Арифметическое гиперболическое 3-многообразие - Arithmetic hyperbolic 3-manifold

В математика, точнее в теория групп и гиперболическая геометрия, Арифметические клейновы группы особый класс Клейнианские группы построен с использованием заказы в кватернионные алгебры. Это частные примеры арифметические группы. An арифметическое трехмерное гиперболическое многообразие является частным от гиперболическое пространство ${displaystyle mathbb {H} ^ {3}}$ арифметической клейновой группой. Эти многообразия включают несколько особенно красивых или замечательных примеров.

Определение и примеры

Кватернионные алгебры

Алгебра кватернионов над полем ${displaystyle F}$ четырехмерный центральный простой ${displaystyle F}$ -алгебра. Алгебра кватернионов имеет основу ${displaystyle 1, i, j, ij}$ куда ${displaystyle i ^ {2}, j ^ {2} in F ^ {imes}}$ и ${displaystyle ij = -ji}$ .

Алгебра кватернионов называется расщепляемой над ${displaystyle F}$ если он изоморфен как ${displaystyle F}$ -алгебра к алгебре матриц ${displaystyle M_ {2} (F)}$ ; алгебра кватернионов над алгебраически замкнутым полем всегда расщепляется.

Если ${displaystyle sigma}$ это вложение ${displaystyle F}$ в поле ${displaystyle E}$ обозначим через ${displaystyle Aotimes _ {sigma} E}$ алгебра, полученная расширение скаляров из ${displaystyle F}$ к ${displaystyle E}$ где мы смотрим ${displaystyle F}$ как подполе ${displaystyle E}$ через ${displaystyle sigma}$ .

Арифметические клейновы группы

Подгруппа ${displaystyle mathrm {PGL} _ {2} (mathbb {C})}$ как говорят полученный из кватернионной алгебры если его можно получить с помощью следующей конструкции. Позволять ${displaystyle F}$ быть числовое поле который имеет ровно два вложения в ${displaystyle mathbb {C}}$ чье изображение не содержится в ${displaystyle mathbb {R}}$ (одно сопряжено с другим). Позволять ${displaystyle A}$ быть кватернионной алгеброй над ${displaystyle F}$ такое, что для любого вложения ${displaystyle au: F o mathbb {R}}$ алгебра ${displaystyle Aotimes _ {au} mathbb {R}}$ изоморфен Кватернионы Гамильтона. Далее нам нужен заказ ${displaystyle {mathcal {O}}}$ в ${displaystyle A}$ . Позволять ${displaystyle {mathcal {O}} ^ {1}}$ быть группой элементов в ${displaystyle {mathcal {O}}}$ приведенной нормы 1 и пусть ${displaystyle Gamma}$ быть его изображением в ${displaystyle M_ {2} (mathbb {C})}$ через ${displaystyle phi}$ . Затем рассмотрим клейнову группу, полученную как образ в ${displaystyle mathrm {PGL} _ {2} (mathbb {C})}$ из ${displaystyle phi ({mathcal {O}} ^ {1})}$ .

Главный факт об этих группах состоит в том, что они являются дискретными подгруппами и имеют конечный кообъем для Мера Хаара на ${displaystyle mathrm {PGL} _ {2} (mathbb {C})}$ . Более того, приведенная выше конструкция дает кокомпактную подгруппу тогда и только тогда, когда алгебра ${displaystyle A}$ не разделен ${displaystyle F}$ . Дискретность - довольно непосредственное следствие того, что ${displaystyle A}$ расщепляется только при его сложных вложениях. Конечность коволюма доказать сложнее.^[1]

An арифметическая группа Клейна любая подгруппа ${displaystyle mathrm {PGL} _ {2} (mathbb {C})}$ который соизмеримый в группу, полученную из алгебры кватернионов. Из этого определения немедленно следует, что арифметические клейновы группы дискретны и имеют конечный ковобъем (это означает, что они решетки в ${displaystyle mathrm {PGL} _ {2} (mathbb {C})}$ ).

