Арифметическое гиперболическое 3-многообразие - Arithmetic hyperbolic 3-manifold

В математика, точнее в теория групп и гиперболическая геометрия, Арифметические клейновы группы особый класс Клейнианские группы построен с использованием заказы в кватернионные алгебры. Это частные примеры арифметические группы. An арифметическое трехмерное гиперболическое многообразие является частным от гиперболическое пространство арифметической клейновой группой. Эти многообразия включают несколько особенно красивых или замечательных примеров.

Определение и примеры

Кватернионные алгебры

Алгебра кватернионов над полем четырехмерный центральный простой -алгебра. Алгебра кватернионов имеет основу куда и .

Алгебра кватернионов называется расщепляемой над если он изоморфен как -алгебра к алгебре матриц ; алгебра кватернионов над алгебраически замкнутым полем всегда расщепляется.

Если это вложение в поле обозначим через алгебра, полученная расширение скаляров из к где мы смотрим как подполе через .

Арифметические клейновы группы

Подгруппа как говорят полученный из кватернионной алгебры если его можно получить с помощью следующей конструкции. Позволять быть числовое поле который имеет ровно два вложения в чье изображение не содержится в (одно сопряжено с другим). Позволять быть кватернионной алгеброй над такое, что для любого вложения алгебра изоморфен Кватернионы Гамильтона. Далее нам нужен заказ в . Позволять быть группой элементов в приведенной нормы 1 и пусть быть его изображением в через . Затем рассмотрим клейнову группу, полученную как образ в из .

Главный факт об этих группах состоит в том, что они являются дискретными подгруппами и имеют конечный кообъем для Мера Хаара на . Более того, приведенная выше конструкция дает кокомпактную подгруппу тогда и только тогда, когда алгебра не разделен . Дискретность - довольно непосредственное следствие того, что расщепляется только при его сложных вложениях. Конечность коволюма доказать сложнее.[1]

An арифметическая группа Клейна любая подгруппа который соизмеримый в группу, полученную из алгебры кватернионов. Из этого определения немедленно следует, что арифметические клейновы группы дискретны и имеют конечный ковобъем (это означает, что они решетки в ).

Примеры

Примеры представлены, взяв быть мнимое квадратичное поле, и куда это кольцо целых чисел из (Например и ). Полученные таким образом группы являются Группы Бьянки. Они не кокомпактны, и любая арифметическая клейнова группа, которая не соизмерима с сопряженной группой Бианки, является кокомпактной.

Если любая кватернионная алгебра над полем мнимых квадратичных чисел которая не изоморфна матричной алгебре, то единичные группы порядков в компактны.

Поле трассировки арифметических многообразий

Инвариант поле трассировки клейновой группы (или, через образ монодромии фундаментальной группы, гиперболического многообразия) есть поле, порожденное следами квадратов ее элементов. В случае арифметического многообразия, фундаментальные группы которого соизмеримы с группой многообразия, полученного из алгебры кватернионов над числовым полем инвариантное поле следа равно .

На самом деле арифметические многообразия можно охарактеризовать через следы элементов их фундаментальной группы. Клейнова группа является арифметической тогда и только тогда, когда выполняются следующие три условия:

  • Его инвариантное поле следа числовое поле ровно с одним сложным разрядом;
  • Следы его элементов алгебраические целые числа;
  • Для любого в группе, и любое вложение у нас есть .

Геометрия и спектр арифметических трехмерных гиперболических многообразий

Формула объема

Для объема арифметический трехколлекторный полученный из максимального порядка в алгебре кватернионов над числовым полем у нас есть выражение:[2]

куда являются дискриминанты из соответственно, это Дзета-функция Дедекинда из и .

Результаты конечности

Следствием формулы объема в предыдущем абзаце является то, что

Данный существует не более чем конечное число арифметических гиперболических 3-многообразий с объемом меньше .

Это контрастирует с тем фактом, что гиперболическая хирургия Дена может использоваться для создания бесконечного числа неизометрических гиперболических трехмерных многообразий с ограниченным объемом. В частности, следствие состоит в том, что для гиперболического многообразия с каспами не более конечного числа операций Дена на нем могут дать арифметическое гиперболическое многообразие.

Замечательные арифметические трехмерные гиперболические многообразия

В Множество недель - трехмерное гиперболическое многообразие наименьшего объема[3] и Многообразие Мейерхоффа является одним из следующих наименьших объемов.

