Гиперболическое 3-многообразие - Hyperbolic 3-manifold

В математика, точнее в топология и дифференциальная геометрия, а гиперболическое 3-многообразие это многообразие размерности 3 с гиперболическая метрика, это Риманова метрика в котором есть все секционные кривизны равно -1. Обычно требуется, чтобы эта метрика также была полный: в этом случае многообразие может быть реализовано как фактор трехмерного гиперболическое пространство по дискретная группа изометрий (a Клейнианская группа ).

Гиперболические трехмерные многообразия конечного объема имеют особое значение в 3-мерная топология как следует из гипотеза геометризации доказано Перельманом. Изучение клейнианских групп также является важной темой в геометрическая теория групп.

Важность топологии

Гиперболическая геометрия является наиболее богатой и наименее понятной из восьми геометрий в размерности 3 (например, для всех других геометрий несложно дать явный перечень многообразий конечного объема с этой геометрией, хотя это далеко не так. Чехол для гиперболические многообразия ). Таким образом, после доказательства гипотезы о геометризации понимание топологических свойств гиперболических трехмерных многообразий является основной целью трехмерной топологии. Недавние открытия Кана – Марковича, Уайза, Агола и других дали ответы на большинство давно существующих открытых вопросов по этой теме, но есть еще много менее важных, которые не решены.^[1]

В размерности 2 почти все замкнутые поверхности гиперболичны (все, кроме сферы, проективной плоскости, тора и бутылки Клейна). В размерности 3 это далеко не так: существует множество способов построить бесконечно много негиперболических замкнутых многообразий. С другой стороны, эвристическое утверждение о том, что «типичное трехмерное многообразие имеет тенденцию быть гиперболическим», проверяется во многих контекстах. Например, любой узел, который не является спутниковый узел или торический узел гиперболический.^[2] Более того, почти все операции Дена на гиперболическом узле дают гиперболическое многообразие. Аналогичный результат верен для ссылок (Терстон гиперболическая хирургия Дена теорема), и поскольку все 3-многообразия получаются как перестройки на зацеплении в 3-сфере, это придает более точный смысл неформальному утверждению. Другой смысл, в котором «почти все» многообразия гиперболичны в размерности 3, - это случайные модели. Например случайный Расколы Heegaard рода не менее 2 почти наверняка гиперболичны (когда сложность склейки стремится к бесконечности).^[3]

Актуальность гиперболической геометрии трехмерного многообразия для его топологии также происходит из Теорема жесткости Мостова, который утверждает, что гиперболическая структура гиперболического 3-многообразия конечного объема однозначно определяется его гомотопическим типом. В частности, геометрический инвариант, такой как объем может использоваться для определения новых топологических инвариантов.

Структура

Многообразия конечного объема

В этом случае одним из важных инструментов для понимания геометрии многообразия является толсто-тонкий разложение. Он утверждает, что гиперболическое трехмерное многообразие конечного объема имеет разбиение на две части:

то толстый часть, где радиус приемистости больше абсолютной постоянной;
и его дополнение, тонкий часть, которая представляет собой несвязное объединение полноторий и куспиды.

Геометрически конечные многообразия

Разложение толстого на тонкое справедливо для всех гиперболических трехмерных многообразий, хотя в целом тонкая часть не такая, как описано выше. Гиперболическое 3-многообразие называется геометрически конечный если оно содержит выпуклое подмногообразие (его выпуклое ядро), на которую она втягивается, и толстая часть которой компактна (заметим, что все многообразия имеют выпуклую сердцевину, но в целом она не компактна).^[4] Самый простой случай - это когда многообразие не имеет «куспидов» (т. Е. Фундаментальная группа не содержит параболических элементов), и в этом случае многообразие геометрически конечно тогда и только тогда, когда оно является фактором замкнутого выпуклого подмножества гиперболического пространства. группой, действующей на этом подмножестве кокомпактно.

Многообразия с конечно порожденной фундаментальной группой

Это более широкий класс трехмерных гиперболических многообразий, для которых существует удовлетворительная структурная теория. Он основан на двух теоремах:

В теорема приручения который утверждает, что такое многообразие гомеоморфно внутренности компактного многообразия с краем;
В конечная теорема о ламинации который дает классификацию гиперболической структуры внутри компактного многообразия по его «концевым инвариантам».

