Обобщенный модуль Верма - Generalized Verma module

В математика, обобщенные модули Верма являются обобщением (истинного) Модуль Верма,^[1] и являются объектами в теория представлений из Алгебры Ли. Первоначально их изучал Джеймс Леповски в 1970-е гг. Мотивация для их изучения состоит в том, что их гомоморфизмы соответствуют инвариантные дифференциальные операторы над обобщенные многообразия флагов. Изучение этих операторов является важной частью теории параболических геометрий.

Определение

Позволять ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ быть полупростая алгебра Ли и ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ а параболическая подалгебра из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ . Для любого несводимый конечномерный представление ${ displaystyle V}$ из ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ мы определяем обобщенный модуль Верма как относительное тензорное произведение

{ displaystyle M _ { mathfrak {p}} (V): = { mathcal {U}} ({ mathfrak {g}}) otimes _ {{ mathcal {U}} ({ mathfrak {p} })} V}

.

Действие ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ левое умножение в ${ Displaystyle { mathcal {U}} ({ mathfrak {g}})}$ .

Если λ - старший вес V, мы иногда обозначаем модуль Верма через ${ Displaystyle М _ { mathfrak {p}} ( lambda)}$ .

Обратите внимание, что ${ Displaystyle М _ { mathfrak {p}} ( lambda)}$ имеет смысл только для ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ -доминант и ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ -интегральные веса (см. масса ) ${ displaystyle lambda}$ .

Хорошо известно, что параболическая подалгебра ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ определяет уникальную оценку ${ Displaystyle { mathfrak {g}} = oplus _ {j = -k} ^ {k} { mathfrak {g}} _ {j}}$ так что ${ Displaystyle { mathfrak {p}} = oplus _ {j geq 0} { mathfrak {g}} _ {j}}$ .Позволять ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {-}: = oplus _ {j <0} { mathfrak {g}} _ {j}}$ .Это следует из Теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта. что, как векторное пространство (и даже как ${ Displaystyle { mathfrak {g}} _ {-}}$ -модуль и как ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0}}$ -модуль),

{ Displaystyle M _ { mathfrak {p}} (V) simeq { mathcal {U}} ({ mathfrak {g}} _ {-}) otimes V}

.

В дальнейшем мы будем обозначать обобщенный модуль Верма просто GVM.

Свойства GVM

GVM модули наибольшего веса и их самый высокий вес λ - старший вес представления V. Если ${ displaystyle v _ { lambda}}$ - вектор старшего веса в V, то ${ displaystyle 1 otimes v _ { lambda}}$ - вектор старшего веса в ${ Displaystyle М _ { mathfrak {p}} ( lambda)}$ .

GVM весовые модули, т.е. они представляют собой прямую сумму его весовые пространства и эти весовые пространства конечномерны.

Это все модули наибольшего веса, GVM являются факторами модулей Верма. В ядро из проекция ${ Displaystyle M _ { lambda} to M _ { mathfrak {p}} ( lambda)}$ является

{ displaystyle (1) quad K _ { lambda}: = sum _ { alpha in S} M_ {s _ { alpha} cdot lambda} subset M _ { lambda}}

куда ${ Displaystyle S subset Delta}$ это набор тех простые корни α такой, что отрицательные корневые пространства корневого ${ displaystyle - alpha}$ находятся в ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ (множество S однозначно определяет подалгебру ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ ), ${ displaystyle s _ { alpha}}$ это корневое отражение относительно корня α и ${ displaystyle s _ { alpha} cdot lambda}$ это аффинное действие из ${ displaystyle s _ { alpha}}$ на λ. Из теории (истинного) Модули Verma который ${ Displaystyle M_ {s _ { alpha} cdot lambda}}$ изоморфен единственному подмодулю в ${ displaystyle M _ { lambda}}$ . В (1) мы идентифицировали ${ displaystyle M_ {s _ { alpha} cdot lambda} subset M _ { lambda}}$ . Сумма в (1) не равна непосредственный.