Примеры

Примеры представлены, взяв ${displaystyle F}$ быть мнимое квадратичное поле, ${displaystyle A = M_ {2} (F)}$ и ${displaystyle {mathcal {O}} = M_ {2} (O_ {F})}$ куда ${displaystyle O_ {F}}$ это кольцо целых чисел из ${displaystyle F}$ (Например ${displaystyle F = mathbb {Q} (i)}$ и ${displaystyle O_ {F} = mathbb {Z} [i]}$ ). Полученные таким образом группы являются Группы Бьянки. Они не кокомпактны, и любая арифметическая клейнова группа, которая не соизмерима с сопряженной группой Бианки, является кокомпактной.

Если ${displaystyle A}$ любая кватернионная алгебра над полем мнимых квадратичных чисел ${displaystyle F}$ которая не изоморфна матричной алгебре, то единичные группы порядков в ${displaystyle A}$ компактны.

Поле трассировки арифметических многообразий

Инвариант поле трассировки клейновой группы (или, через образ монодромии фундаментальной группы, гиперболического многообразия) есть поле, порожденное следами квадратов ее элементов. В случае арифметического многообразия, фундаментальные группы которого соизмеримы с группой многообразия, полученного из алгебры кватернионов над числовым полем ${displaystyle F}$ инвариантное поле следа равно ${displaystyle F}$ .

На самом деле арифметические многообразия можно охарактеризовать через следы элементов их фундаментальной группы. Клейнова группа является арифметической тогда и только тогда, когда выполняются следующие три условия:

Его инвариантное поле следа ${displaystyle F}$ числовое поле ровно с одним сложным разрядом;
Следы его элементов алгебраические целые числа;
Для любого ${displaystyle gamma}$ в группе, ${displaystyle t = mathrm {Trace} (гамма ^ {2})}$ и любое вложение ${displaystyle sigma: F o mathbb {R}}$ у нас есть ${displaystyle | sigma (t) | leq 2}$ .

Геометрия и спектр арифметических трехмерных гиперболических многообразий

Формула объема

Для объема арифметический трехколлекторный ${displaystyle M = Gamma _ {mathcal {O}} ackslash mathbb {H} ^ {3}}$ полученный из максимального порядка в алгебре кватернионов ${displaystyle A}$ над числовым полем ${displaystyle f}$ у нас есть выражение:^[2]

${displaystyle mathrm {vol} (M) = {frac {2 | D_ {F} | ^ {frac {3} {2}} cdot zeta _ {F} (2)} {2 ^ {2r + 1} cdot pi ^ {2r}}} cdot prod _ {{mathfrak {p}} | D_ {A}} (N ({mathfrak {p}}) - 1).}$

куда ${displaystyle D_ {A}, D_ {F}}$ являются дискриминанты из ${displaystyle A, F}$ соответственно, ${displaystyle zeta _ {F}}$ это Дзета-функция Дедекинда из ${displaystyle F}$ и ${displaystyle r = [F: mathbb {Q}]}$ .

Результаты конечности

Следствием формулы объема в предыдущем абзаце является то, что

Данный ${displaystyle v> 0}$ существует не более чем конечное число арифметических гиперболических 3-многообразий с объемом меньше ${displaystyle v}$ .

Это контрастирует с тем фактом, что гиперболическая хирургия Дена может использоваться для создания бесконечного числа неизометрических гиперболических трехмерных многообразий с ограниченным объемом. В частности, следствие состоит в том, что для гиперболического многообразия с каспами не более конечного числа операций Дена на нем могут дать арифметическое гиперболическое многообразие.

Замечательные арифметические трехмерные гиперболические многообразия

В Множество недель - трехмерное гиперболическое многообразие наименьшего объема^[3] и Многообразие Мейерхоффа является одним из следующих наименьших объемов.