Построение трехмерных гиперболических многообразий конечного объема.

Гиперболические многогранники, группы отражений

Самая старая конструкция гиперболических многообразий, восходящая по крайней мере к Пуанкаре, выглядит следующим образом: начните с конечного набора трехмерных гиперболических конечных многогранники. Предположим, что между двумерными гранями этих многогранников существует граница (т.е. каждая такая грань соединена с другой, отличной, одной, так что они изометричны друг другу как двумерные гиперболические многоугольники), и рассмотрим пространство получается склейкой парных граней (формально получается как факторное пространство ). Он несет гиперболическую метрику, которая четко определена вне образа 1-скелетов многогранников. Эта метрика продолжается до гиперболической метрики на всем пространстве, если выполняются два следующих условия:^[5]

для каждой (неидеальной) вершины в склейке сумма телесные углы многогранников, которым он принадлежит, равно ${ displaystyle 4 pi}$ ;
для каждого ребра в склейке сумма двугранные углы многогранников, которым он принадлежит, равно ${ displaystyle 2 pi}$ .

Ярким примером этой конструкции является Пространство Зейферта – Вебера которое получается склейкой противоположных граней правильного додекаэдр.

Разновидностью этой конструкции является использование гиперболических многогранников Кокстера (многогранников, двугранные углы которых имеют вид ${ displaystyle pi / m, m in mathbb {N}}$ ). Такой многогранник приводит к клейновой группа отражения, которая является дискретной подгруппой изометрий гиперболического пространства. Взяв подгруппу конечного индекса без кручения, мы получаем гиперболическое многообразие (которое может быть восстановлено с помощью предыдущей конструкции, склеивая копии исходного многогранника Кокстера способом, предписанным подходящим Граф смежного класса Шрайера ).

Склейка идеальных тетраэдров и гиперболическая хирургия Дена

В предыдущей конструкции полученные многообразия всегда компактны. Чтобы получить многообразия с каспами, необходимо использовать многогранники, которые имеют идеальные вершины (т.е. вершины, лежащие на бесконечно удаленной сфере). В этом случае конструкция склейки не всегда дает полное многообразие. Полнота обнаруживается системой уравнений, включающей двугранные углы вокруг ребер, примыкающих к идеальной вершине, которые обычно называют уравнениями склейки Терстона. В случае завершения склейки идеальные вершины становятся куспиды в коллекторе. Примером полученного таким образом некомпактного гиперболического многообразия конечного объема является Коллектор Гизекинга который строится склейкой граней правильного идеального гиперболического тетраэдр вместе.

Также возможно построить полное гиперболическое многообразие конечного объема, когда склейка не завершена. В этом случае пополнение полученного метрического пространства представляет собой многообразие с торической границей, и при некоторых (не общих) условиях можно приклеить гиперболический полноторий к каждой граничной компоненте так, чтобы получившееся пространство имело полную гиперболическую метрику. Топологически многообразие получается гиперболической перестройкой Дена на полном гиперболическом многообразии, которая могла бы быть результатом полной склейки.

Неизвестно, все ли гиперболические трехмерные многообразия конечного объема могут быть построены таким образом.^[6] На практике, однако, именно так вычислительное программное обеспечение (например, SnapPea или же Регина ) хранит гиперболические многообразия.^[7]

Арифметические конструкции

Построение арифметических клейновых групп из кватернионные алгебры рождает особенно интересные гиперболические многообразия. С другой стороны, они в некотором смысле «редки» среди гиперболических 3-многообразий (например, гиперболическая перестройка Дена на фиксированном многообразии приводит к неарифметическому многообразию почти для всех параметров).

Теорема гиперболизации

В отличие от явных построений выше, можно вывести существование полной гиперболической структуры на трехмерном многообразии исключительно из топологической информации. Это следствие гипотезы геометризации и может быть сформулировано следующим образом (утверждение, которое иногда называют «теоремой гиперболизации», что было доказано Терстоном в частном случае многообразий Хакена):

Если компактное трехмерное многообразие с торическим краем является несводимый и алгебраически аториоидальный (это означает, что каждый ${ displaystyle pi _ {1}}$ -инъективно погруженный тор гомотопен граничной компоненте) то его внутренность несет полную гиперболическую метрику конечного объема.