В частном случае, когда ${ Displaystyle S = emptyset}$ , параболическая подалгебра ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ это Подалгебра Бореля и GVM совпадает с (истинным) модулем Верма. В другом экстремальном случае, когда ${ Displaystyle S = Delta}$ , ${ Displaystyle { mathfrak {p}} = { mathfrak {g}}}$ а ОВМ изоморфна индуцирующему представлению V.

GVM ${ Displaystyle М _ { mathfrak {p}} ( lambda)}$ называется обычный, если его старший вес λ находится на аффинной орбите Вейля доминантного веса ${ displaystyle { tilde { lambda}}}$ . Другими словами, существует такой элемент w группы Вейля W, что

{ displaystyle lambda = w cdot { tilde { lambda}}}

куда ${ displaystyle cdot}$ это аффинное действие группы Вейля.

Модуль Верма ${ displaystyle M _ { lambda}}$ называется единственное число, если на аффинной орбите λ нет доминирующего веса. В этом случае существует вес ${ displaystyle { tilde { lambda}}}$ так что ${ displaystyle { tilde { lambda}} + delta}$ находится на стене фундаментальная камера Вейля (δ - сумма всех основные веса ).

Гомоморфизмы ОМВ

Под гомоморфизмом ОМВ мы понимаем ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -гомоморфизм.

Для любых двух весов ${ displaystyle lambda, mu}$ а гомоморфизм

{ Displaystyle M _ { mathfrak {p}} ( mu) rightarrow M _ { mathfrak {p}} ( lambda)}

может существовать, только если ${ displaystyle mu}$ и ${ displaystyle lambda}$ связаны с аффинное действие из Группа Вейля ${ displaystyle W}$ алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ . Это легко следует из Теорема Хариш-Чандры на бесконечно малые центральные символы.

В отличие от случая (правда) Модули Verma, гомоморфизмы ОМВ, вообще говоря, не инъективны и измерение

{ displaystyle dim (Hom (M _ { mathfrak {p}} ( mu), M _ { mathfrak {p}} ( lambda)))}

в некоторых случаях может быть больше единицы.

Если ${ displaystyle f: M _ { mu} to M _ { lambda}}$ является гомоморфизмом (истинных) модулей Верма, ${ displaystyle K _ { mu}}$ соотв. ${ displaystyle K _ { lambda}}$ это ядра проекции ${ Displaystyle M _ { mu} to M _ { mathfrak {p}} ( mu)}$ , соотв. ${ Displaystyle M _ { lambda} to M _ { mathfrak {p}} ( lambda)}$ , то существует гомоморфизм ${ displaystyle K _ { mu} to K _ { lambda}}$ и f факторов в гомоморфизм обобщенных модулей Верма ${ Displaystyle M _ { mathfrak {p}} ( mu) to M _ { mathfrak {p}} ( lambda)}$ . Такой гомоморфизм (т.е. фактор гомоморфизма модулей Верма) называется стандарт. Однако в некоторых случаях стандартный гомоморфизм может быть нулевым.

Стандарт

Предположим, что существует нетривиальный гомоморфизм истинных модулей Верма ${ Displaystyle M _ { mu} to M _ { lambda}}$ .Позволять ${ Displaystyle S subset Delta}$ быть набором тех простые корни α такой, что отрицательные корневые пространства корневого ${ displaystyle - alpha}$ находятся в ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ (как в разделе Характеристики Следующая теорема доказана Леповски:^[2]

Стандартный гомоморфизм ${ Displaystyle M _ { mathfrak {p}} ( mu) to M _ { mathfrak {p}} ( lambda)}$ равен нулю тогда и только тогда, когда существует ${ displaystyle alpha in S}$ такой, что ${ displaystyle M _ { mu}}$ изоморфен подмодулю в ${ Displaystyle M_ {s _ { alpha} cdot lambda}}$ ( ${ displaystyle s _ { alpha}}$ соответствующий корневое отражение и ${ displaystyle cdot}$ это аффинное действие ).