Дополнение в тройке - сфере узел восьмерка является арифметической гиперболической тройкой - многообразием[4] и достигает наименьшего объема среди всех трехмерных гиперболических многообразий с каспами.[5]

Спектр и гипотезы Рамануджана

В Гипотеза Рамануджана для автоморфных форм на над числовым полем означало бы, что для любого конгруэнтного покрытия арифметического трехмерного многообразия (полученного из алгебры кватернионов) спектр оператора Лапласа содержится в .

Арифметические многообразия в трехмерной топологии

Многие из предположений Терстона (например, фактически гипотеза Хакена ), теперь все, что известно по работам Ян Агол,[6] были проверены сначала для арифметических многообразий с помощью специальных методов.[7] В некоторых арифметических случаях гипотеза Виртуального Хакена известна общими средствами, но неизвестно, может ли ее решение быть получено чисто арифметическими средствами (например, путем нахождения конгруэнтной подгруппы с положительным первым числом Бетти).

Арифметические многообразия могут быть использованы, чтобы дать примеры многообразий с большим радиусом инъективности, первое число Бетти которых обращается в нуль.[8][9]

Замечание Уильям Терстон заключается в том, что арифметические многообразия «... часто кажутся особенно красивыми».[10] Это может быть подтверждено результатами, показывающими, что связь между топологией и геометрией для этих многообразий гораздо более предсказуема, чем в целом. Например:

  • Для данного рода грамм существует не более чем конечное число арифметических (конгруэнтных) гиперболических 3-многообразий, которые расслаиваются над окружностью слоем рода грамм.[11]
  • Существует не более конечного числа арифметических (конгруэнтных) гиперболических 3-многообразий с данным родом Хегора.[12]

Примечания

  1. ^ Маклахлан и Рид 2003, Теорема 8.1.2.
  2. ^ Маклахлан и Рид 2003, Теорема 11.1.3.
  3. ^ Милли, Питер (2009). "Трехмерные гиперболические многообразия минимального объема". Ж. Тополь. 2: 181–192. arXiv:0809.0346. Дои:10.1112 / jtopol / jtp006. МИСТЕР  2499442.
  4. ^ Райли, Роберт (1975). «Квадратичная параболическая группа». Математика. Proc. Cambridge Philos. Soc. 77 (2): 281–288. Bibcode:1975MPCPS..77..281R. Дои:10,1017 / с0305004100051094. МИСТЕР  0412416.
  5. ^ Цао, Чунь; Мейерхофф, Дж. Роберт (2001). «Ориентируемые гиперболические 3-многообразия минимального объема с каспами». Изобретать. Математика. 146 (3): 451–478. Bibcode:2001InMat.146..451C. Дои:10.1007 / s002220100167. МИСТЕР  1869847.
  6. ^ Агол, Ян (2013). С приложением Яна Агола, Дэниела Гроувса и Джейсона Мэннинга. «Виртуальная гипотеза Хакена». Documenta Mathematica. 18: 1045–1087. МИСТЕР  3104553.
  7. ^ Лакенби, Марк; Лонг, Даррен Д .; Рид, Алан В. (2008). «Накрывающие пространства арифметических 3-орбифолдов». Уведомления о международных математических исследованиях. 2008. arXiv:математика / 0601677. Дои:10.1093 / imrn / rnn036. МИСТЕР  2426753.
  8. ^ Калегари, Франк; Данфилд, Натан (2006). «Автоморфные формы и рациональные гомологии 3-сферы». Геометрия и топология. 10: 295–329. arXiv:математика / 0508271. Дои:10.2140 / gt.2006.10.295. МИСТЕР  2224458.
  9. ^ Бостон, Найджел; Элленберг, Иордания (2006). «Pro-p группы и башни сфер рациональных гомологий». Геометрия и топология. 10: 331–334. arXiv:0902.4567. Дои:10.2140 / gt.2006.10.331. МИСТЕР  2224459.
  10. ^ Терстон, Уильям (1982). «Трехмерные многообразия, клейновы группы и гиперболическая геометрия». Бюллетень Американского математического общества. 6 (3): 357–381. Дои:10.1090 / s0273-0979-1982-15003-0.
  11. ^ Биринджер, Ян; Соуто, Хуан (2011). «Теорема конечности для трехмерных гиперболических многообразий». J. London Math. Soc. Вторая серия. 84: 227–242. arXiv:0901.0300. Дои:10.1112 / jlms / jdq106.CS1 maint: ref = harv (связь)
  12. ^ Громов, Миша; Гут, Ларри (2012). "Обобщения оценок вложения Колмогорова-Барздина". Duke Math. J. 161: 2549–2603. arXiv:1103.3423. Дои:10.1215/00127094-1812840.

Рекомендации