Инвариантный дифференциальный оператор - Invariant differential operator

В математика и теоретическая физика, инвариантный дифференциальный оператор это своего рода математическая карта от некоторых объектов к объекту аналогичного типа. Эти объекты обычно функции на ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ , функционирует на многообразие, вектор значимые функции, векторные поля, или, в более общем смысле, разделы из векторный набор.

В инвариантном дифференциальном операторе ${displaystyle D}$ , период, термин дифференциальный оператор указывает, что значение ${displaystyle Df}$ карты зависит только от ${displaystyle f (x)}$ и производные из ${displaystyle f}$ в ${displaystyle x}$ . Слово инвариантный указывает, что оператор содержит некоторые симметрия. Это означает, что есть группа ${displaystyle G}$ с групповое действие для функций (или других рассматриваемых объектов), и это действие сохраняется оператором:

{displaystyle D (gcdot f) = gcdot (Df).}

Обычно действие группы имеет значение изменение координат (смена наблюдателя) и инвариантность означает, что оператор имеет одно и то же выражение во всех допустимых координатах.

Инвариантность на однородных пространствах

Позволять M = грамм/ЧАС быть однородное пространство для Группа Ли G и подгруппа Ли H. представление ${displaystyle ho: Hightarrow mathrm {Aut} (mathbb {V})}$ рождает векторный набор

{displaystyle V = G imes _ {H} mathbb {V}; {ext {where}}; (gh, v) sim (g, ho (h) v); forall; gin G,; hin H; {ext { and}}; vin mathbb {V}.}

Разделы ${displaystyle varphi in Gamma (V)}$ можно отождествить с

{displaystyle Gamma (V) = {varphi: Gightarrow mathbb {V};:; varphi (gh) = ho (h ^ {- 1}) varphi (g); forall; gin G,; hin H}.}

В таком виде группа грамм действует по разделам через

{displaystyle (ell _ {g} varphi) (g ') = varphi (g ^ {- 1} g').}

Теперь позвольте V и W быть двумя векторные пакеты над M. Тогда дифференциальный оператор

{displaystyle d: Gamma (V) ightarrow Gamma (W)}

который отображает разделы V в разделы W называется инвариантным, если

{displaystyle d (ell _ {g} varphi) = ell _ {g} (dvarphi).}

для всех разделов ${displaystyle varphi}$ в ${displaystyle Gamma (V)}$ и элементы грамм в грамм. Все линейные инвариантные дифференциальные операторы на однородных параболическая геометрия, т.е. когда грамм полупростой и ЧАС параболическая подгруппа, задаются двойственно гомоморфизмами обобщенные модули Верма.

Инвариантность в терминах абстрактных показателей

Учитывая два связи ${displaystyle abla}$ и ${displaystyle {hat {abla}}}$ и одна форма ${displaystyle omega}$ , у нас есть

{displaystyle abla _ {a} omega _ {b} = {hat {abla}} _ {a} omega _ {b} -Q_ {ab} {} ^ {c} omega _ {c}}

для некоторого тензора ${displaystyle Q_ {ab} {} ^ {c}}$ .^[1] Учитывая класс эквивалентности связей ${displaystyle [abla]}$ , мы говорим, что оператор инвариантен, если форма оператора не меняется при переходе от одного соединения в классе эквивалентности к другому. Например, если мы рассмотрим класс эквивалентности всех без кручения связности, то тензор Q симметричен по своим нижним индексам, т.е. ${displaystyle Q_ {ab} {} ^ {c} = Q _ {(ab)} {} ^ {c}}$ . Следовательно, мы можем вычислить

{displaystyle abla _ {[a} omega _ {b]} = {hat {abla}} _ {[a} omega _ {b]},}

где скобки обозначают кососимметризацию. Это показывает инвариантность внешней производной при действии на одну форму. Классы эквивалентности связей естественным образом возникают в дифференциальной геометрии, например:

в конформная геометрия класс эквивалентности связей задается связями Леви Чивита всех метрики в конформном классе;
в проективная геометрия класс эквивалентности связи задается всеми связями, имеющими одинаковые геодезические;
в Геометрия CR класс эквивалентности связностей задается связностями Танаки-Вебстера для каждого выбора псевдогермитовой структуры

Примеры

Обычный градиент оператор ${displaystyle abla}$ действующие на действительные функции на Евклидово пространство инвариантен относительно всех Евклидовы преобразования.
В дифференциал действующие на функции на многообразии со значениями в 1-формы (его выражение
${displaystyle d = sum _ {j} partial _ {j}, dx_ {j}}$
в любых локальных координатах) инвариантно относительно всех гладких преобразований многообразия (действие преобразования на дифференциальные формы это просто откат ).
В более общем плане внешняя производная
${displaystyle d: Omega ^ {n} (M) ightarrow Omega ^ {n + 1} (M)}$
что действует на п-формы любого гладкого многообразия M инвариантны относительно всех гладких преобразований. Можно показать, что внешняя производная - единственный линейный инвариантный дифференциальный оператор между этими расслоениями.
В Оператор Дирака в физике инвариантен относительно Группа Пуанкаре (если мы выберем правильный действие из Группа Пуанкаре на спинорных функциях. Однако это тонкий вопрос, и если мы хотим сделать его математически строгим, мы должны сказать, что он инвариантен по отношению к группе, которая является двойная крышка группы Пуанкаре)
В конформное уравнение Киллинга
${displaystyle X ^ {a} mapsto abla _ {(a} X_ {b)} - {frac {1} {n}} abla _ {c} X ^ {c} g_ {ab}}$
является конформно инвариантным линейным дифференциальным оператором между векторными полями и симметричными тензорами без следов.

Конформная инвариантность

Сфера (здесь изображена красным кружком) как конформное однородное многообразие.

Учитывая метрику

{displaystyle g (x, y) = x_ {1} y_ {n + 2} + x_ {n + 2} y_ {1} + сумма _ {i = 2} ^ {n + 1} x_ {i} y_ { я}}

на ${displaystyle mathbb {R} ^ {n + 2}}$ , мы можем написать сфера ${displaystyle S ^ {n}}$ как пространство генераторов нулевой конус

{displaystyle S ^ {n} = {[x] in mathbb {RP} _ {n + 1};:; g (x, x) = 0}.}

Таким образом, плоская модель конформная геометрия это сфера ${displaystyle S ^ {n} = G / P}$ с ${displaystyle G = SO_ {0} (n + 1,1)}$ и P стабилизатор точки в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n + 2}}$ . Известна классификация всех линейных конформно инвариантных дифференциальных операторов на сфере (Eastwood, Rice, 1987).^[2]

Смотрите также

Примечания

^ Пенроуз и Риндлер (1987). Спиноры и пространство-время. Кембриджские монографии по математической физике.
^ М.Г. Иствуд и Дж. Райс (1987). «Конформно инвариантные дифференциальные операторы на пространстве Минковского и их искривленные аналоги». Commun. Математика. Phys. 109 (2): 207–228.

^[1]