Параболическая геометрия (дифференциальная геометрия) - Википедия - Parabolic geometry (differential geometry)

В дифференциальная геометрия и изучение Группы Ли, а параболическая геометрия это однородное пространство грамм/п что является частным от полупростая группа Ли грамм по параболическая подгруппа п. В более общем смысле криволинейные аналоги параболической геометрии в этом смысле также называются параболической геометрией: любая геометрия, которая моделируется на таком пространстве с помощью Картановое соединение.

Примеры

В проективное пространство п^п это пример. Это однородное пространство PGL (п+1)/ЧАС куда ЧАС - группа изотропии прямой. В этом геометрическом пространстве понятие прямой имеет смысл, но нет предпочтительного («аффинного») параметра вдоль линий. Искривленный аналог проективного пространства - это многообразие, в котором понятие геодезический имеет смысл, но для которых нет предпочтительной параметризации на этих геодезических. А проективная связь является соответствующей связностью Картана, которая дает средство для описания проективной геометрии путем приклеивания копий проективного пространства к касательным пространствам базового многообразия. Говоря в широком смысле, проективная геометрия относится к изучению многообразий с такой связью.

Другой пример - конформная сфера. Топологически это п-сфера, но на ней нет понятия длины, только угла между кривыми. Эквивалентно, эта геометрия описывается как класс эквивалентности Римановы метрики на сфере (называемый конформным классом). Группа преобразований, сохраняющих углы на сфере, - это Группа Лоренца O (п+1,1), так что S^п = O (п+1,1)/п. Конформная геометрия - это, в более широком смысле, изучение многообразий с классом конформной эквивалентности римановых метрик, т. е. многообразий, смоделированных на конформной сфере. Здесь связанная связь Картана - это конформная связь.

Другие примеры включают:

• Геометрия CR, изучение многообразий, моделируемых на реальной гиперквадрике ${ displaystyle Q ^ {2 (p + q) -1} = SU (p, q) / P substeq mathbb {C} ^ {p + q}}$, куда ${ displaystyle P}$ является стабилизатором изотропной линии (см. CR-коллектор )
• контактная проективная геометрия, изучение многообразий по модели ${ Displaystyle SP (п) / P}$ куда ${ displaystyle P}$ эта подгруппа симплектическая группа стабилизация линии, порожденной первым стандартным базисным вектором в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$

Рекомендации

• Чап, Андреас; Slovák, янв (2009), Параболические геометрии: история вопроса и общая теория, AMS, ISBN  978-0-8218-2681-2
• Словак, Я. Параболическая геометрия, Исследовательские конспекты лекций, часть докторской диссертации, Университет Масарика, 1997 г., 70 стр., Препринт IGA 97/11 (Университет Аделаиды)