Изоморфизм Хариш-Чандры - Harish-Chandra isomorphism

В математика, то Изоморфизм Хариш-Чандры, представлен Хариш-Чандра (1951 ),является изоморфизм коммутативных колец, построенных в теории Алгебры Ли. Изоморфизм отображает центр Z(U(грамм)) из универсальная обертывающая алгебра U(грамм) из редуктивная алгебра Ли грамм к элементам S(час)^W из симметрическая алгебра S(час) из Подалгебра Картана час инвариантные относительно Группа Вейля W.

Фундаментальные инварианты

Позволять п быть классифицировать из грамм, которая является размерностью подалгебры Картана час. Х. С. М. Коксетер заметил, что S(час)^W это алгебра многочленов в п переменные (см. Теорема Шевалле – Шепарда – Тодда. для более общего утверждения). Следовательно, центр универсальной обертывающей алгебры редуктивной алгебры Ли является алгеброй полиномов. Степени образующих - это степени фундаментальных инвариантов, приведенных в следующей таблице.

Алгебра Ли	Число Кокстера час	Двойное число Кокстера	Степени фундаментальных инвариантов
р	0	0	1
А_п	п + 1	п + 1	2, 3, 4, ..., п + 1
B_п	2п	2п − 1	2, 4, 6, ..., 2п
C_п	2п	п + 1	2, 4, 6, ..., 2п
D_п	2п − 2	2п − 2	п; 2, 4, 6, ..., 2п − 2
E₆	12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E₇	18	18	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E₈	30	30	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F₄	12	9	2, 6, 8, 12
грамм₂	6	4	2, 6

Например, центр универсальной обертывающей алгебры грамм₂ является алгеброй многочленов от образующих степени 2 и 6.

Примеры

Если грамм это алгебра Ли сл(2, р), то центр универсальной обертывающей алгебры порождается Инвариант Казимира степени 2, а группа Вейля действует на подалгебре Картана, которая изоморфна р, отрицанием, поэтому инвариант группы Вейля - это просто квадрат образующей подалгебры Картана, которая также имеет степень 2.

Введение и настройка

Позволять грамм быть полупростая алгебра Ли, час это Подалгебра Картана и λ, μ ∈ час* быть двумя элементами весовое пространство и предположим, что набор положительные корни Φ⁺ были исправлены. Позволять V_λ, соотв. V_μ быть модули наибольшего веса со старшим весом λ, соотв. μ.

Центральные персонажи

В грамм-модули V_λ и V_μ представляют собой универсальная обертывающая алгебра U(грамм) и это центр действует на модули скалярным умножением (это следует из того факта, что модули порождаются вектором старшего веса). Таким образом, для v в V_λ и Икс в Z(U(грамм)),

{displaystyle xcdot v: = chi _ {lambda} (x) v}

и аналогично для V_μ.

Функции ${displaystyle chi _ {lambda} ,, chi _ {mu}}$ гомоморфизмы скалярам, называемые центральные персонажи.

Формулировка теоремы Хариш-Чандры

Для любых λ, μ ∈ час*, персонажи ${displaystyle chi _ {lambda} = chi _ {mu}}$ тогда и только тогда, когда λ + δ и μ + δ находятся на одном и том же орбита из Группа Вейля из час*, где δ - полусумма положительные корни.^[1]

Другая близкая формулировка состоит в том, что Гомоморфизм Хариш-Чандры из центра универсальная обертывающая алгебра Z(U(грамм)) к S(час)^W (элементы симметрической алгебры подалгебры Картана, зафиксированные группой Вейля) является изоморфизм.

Приложения

Теорема может быть использована для получения простого алгебраического доказательства Формула характера Вейля для конечномерных представлений.

Более того, это необходимое условие существования ненулевого гомоморфизма некоторых модулей старшего веса (гомоморфизм таких модулей сохраняет центральный характер). Простое следствие состоит в том, что для Модули Verma или же обобщенные модули Верма V_λ со старшим весом λ существует только конечное число весов μ таких, что ненулевой гомоморфизм V_λ → V_μ существуют.

Смотрите также

Примечания

^ Хамфрис (1972), стр.130