Структура ГВМ на аффинной орбите ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -доминант и ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -интеграл масса ${ displaystyle { tilde { lambda}}}$ можно описать явно. Если W - Группа Вейля из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , существует подмножество ${ Displaystyle W ^ { mathfrak {p}} подмножество W}$ таких элементов, так что ${ displaystyle w in W ^ { mathfrak {p}} Leftrightarrow w ({ тильда { lambda}})}$ является ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ -доминант. Можно показать, что ${ displaystyle W ^ { mathfrak {p}} simeq W _ { mathfrak {p}} backslash W}$ куда ${ Displaystyle W _ { mathfrak {p}}}$ группа Вейля ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ (особенно, ${ Displaystyle W ^ { mathfrak {p}}}$ не зависит от выбора ${ displaystyle { tilde { lambda}}}$ ). Карта ${ displaystyle w in W ^ { mathfrak {p}} mapsto M _ { mathfrak {p}} (w cdot { tilde { lambda}})}$ это взаимное соответствие между ${ Displaystyle W ^ { mathfrak {p}}}$ и набор GVM с наибольшим весом на аффинная орбита из ${ displaystyle { tilde { lambda}}}$ . Предположим, что ${ displaystyle mu = вес ' cdot { тильда { lambda}}}$ , ${ displaystyle lambda = w cdot { tilde { lambda}}}$ и ${ Displaystyle ш leq ш '}$ в Заказ Брюа (иначе не будет гомоморфизма (истинных) модулей Верма ${ displaystyle M _ { mu} to M _ { lambda}}$ и стандартный гомоморфизм не имеет смысла, см. Гомоморфизмы модулей Верма ).

Следующие утверждения следуют из приведенной выше теоремы и структуры ${ Displaystyle W ^ { mathfrak {p}}}$ :

Теорема. Если ${ Displaystyle ш '= s _ { gamma} ш}$ для некоторых положительный корень ${ displaystyle gamma}$ и длина (см. Заказ Брюа ) l (w ') = l (w) +1, то существует ненулевой стандартный гомоморфизм ${ Displaystyle M _ { mathfrak {p}} ( mu) to M _ { mathfrak {p}} ( lambda)}$ .

Теорема. Стандартный гомоморфизм ${ Displaystyle M _ { mathfrak {p}} ( mu) to M _ { mathfrak {p}} ( lambda)}$ равен нулю тогда и только тогда, когда существует ${ displaystyle w '' in W}$ такой, что ${ Displaystyle ш leq ш '' leq ш '}$ и ${ displaystyle w '' notin W ^ { mathfrak {p}}}$ .

Однако если ${ displaystyle { tilde { lambda}}}$ только доминирует, но не является неотъемлемой частью, все еще может существовать ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ -доминант и ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ -интегральные веса на его аффинной орбите.

Ситуация еще более осложняется, если ГВМ имеют сингулярный характер, т.е. ${ displaystyle mu}$ и ${ displaystyle lambda}$ находятся на аффинной орбите некоторых ${ displaystyle { tilde { lambda}}}$ такой, что ${ displaystyle { tilde { lambda}} + delta}$ находится на стене фундаментальная камера Вейля.

Нестандартный

Гомоморфизм ${ Displaystyle M _ { mathfrak {p}} ( mu) to M _ { mathfrak {p}} ( lambda)}$ называется нестандартный, если это не стандарт. Может случиться так, что стандартный гомоморфизм ОММ равен нулю, но нестандартный гомоморфизм все равно существует.

Резолюция Бернштейна – Гельфанда – Гельфанда.

Примеры

Поля конформная теория поля принадлежат обобщенным модулям Верма конформная алгебра.^[3]

Смотрите также

внешняя ссылка

Код для построения BGG-резольвенты модулей алгебры Ли и вычисления ее когомологий