Алгебра Окубо - Википедия - Okubo algebra

В алгебра, Окубо алгебра или же алгебра псевдооктонионов 8-мерный неассоциативная алгебра подобный тому, который изучал Сусуму Окубо.^[1] Алгебры Окубо композиционные алгебры, гибкие алгебры (А(BA) = (AB)А), Допустимые алгебры Ли, и ассоциативный, но не ассоциативны, не альтернативные алгебры, и не имеют идентификационного элемента.

Примером Окубо была алгебра 3х3 след -нулевые комплексные матрицы, произведение Икс и Y данный aXY + bYX - Тр (XY)я/ 3 где я - единичная матрица и а и б удовлетворить а + б = 3ab = 1. Эрмитовы элементы сформировать 8-мерную реальность неассоциативный алгебра с делением. Аналогичная конструкция работает для любой кубической альтернативной сепарабельной алгебры над полем, содержащим примитивный кубический корень из единицы. Алгебра Окубо - это алгебра, построенная таким образом из нулевого следа элементов степени 3. центральная простая алгебра над полем.^[2]

Построение пара-гурвицовой алгебры

Unital композиционные алгебры называются Алгебры Гурвица.^[3]^:22 Если наземное поле $K$ это область действительные числа и $N$ является положительно определенный, тогда $А$ называется Евклидова алгебра Гурвица.

Скалярное произведение

Если $K$ имеет характеристику не равную 2, то a билинейная форма $(а, б) = .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} 1 / 2 [N (а + б) - N (а) - N (б)]$ связана с квадратичной формой $N$ .

Инволюция в алгебрах Гурвица

Предполагая $А$ имеет мультипликативную единицу, определяют инволюцию и правое и левое умножение операторы

{ displaystyle displaystyle {{ bar {a}} = - a + 2 (a, 1) 1, , , , L (a) b = ab, , , , R (a) b = ba.}}

Очевидно является инволюция и сохраняет квадратичную форму. Обозначения подчеркивают тот факт, что комплекс и кватернион спряжение частные случаи этого. Эти операторы обладают следующими свойствами:

Инволюция - это антиавтоморфизм, т. Е. $а б = б а$
$а а = N (а) 1 = а а$
$L (а) = L (а)*$ , $р (а) = р (а)*$ , куда $*$ обозначает сопряженный оператор по форме $( , )$
$Re (а б) = Re (б а)$ куда $Re Икс = (Икс + Икс)/2 = (Икс, 1)$
$Re ((а б) c) = Re (а (до н.э))$
$L (а 2) = L (а) 2$ , $р (а 2) = р (а) 2$ , так что $А$ является альтернативная алгебра

Эти свойства доказываются исходя из поляризованной версии тождества $(а б, а б) = (а, а)(б, б)$ :

{ displaystyle displaystyle {2 (a, b) (c, d) = (ac, bd) + (ad, bc).}}

Параметр $б = 1$ или же $d = 1$ дает $L (а) = L (а)*$ и $р (c) = р (c)*$ . Следовательно $Re (а б) = (а б, 1) = (а, б) = (б а, 1) = Re (б а)$ . по аналогии $(а б, c) = (а б, c) = (б, а c) = (1, б (а c)) = (1, (б а) c) = (б а, c)$ . Следовательно $Re (а б) c = ((а б) c, 1) = (а б, c) = (а, c б) = (а (до н.э), 1) = Re (а (до н.э))$ . Поляризованной идентичностью $N (а) (c, d) = (а с, а д) = (а а с, d)$ так $L (а) L (а) = N (а)$ . В применении к 1 это дает $а а = N (а)$ . Замена $а$ к а дает другую личность. Подставляя формулу для $а$ в $L (а) L (а) = L (а а)$ дает $L (а) 2 = L (а 2)$ .

Алгебра Пара-Гурвица

Другая операция $*$ можно определить в алгебре Гурвица как

Икс * у = Икс у

Алгебра $(А, *)$ является композиционной алгеброй, не являющейся обычно унитальной, известной как пара-гурвицева алгебра.^[2]^:484 В размерах 4 и 8 это пара-кватернион^[4] и пара-октонион алгебры.^[3]^:40,41

Алгебра пара-Гурвица удовлетворяет^[3]^:48

{ displaystyle (x * y) * x = x * (y * x) = langle x | x rangle y .}

Наоборот, алгебра с невырожденной симметрической билинейной формой, удовлетворяющая этому уравнению, является либо парагурвицевой алгеброй, либо восьмимерной алгеброй. алгебра псевдооктонионов.^[3]^:49 Аналогично гибкая алгебра удовлетворение

{ displaystyle langle xy | xy rangle = langle x | x rangle langle y | y rangle }

является либо алгеброй Гурвица, либо пара-гурвицевой алгеброй, либо восьмимерной алгеброй псевдооктонионов.^[3]

Рекомендации

^ Сусуму Окубо (1978 )
^ ^а ^б Макс-Альберт Кнус, Александр Меркурьев, Маркус Рост, Жан-Пьер Тиньоль (1998) «Композиция и триальность», глава 8 в Книга инволюций, pp 451–511, Colloquium Publications v 44, Американское математическое общество ISBN 0-8218-0904-0
^ ^а ^б ^c ^d ^е Окубо, Сусуму (1995). Введение в октонион и другие неассоциативные алгебры в физике. Серия лекций Мемориала Монтролла по математической физике. 2. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-47215-6. МИСТЕР 1356224. Zbl 0841.17001.
^ Термин «пара-кватернионы» иногда применяется к несвязанным алгебрам.

«Окубо_алгебра», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Окубо, Сусуму (1978), "Псевдокватернионные и псевдооктонионные алгебры", Адронический журнал, 1 (4): 1250–1278, МИСТЕР 0510100
Сусуму Окубо и Дж. Маршалл Осборн (1981) "Алгебры с невырожденными ассоциативными симметричными билинейными формами, допускающими композицию", Коммуникации в алгебре 9(12): 1233–61, МИСТЕР0618901 и 9 (20): 2015–73 МИСТЕР0640611.

[1] Сусуму Окубо (1978 )

[KMRT-2] а ^б Макс-Альберт Кнус, Александр Меркурьев, Маркус Рост, Жан-Пьер Тиньоль (1998) «Композиция и триальность», глава 8 в Книга инволюций, pp 451–511, Colloquium Publications v 44, Американское математическое общество ISBN 0-8218-0904-0

[Ok95-3] а ^б ^c ^d ^е Окубо, Сусуму (1995). Введение в октонион и другие неассоциативные алгебры в физике. Серия лекций Мемориала Монтролла по математической физике. 2. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-47215-6. МИСТЕР 1356224. Zbl 0841.17001.

[4] Термин «пара-кватернионы» иногда применяется к несвязанным алгебрам.

[1]

[2]

[3]

[4]