Алгеброид Ли - Lie algebroid

В математика, Алгеброиды Ли выполняют ту же роль в теории Группоиды лжи который Алгебры Ли служить в теории Группы Ли: сведение глобальных проблем к бесконечно малым.

Описание

Подобно тому, как группоид Ли можно рассматривать как «группу Ли со многими объектами», алгеброид Ли подобен «алгебре Ли со многими объектами».

Точнее, Алгеброид Лиэто тройка ${ Displaystyle (Е, [ cdot, cdot], rho)}$ состоящий из векторный набор ${ displaystyle E}$ через многообразие ${ displaystyle M}$ вместе с Кронштейн лжи ${ Displaystyle [ cdot, cdot]}$ на его пространстве секций ${ displaystyle Gamma (E)}$ и морфизм векторных расслоений ${ displaystyle rho: E rightarrow TM}$ называется якорь. Здесь ${ displaystyle TM}$ это касательный пучок из ${ displaystyle M}$ . Якорь и скобка должны удовлетворять правилу Лейбница:

{ displaystyle [X, fY] = rho (X) f cdot Y + f [X, Y]}

куда ${ Displaystyle X, Y in Gamma (E), е in C ^ { infty} (M)}$ и ${ displaystyle rho (X) f}$ это производная из ${ displaystyle f}$ вдоль векторного поля ${ Displaystyle rho (X)}$ . Следует, что

{ Displaystyle rho ([X, Y]) = [ rho (X), rho (Y)]}

для всех ${ Displaystyle X, Y in Gamma (E)}$ .

Примеры

Каждый Алгебра Ли является алгеброидом Ли над одноточечным многообразием.
Касательный пучок ${ displaystyle TM}$ многообразия ${ displaystyle M}$ является алгеброидом Ли для Скобка Ли векторных полей и личность ${ displaystyle TM}$ как якорь.
Каждое интегрируемое подрасслоение касательного расслоения, то есть такое, сечения которого замкнуты относительно скобки Ли, также определяет алгеброид Ли.
Каждое расслоение алгебр Ли над гладким многообразием определяет алгеброид Ли, в котором скобка Ли определена поточечно, а отображение якоря равно нулю.
Каждому Ложь группоид ассоциируется с алгеброидом Ли, обобщая, как алгебра Ли связана с Группа Ли (см. также ниже). Например, алгеброид Ли ${ displaystyle TM}$ происходит от парного группоида, объекты которого ${ displaystyle M}$ , с одним изоморфизмом между каждой парой объектов. К сожалению, возврат от алгеброида Ли к группоиду Ли не всегда возможен,^[1] но каждый алгеброид Ли дает громоздкий Ложь группоид.^[2]^[3]
Учитывая действие алгебры Ли g на многообразии M, множество g -инвариантных векторных полей на M является алгеброидом Ли над пространством орбит действия.
В Алгеброид Атьи из главный грамм-пучок п над многообразием M является алгеброидом Ли с короткая точная последовательность:
${ displaystyle 0 to P times _ {G} { mathfrak {g}} to TP / G { xrightarrow { rho}} TM to 0.}$

Пространство сечений алгеброида Атьи - это алгебра Ли грамм-инвариантные векторные поля на п.

Алгеброид Пуассона Ли связан с Пуассоново многообразие взяв E как кокасательное расслоение. Якорная карта задается бивектором Пуассона. Это можно увидеть в Биалгеброид Ли.

Алгеброид Ли, связанный с группоидом Ли

Для описания конструкции зафиксируем некоторые обозначения. грамм - пространство морфизмов группоида Ли, M пространство предметов, ${ displaystyle e: M to G}$ единицы и ${ displaystyle t: G to M}$ целевая карта.

${ displaystyle T ^ {t} G = bigcup _ {p in M} T (t ^ {- 1} (p)) subset TG}$ в т-волоконное касательное пространство. Алгеброид Ли теперь является векторным расслоением ${ displaystyle A: = e ^ {*} T ^ {t} G}$ . Это наследует скобку от грамм, потому что мы можем идентифицировать M-разделы на А с левоинвариантными векторными полями на грамм. Затем карта привязки получается как вывод исходной карты. ${ displaystyle Ts: e ^ {*} T ^ {t} G rightarrow TM}$ . Далее эти участки действуют на гладкие функции M отождествляя их с левоинвариантными функциями на грамм.

