Рациональное разностное уравнение - Википедия - Rational difference equation

А рациональное разностное уравнение является нелинейным разностное уравнение формы[1][2][3][4]

где начальные условия таковы, что знаменатель никогда не обращается в нуль ни при каких п.

Рациональное разностное уравнение первого порядка

А рациональное разностное уравнение первого порядка является нелинейным разностное уравнение формы

Когда и начальное условие являются действительными числами, это разностное уравнение называется Разностное уравнение Риккати.[3]

Такое уравнение можно решить, написав как нелинейное преобразование другой переменной которое само развивается линейно. Тогда стандартные методы могут быть использованы для решения линейное разностное уравнение в .

Решение уравнения первого порядка

Первый подход

Один подход [5] к разработке преобразованной переменной , когда , это написать

куда и и где .

Дальнейшее письмо можно показать, чтобы уступить

Второй подход

Этот подход [6] дает разностное уравнение первого порядка для вместо второго порядка, для случая, когда неотрицательно. Написать подразумевая , куда дан кем-то и где . Тогда можно показать, что развивается согласно

Третий подход

Уравнение

также можно решить, рассматривая его как частный случай более общее матричное уравнение

где все А, Б, В, Е, и Икс находятся п×п матрицы (в данном случае п= 1); решение этого[7]

куда

Заявление

Это было показано в [8] что динамичный матричное уравнение Риккати формы

которые могут возникнуть в некоторых дискретное время оптимальный контроль задачи, можно решить, используя второй подход, описанный выше, если матрица C только на одну строку больше, чем столбец.

Рекомендации

  1. ^ Скеллам, Дж. (1951). «Случайное рассредоточение теоретических популяций», Биометрика 38 196−–218, уравнения (41,42)
  2. ^ Динамика рациональных разностных уравнений третьего порядка с открытыми задачами и гипотезами
  3. ^ а б Динамика рациональных разностных уравнений второго порядка с открытыми задачами и гипотезами
  4. ^ Ньют, Джеральд, «Мировой порядок от хаотических начал», Математический вестник 88, March 2004, 39-45 дает тригонометрический подход.
  5. ^ Брэнд, Луи, «Последовательность, определяемая уравнением разности», Американский математический ежемесячный журнал 62, Сентябрь 1955 г., стр. 489–492. онлайн
  6. ^ Митчелл, Дуглас В., "Аналитическое решение Риккати для двухцелевого управления с дискретным временем", Журнал экономической динамики и управления 24, 2000, 615–622.
  7. ^ Мартин, К. Ф. и Аммар, Г., «Геометрия матричного уравнения Риккати и связанный метод собственных значений», в работе Биттани, Лауба и Виллемса (ред.), Уравнение Риккати, Springer-Verlag, 1991.
  8. ^ Балверс, Рональд Дж., Митчелл, Дуглас У., "Уменьшение размерности линейно-квадратичных задач управления". Журнал экономической динамики и управления 31, 2007, 141–159.

дальнейшее чтение

  • Саймонс, Стюарт, «Нелинейное разностное уравнение», Математический вестник 93, ноябрь 2009 г., 500-504.