Теорема Хариш-Чандраса о регулярности - Википедия - Harish-Chandras regularity theorem

В математике Теорема регулярности Хариш-Чандры, представлен Хариш-Чандра  (1963 ), утверждает, что каждое инвариантное собственное распределение на полупростая группа Ли, и в особенности каждый персонаж неприводимое унитарное представление на Гильбертово пространство, задается локально интегрируемая функция. Хариш-Чандра (1978, 1999 ) доказал аналогичную теорему для полупростых п-адические группы.

Хариш-Чандра (1955, 1956 ) ранее показал, что любое инвариантное собственное распределение аналитично на регулярных элементах группы, показав, что на этих элементах оно является решением эллиптического дифференциальное уравнение. Проблема в том, что у него могут быть особенности на особых элементах группы; из теоремы регулярности следует, что эти особенности не слишком серьезны.

Заявление

Распределение по группе грамм или его алгебра Ли называется инвариантный если он инвариантен относительно сопряжения грамм.

Распределение по группе грамм или его алгебра Ли называется собственное распределение если это собственный вектор центра универсальной обертывающей алгебры грамм (отождествляемые с левым и правым инвариантными дифференциальными операторами грамм.

Теорема Хариш-Чандры о регулярности утверждает, что любое инвариантное собственное распределение на полупростой группе или алгебре Ли является локально интегрируемой функцией. Условие, что это собственное распределение, можно немного ослабить до условия, что его образ под центром универсальной обертывающей алгебры конечномерен. Из теоремы регулярности также следует, что на каждой подалгебре Картана распределение может быть записано как конечная сумма экспонент, деленная на функцию Δ, которая очень похожа на знаменатель Формула характера Вейля.

Доказательство

Оригинальное доказательство теоремы регулярности Хариш-Чандрой дано в серии из пяти статей (Harish-Chandra1964a, 1964b, 1964c, 1965a, 1965b ).Атья (1988) дал изложение доказательства теоремы Хариш-Чандры о регулярности для случая SL2(р) и набросал его обобщение на группы более высокого ранга.

Большинство доказательств можно разбить на следующие этапы.

  • Шаг 1. Если - инвариантное собственное распределение, то оно аналитично на регулярных элементах грамм. Это следует из эллиптическая регулярность, показав, что центр универсальной обертывающей алгебры имеет элемент, который является «эллиптическим, трансверсальным орбите группы G» для любой регулярной орбиты.
  • Шаг 2. Если - инвариантное собственное распределение, то его ограничение на регулярные элементы грамм локально интегрируема на грамм. (Это имеет смысл, поскольку нерегулярные элементы грамм имеют нулевую меру.) Это следует из показа того, что ΔΘ на каждой подалгебре Картана является конечной суммой экспонент, где Δ - по существу знаменатель формулы знаменателя Вейля, причем 1 / Δ локально интегрируема.
  • Шаг 3. Согласно шагам 1 и 2 инвариантное собственное распределение Θ представляет собой сумму S+F куда F является локально интегрируемой функцией и S поддерживает отдельные элементы грамм. Проблема в том, чтобы показать, что S исчезает. Это делается путем расслоения множества сингулярных элементов грамм как объединение локально замкнутых подмногообразий грамм и индукцией по коразмерности страт. Хотя собственная функция дифференциального уравнения может иметь вид S+F с F локально интегрируемые и S имея особый носитель на подмногообразии, это возможно только в том случае, если дифференциальный оператор удовлетворяет некоторым ограничительным условиям. Затем можно проверить, что оператор Казимира грамм не удовлетворяет этим условиям на стратах особого множества, что вынуждает S исчезать.

Рекомендации