В качестве более явного примера рассмотрим алгеброид Ли, связанный с парным группоидом ${ displaystyle G: = M times M}$ . Целевая карта ${ displaystyle t: G к M: (p, q) mapsto p}$ и единицы ${ Displaystyle е: M к G: p mapsto (p, p)}$ . В т-волокна ${ displaystyle p times M}$ и поэтому ${ displaystyle T ^ {t} G = bigcup _ {p in M} p times TM subset TM times TM}$ . Итак, алгеброид Ли - это векторное расслоение ${ displaystyle A: = e ^ {*} T ^ {t} G = bigcup _ {p in M} T_ {p} M = TM}$ . Расширение разделов Икс в А левоинвариантным векторным полям на грамм просто ${ Displaystyle { тильда {X}} (p, q) = 0 oplus X (q)}$ и продолжение гладкой функции ж из M к левоинвариантной функции на грамм является ${ Displaystyle { тильда {f}} (p, q) = f (q)}$ . Следовательно, скобка на А - это просто скобка Ли касательных векторных полей, а карта привязки - это просто тождество.

Конечно, вы могли бы сделать аналоговое построение с исходной картой и правоинвариантными векторными полями / функциями. Однако вы получаете изоморфный алгеброид Ли с явным изоморфизмом ${ displaystyle i _ {*}}$ , куда ${ displaystyle i: G to G}$ - обратное отображение.

Пример

Рассмотрим группоид Ли

{ Displaystyle mathbb {R} ^ {2} times U (1) rightrightarrows mathbb {R} ^ {2}}

куда целевая карта отправляет

{ Displaystyle ((х, у), е ^ {я тета}) mapsto { begin {bmatrix} cos ( theta) & - sin ( theta) sin ( theta) & cos ( theta) end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x y end {bmatrix}}}

Обратите внимание, что есть два случая для волокон ${ Displaystyle Т ^ {т} ( mathbb {R} ^ {2} раз U (1))}$ :

{ Displaystyle { begin {align} t ^ {- 1} (0) cong & U (1) t ^ {- 1} (p) cong & {(a, u) in mathbb { R} ^ {2} times U (1): ua = p } end {выровнено}}}

Это свидетельствует о наличии стабилизатора ${ Displaystyle U (1)}$ по происхождению и без стабилизатора ${ Displaystyle U (1)}$ -орбит везде. Касательное расслоение над каждым ${ Displaystyle т ^ {- 1} (п)}$ тогда тривиально, поэтому откат ${ Displaystyle е ^ {*} (T ^ {t} ( mathbb {R} ^ {2} times U (1)))}$ является тривиальным линейным расслоением.

Смотрите также

R-алгеброид

внешняя ссылка

Вайнштейн, Алан (1996). «Группоиды: объединение внутренней и внешней симметрии». Уведомления AMS. 43: 744–752. arXiv:математика / 9602220. Bibcode:1996 математика ...... 2220 Вт.
Маккензи, Кирилл К. Х. (25 июня 1987 г.). Группоиды Ли и алгеброиды Ли в дифференциальной геометрии. Серия лекций Лондонского математического общества. 124. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-34882-9.
Маккензи, Кирилл К. Х. (2005). Общая теория группоидов Ли и алгеброидов Ли. Серия лекций Лондонского математического общества. 213. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-49928-6.
Марль, Шарль-Мишель (2002). «Дифференциальное исчисление на алгеброиде Ли и пуассоновы многообразия». arXiv:0804.2451v1.

[1] Крайник, Мариус; Фернандес, Руи Л. (2003). «Интегрируемость скобок Ли». Анна. математики. 2. 157 (2): 575–620. arXiv:математика / 0105033. Дои:10.4007 / анналы.2003.157.575. S2CID 6992408.

[2] Сянь-Хуа Цзэн; Ченчан Чжу (2006). «Интегрирование алгеброидов Ли через стеки». Compositio Mathematica. 142 (1): 251–270. arXiv:математика / 0405003. Дои:10.1112 / S0010437X05001752. S2CID 119572919.

[3] Ченчан Чжу (2006). "Теорема Ли II для алгеброидов Ли через стековые группоиды Ли". arXiv:математика / 0701024.

[1]

[2]

[3]