Регулярный элемент алгебры Ли - Regular element of a Lie algebra

В математике регулярный элемент из Алгебра Ли или же Группа Ли - элемент, централизатор которого имеет минимально возможный размер.

Базовый случай

В конкретном случае ${ Displaystyle п раз п}$ матрицы над алгебраически замкнутым полем (например, сложные числа ), элемент ${ displaystyle M}$ является правильным тогда и только тогда, когда его Нормальная форма Джордана содержит по одной жордановой клетке для каждого собственного значения. В этом случае централизатор - это множество многочленов степени меньше ${ displaystyle n}$ оценивается в матрице ${ displaystyle M}$ , поэтому централизатор имеет размерность ${ displaystyle n}$ (но это не обязательно алгебраический тор).

Если матрица ${ displaystyle M}$ диагонализуема, то она правильна тогда и только тогда, когда есть ${ displaystyle n}$ разные собственные значения. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что ${ displaystyle M}$ будет коммутировать с любой матрицей ${ displaystyle P}$ что стабилизирует каждое из его собственных подпространств. Если есть ${ displaystyle n}$ разные собственные значения, то это происходит, только если ${ displaystyle P}$ диагонализируется на том же основании, что и ${ displaystyle M}$ ; по факту ${ displaystyle P}$ представляет собой линейную комбинацию первых ${ displaystyle n}$ полномочия ${ displaystyle M}$ , а централизатор - алгебраический тор сложного измерения ${ displaystyle n}$ (реальное измерение ${ displaystyle 2n}$ ); так как это наименьший возможный размер централизатора, матрица ${ displaystyle M}$ регулярно. Однако, если есть равные собственные значения, то централизатор является произведением общих линейных групп собственных подпространств ${ displaystyle M}$ , и имеет строго большую размерность, так что ${ displaystyle M}$ не регулярно.

Для подключенного компактная группа Ли ${ displaystyle G}$ , регулярные элементы образуют открытое плотное подмножество, состоящее из ${ displaystyle G}$ -классы сопряженности элементов в максимальный тор ${ displaystyle T}$ которые регулярно в ${ displaystyle G}$ . Регулярные элементы ${ displaystyle T}$ сами явно заданы как дополнение к множеству в ${ displaystyle T}$ , набор подторий коразмерности один, соответствующий корневая система из ${ displaystyle G}$ . Аналогично в алгебре Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ из ${ displaystyle G}$ , регулярные элементы образуют открытое плотное подмножество, которое можно явно описать как прилегающий ${ displaystyle G}$ -орбиты регулярных элементов алгебры Ли ${ displaystyle T}$ , элементы вне гиперплоскостей, соответствующие корневой системе.^[1]

Определение

Позволять ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ - конечномерная алгебра Ли над бесконечным полем.^[2] Для каждого ${ displaystyle x in { mathfrak {g}}}$ , позволять

{ displaystyle p_ {x} (t) = operatorname {det} (t- operatorname {ad} (x)) = sum _ {i = 0} ^ { dim { mathfrak {g}}} a_ {i} (x) t ^ {i}}

быть характеристический многочлен из присоединенный эндоморфизм ${ displaystyle operatorname {ad} (x): y mapsto [x, y]}$ из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ . Тогда по определению классифицировать из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ наименьшее целое число ${ displaystyle r}$ такой, что ${ Displaystyle а_ {г} (х) neq 0}$ для некоторых ${ displaystyle x in { mathfrak {g}}}$ и обозначается ${ displaystyle operatorname {rk} ({ mathfrak {g}})}$ .^[3] Например, поскольку ${ Displaystyle а _ { тусклый { mathfrak {g}}} (х) = 1}$ для каждого Икс, ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ нильпотентна (т.е. каждый ${ displaystyle operatorname {ad} (x)}$ нильпотентен Теорема Энгеля ) если и только если ${ displaystyle operatorname {rk} ({ mathfrak {g}}) = dim { mathfrak {g}}}$ .

Позволять ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { text {reg}} = {x in { mathfrak {g}} | a _ { operatorname {rk} ({ mathfrak {g}})} ( х) neq 0 }}$ . По определению регулярный элемент из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ является элементом множества ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { text {reg}}}$ .^[3] С ${ displaystyle a _ { operatorname {rk} ({ mathfrak {g}})}}$ является полиномиальной функцией на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , с уважением к Топология Зарисского, набор ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { text {reg}}}$ открытое подмножество ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ .

