Алгеброид Атьи - Atiyah algebroid

В математика, то Алгеброид Атьи, или же Последовательность Атья, из главный грамм-пучок п через многообразие M, куда грамм это Группа Ли, это Алгеброид Ли калибра группоид из п. В явном виде это дается следующим короткая точная последовательность из векторные пакеты над M:

${ displaystyle 0 to P times _ {G} { mathfrak {g}} to TP / G to TM to 0.}$

Он назван в честь Майкл Атья, который ввел конструкцию для изучения теории существования комплексный аналитический связи, и у него есть приложения в калибровочная теория и механика.

Прямое строительство

Для любого пучок волокон п над многообразием M, с проекцией π: п→M, то дифференциал dπ из π определяет короткую точную последовательность

${ displaystyle 0 to VP to TP { xrightarrow {d pi}} pi ^ {*} TM to 0}$

векторных расслоений над п, где вертикальный пучок Вице-президент является ядром дифференциальной проекции.

Если п является основным грамм-бандл, затем группа грамм действует на векторные расслоения в этой последовательности. Вертикальное расслоение изоморфно тривиальному грамм связать п, куда грамм это Алгебра Ли из грамм, а фактор по диагонали грамм действие - это связанный пакет п ×_грамм грамм. Фактор по грамм этой точной последовательности, таким образом, дает последовательность Атьи векторных расслоений над M.

Точка зрения группоидов лжи

Любой руководитель грамм-пучок п→M имеет калибровочный группоид, объектами которого являются точки M, и морфизмы которых являются элементами фактора п×п диагональным действием грамм, с источником и целью, заданными двумя проекциями M. В Алгеброид Ли этого Ложь группоид является алгеброидом Атьи.

Пространство разделы алгеброида Атьи над M это Алгебра Ли из грамм-инвариантные векторные поля на п под Кронштейн лжи, которое является расширением алгебры Ли векторных полей на M посредством грамм-инвариантные вертикальные векторные поля. В алгебраическом или аналитическом контексте более удобно рассматривать алгеброид Атьи как точную последовательность снопы локальных сечений векторных расслоений.

Рекомендации

• Майкл Ф. Атья (1957), "Комплексные аналитические связности в расслоениях", Пер. Амер. Математика. Soc., 85: 181–207, Дои:10.1090 / s0002-9947-1957-0086359-5.
• Януш Грабовски; Алексей Котов и Норберт Понсин (2011), «Геометрические структуры, закодированные в структуре лжи алгеброида Атьи», Группы трансформации, 16: 137–160, arXiv:0905.1226, Дои:10.1007 / s00031-011-9126-9, доступно как arXiv: 0905.1226.
• Кирилл Маккензи (1987), Группоиды Ли и алгеброиды Ли в дифференциальной геометрии, Конспекты лекций Лондонского математического общества, 124, ЧАШКА, ISBN  978-0-521-34882-9.
• Кирилл Маккензи (2005), Общая теория группоидов и алгеброидов Ли, Конспекты лекций Лондонского математического общества, 213, ЧАШКА, ISBN  978-0-521-49928-6.
• Том Местдаг и Баво Лангерок (2005), "Каркас алгеброидов Ли для неголономных систем", J. Phys. A: Математика. Gen., 38: 1097–1111, arXiv:математика / 0410460, Bibcode:2005JPhA ... 38.1097M, Дои:10.1088/0305-4470/38/5/011.