Частным случаем является случай расслоение поверхностей по окружности: такие многообразия всегда неприводимы, и они несут полную гиперболическую метрику тогда и только тогда, когда монодромия является псевдо-Аносовское отображение.

Другое следствие гипотезы геометризации состоит в том, что любое замкнутое трехмерное многообразие, допускающее риманову метрику с отрицательной секционной кривизной, на самом деле допускает риманову метрику с постоянной секционной кривизной -1. Это не так в высших измерениях.^[8]

Виртуальные свойства

Топологические свойства трехмерных многообразий достаточно сложны, поэтому во многих случаях интересно знать, что это свойство выполняется виртуально для класса многообразий, т.е. для любого многообразия в классе существует конечное накрывающее пространство многообразия со свойством . Виртуальные свойства трехмерных гиперболических многообразий являются объектами ряда гипотез Вальдхаузена и Терстона, которые недавно были доказаны Яном Аголом после работ Джереми Кана, Влада Марковича, Фредерика Хаглунда, Дэни Вайз и других. Первая часть предположений была логически связана с фактически гипотеза Хакена. По силе они бывают:^[9]

(в гипотеза о поверхностных подгруппах ) Фундаментальная группа любого гиперболического многообразия конечного объема содержит (несвободную) группу поверхностей (фундаментальную группу закрытая поверхность ).
(в Фактически гипотеза Хакена ) Любое гиперболическое 3-многообразие конечного объема виртуально Хакену; то есть он содержит вложенную замкнутую поверхность такую, что вложение индуцирует инъективное отображение между фундаментальными группами.
Любое гиперболическое 3-многообразие конечного объема имеет конечное покрытие с ненулевым первым Бетти число.
Любое гиперболическое 3-многообразие конечного объема имеет конечное покрытие, фундаментальная группа которого сюрпризируется на неабелеву свободная группа (такие группы обычно называют большой).

Другая гипотеза (также доказанная Аголом), которая подразумевает 1-3 выше, но априори не имеет отношения к 4, следующая:

5. ( фактически расслоенная гипотеза ) Любое гиперболическое 3-многообразие конечного объема имеет конечное покрытие, которое является поверхностным расслоением над окружностью.

Пространство всех трехмерных гиперболических многообразий

Геометрическая конвергенция

Последовательность клейновых групп называется геометрически сходящийся если он сходится в Топология Chabauty. Для многообразий, полученных как частные, это означает, что они сходятся в отмеченных Метрика Громова-Хаусдорфа.

Теория Йоргенсена-Терстона

Гиперболический объем можно использовать для упорядочивания пространства всего гиперболического многообразия. Множество многообразий, соответствующих данному объему, не более чем конечно, а множество объемов хорошо организованный и из тип заказа ${ displaystyle omega ^ { omega}}$ . Точнее, из теоремы Терстона о гиперболической перестройке Дена следует, что многообразие с ${ displaystyle m}$ cusps - предел последовательности многообразий с ${ displaystyle l}$ куспиды для любых ${ Displaystyle 0 Leq L <м}$ , так что изолированные точки являются объемами компактных многообразий, многообразия ровно с одним острием являются пределами компактных многообразий и т. д. Вместе с результатами Йоргенсена теорема также доказывает, что любая сходящаяся последовательность должна быть получена перестройками Дена на предельном многообразии.^[10]

Квазифуксовы группы

Последовательности квазифуксовский поверхностные группы данного рода могут сходиться к дважды вырожденной поверхностной группе, как в двойная предельная теорема.

Примечания

^ Ашенбреннер, Фридл и Уилтон, 2015 г., Глава 9.
^ Терстон 1982, Следствие 2.5.
^ Махер 2010.
^ Рэтклифф 2006, Теорема 12.7.2.
^ Рэтклифф 2006, Теоремы 10.1.2 и 10.1.3.
^ Петронио и Порти 2000.
^ Каллахан, Хильдебранд и Уикс 1999.
^ Громов и Терстон 1987.
^ Ашенбреннер, Фридл и Уилтон, 2015 г..
^ Громов 1981.