Над ${ Displaystyle mathbb {C}}$ , ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { text {reg}}}$ связное множество (относительно обычной топологии),^[4] но закончился ${ Displaystyle mathbb {R}}$ , это всего лишь конечное объединение связанных открытых множеств.^[5]

Подалгебра Картана и регулярный элемент

Над бесконечным полем можно использовать обычный элемент для построения Подалгебра Картана, самонормирующаяся нильпотентная подалгебра. Этот подход строит все подалгебры Картана над полем нулевой характеристики.

Учитывая элемент ${ displaystyle x in { mathfrak {g}}}$ , позволять

{ displaystyle { mathfrak {g}} ^ {0} (x) = cup _ {n geq 0} operatorname {ker} ( operatorname {ad} (x) ^ {n}: { mathfrak { g}} to { mathfrak {g}})}

быть обобщенное собственное подпространство из ${ displaystyle operatorname {ad} (x)}$ для нулевого собственного значения. Это подалгебра ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ .^[6] Обратите внимание, что ${ Displaystyle тусклый { mathfrak {g}} ^ {0} (х)}$ совпадает с (алгебраической) кратностью^[7] нуля как собственное значение ${ displaystyle operatorname {ad} (x)}$ ; т.е. наименьшее целое число м такой, что ${ Displaystyle а_ {м} (х) neq 0}$ в обозначениях в #Определение. Таким образом, ${ displaystyle operatorname {rk} ({ mathfrak {g}}) leq dim { mathfrak {g}} ^ {0} (x)}$ и равенство выполняется тогда и только тогда, когда ${ displaystyle x}$ является регулярным элементом.^[3]

Утверждение состоит в том, что если ${ displaystyle x}$ является регулярным элементом, то ${ Displaystyle { mathfrak {g}} ^ {0} (х)}$ является подалгеброй Картана.^[8] Таким образом, ${ displaystyle operatorname {rk} ({ mathfrak {g}})}$ - размерность хотя бы некоторой подалгебры Картана; по факту, ${ displaystyle operatorname {rk} ({ mathfrak {g}})}$ - минимальная размерность подалгебры Картана. Более того, над полем нулевой характеристики (например, ${ Displaystyle mathbb {R}}$ или же ${ Displaystyle mathbb {C}}$ ),^[9]

каждая подалгебра Картана в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ имеет такой же размер; таким образом, ${ displaystyle operatorname {rk} ({ mathfrak {g}})}$ - размерность произвольной подалгебры Картана,
элемент Икс из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ правильно тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle { mathfrak {g}} ^ {0} (х)}$ является подалгеброй Картана, а
каждая подалгебра Картана имеет вид ${ Displaystyle { mathfrak {g}} ^ {0} (х)}$ для какого-то регулярного элемента ${ displaystyle x in { mathfrak {g}}}$ .

Регулярный элемент в подалгебре Картана комплексной полупростой алгебры Ли

Для подалгебры Картана ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ комплексной полупростой алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ с корневой системой ${ displaystyle Phi}$ , элемент ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ является регулярным тогда и только тогда, когда оно не входит в объединение гиперплоскостей ${ displaystyle bigcup _ { alpha in Phi} {h in { mathfrak {h}} | alpha (h) = 0 }}$ .^[10] Это потому что: для ${ Displaystyle г = тусклый { mathfrak {ч}}}$ ,

Для каждого ${ displaystyle h in { mathfrak {h}}}$ , характеристический многочлен ${ displaystyle operatorname {ad} (h)}$ является ${ displaystyle t ^ {r} (t ^ { dim { mathfrak {g}} - r} - sum _ { alpha in Phi} alpha (h) t ^ { dim { mathfrak {) g}} - r-1} + cdots pm prod _ { alpha in Phi} alpha (h))}$ .

Эта характеристика иногда принимается за определение регулярного элемента (особенно, когда интерес представляют только регулярные элементы в подалгебрах Картана).

Примечания

^ Сепански, Марк Р. (2006). Компактные группы Ли. Springer. п. 156. ISBN 978-0-387-30263-8.
^ От редакции: определение регулярного элемента над конечным полем неясно.
^ ^а ^б ^c Бурбаки 1981, Гл. VII, § 2.2. Определение 2.
^ Серр 2001, Гл. III, § 1. Предложение 1.
^ Серр 2001, Гл. III, § 6.
^ Это следствие биномиальной формулы для ad.
^ Напомним, что геометрическая кратность собственного значения эндоморфизма - это размерность собственного подпространства, а алгебраическая кратность его размерность обобщенного собственного подпространства.
^ Бурбаки 1981, Гл. VII, § 2.3. Теорема 1.
^ Бурбаки 1981, Гл. VII, § 3.3. Теорема 2.
^ Procesi 2001, Гл. 10, § 3.2.