первый подход

Один подход ^[5] к разработке преобразованной переменной ${ displaystyle x_ {t}}$, когда ${ displaystyle ad-bc neq 0}$, это написать

${ displaystyle y_ {t + 1} = alpha - { frac { beta} {y_ {t}}}}$

куда ${ Displaystyle альфа = (а + d) / с}$ и ${ Displaystyle бета = (AD-BC) / с ^ {2}}$ и где ${ displaystyle w_ {t} = y_ {t} -d / c}$.

Дальнейшее письмо ${ Displaystyle у_ {т} = х_ {т + 1} / х_ {т}}$ можно показать, чтобы уступить

${ displaystyle x_ {t + 2} - alpha x_ {t + 1} + beta x_ {t} = 0.}$

Второй подход

Этот подход ^[6] дает разностное уравнение первого порядка для ${ displaystyle x_ {t}}$ вместо второго порядка, для случая, когда ${ displaystyle (d-a) ^ {2} + 4bc}$ неотрицательно. Написать ${ displaystyle x_ {t} = 1 / ( eta + w_ {t})}$ подразумевая ${ displaystyle w_ {t} = (1- eta x_ {t}) / x_ {t}}$, куда ${ displaystyle eta}$ дан кем-то ${ displaystyle eta = (d-a + r) / 2c}$ и где ${ displaystyle r = { sqrt {(d-a) ^ {2} + 4bc}}}$. Тогда можно показать, что ${ displaystyle x_ {t}}$ развивается согласно

${ displaystyle x_ {t + 1} = left ({ frac {d- eta c} { eta c + a}} right) x_ {t} + { frac {c} { eta c + a}}.}$

Третий подход

Уравнение

${ displaystyle w_ {t + 1} = { frac {aw_ {t} + b} {cw_ {t} + d}}}$

также можно решить, рассматривая его как частный случай более общее матричное уравнение

${ Displaystyle X_ {t + 1} = - (E + BX_ {t}) (C + AX_ {t}) ^ {- 1},}$

где все А, Б, В, Е, и Икс находятся п×п матрицы (в данном случае п= 1); решение этого^[7]

${ displaystyle X_ {t} = N_ {t} D_ {t} ^ {- 1}}$

куда

${ displaystyle { begin {pmatrix} N_ {t} D_ {t} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -B & -E A&C end {pmatrix}} ^ {t} { begin {pmatrix} X_ {0} I end {pmatrix}}.}$

Заявление

Это было показано в ^[8] что динамичный матричное уравнение Риккати формы

${ displaystyle H_ {t-1} = K + A'H_ {t} A-A'H_ {t} C (C'H_ {t} C) ^ {- 1} C'H_ {t} A,}$

которые могут возникнуть в некоторых дискретное время оптимальный контроль задачи, можно решить, используя второй подход, описанный выше, если матрица C только на одну строку больше, чем столбец.

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Саймонс, Стюарт, «Нелинейное разностное уравнение», Математический вестник 93, ноябрь 2009 г., 500-504.