Дополнение в тройке - сфере узел восьмерка является арифметической гиперболической тройкой - многообразием^[4] и достигает наименьшего объема среди всех трехмерных гиперболических многообразий с каспами.^[5]

Спектр и гипотезы Рамануджана

В Гипотеза Рамануджана для автоморфных форм на ${displaystyle mathrm {GL} (2)}$ над числовым полем означало бы, что для любого конгруэнтного покрытия арифметического трехмерного многообразия (полученного из алгебры кватернионов) спектр оператора Лапласа содержится в ${displaystyle [1, + infty)}$ .

Арифметические многообразия в трехмерной топологии

Многие из предположений Терстона (например, фактически гипотеза Хакена ), теперь все, что известно по работам Ян Агол,^[6] были проверены сначала для арифметических многообразий с помощью специальных методов.^[7] В некоторых арифметических случаях гипотеза Виртуального Хакена известна общими средствами, но неизвестно, может ли ее решение быть получено чисто арифметическими средствами (например, путем нахождения конгруэнтной подгруппы с положительным первым числом Бетти).

Арифметические многообразия могут быть использованы, чтобы дать примеры многообразий с большим радиусом инъективности, первое число Бетти которых обращается в нуль.^[8]^[9]

Замечание Уильям Терстон заключается в том, что арифметические многообразия «... часто кажутся особенно красивыми».^[10] Это может быть подтверждено результатами, показывающими, что связь между топологией и геометрией для этих многообразий гораздо более предсказуема, чем в целом. Например:

Для данного рода грамм существует не более чем конечное число арифметических (конгруэнтных) гиперболических 3-многообразий, которые расслаиваются над окружностью слоем рода грамм.^[11]
Существует не более конечного числа арифметических (конгруэнтных) гиперболических 3-многообразий с данным родом Хегора.^[12]

Примечания

^ Маклахлан и Рид 2003, Теорема 8.1.2.
^ Маклахлан и Рид 2003, Теорема 11.1.3.
^ Милли, Питер (2009). "Трехмерные гиперболические многообразия минимального объема". Ж. Тополь. 2: 181–192. arXiv:0809.0346. Дои:10.1112 / jtopol / jtp006. МИСТЕР 2499442.
^ Райли, Роберт (1975). «Квадратичная параболическая группа». Математика. Proc. Cambridge Philos. Soc. 77 (2): 281–288. Bibcode:1975MPCPS..77..281R. Дои:10,1017 / с0305004100051094. МИСТЕР 0412416.
^ Цао, Чунь; Мейерхофф, Дж. Роберт (2001). «Ориентируемые гиперболические 3-многообразия минимального объема с каспами». Изобретать. Математика. 146 (3): 451–478. Bibcode:2001InMat.146..451C. Дои:10.1007 / s002220100167. МИСТЕР 1869847.
^ Агол, Ян (2013). С приложением Яна Агола, Дэниела Гроувса и Джейсона Мэннинга. «Виртуальная гипотеза Хакена». Documenta Mathematica. 18: 1045–1087. МИСТЕР 3104553.
^ Лакенби, Марк; Лонг, Даррен Д .; Рид, Алан В. (2008). «Накрывающие пространства арифметических 3-орбифолдов». Уведомления о международных математических исследованиях. 2008. arXiv:математика / 0601677. Дои:10.1093 / imrn / rnn036. МИСТЕР 2426753.
^ Калегари, Франк; Данфилд, Натан (2006). «Автоморфные формы и рациональные гомологии 3-сферы». Геометрия и топология. 10: 295–329. arXiv:математика / 0508271. Дои:10.2140 / gt.2006.10.295. МИСТЕР 2224458.
^ Бостон, Найджел; Элленберг, Иордания (2006). «Pro-p группы и башни сфер рациональных гомологий». Геометрия и топология. 10: 331–334. arXiv:0902.4567. Дои:10.2140 / gt.2006.10.331. МИСТЕР 2224459.
^ Терстон, Уильям (1982). «Трехмерные многообразия, клейновы группы и гиперболическая геометрия». Бюллетень Американского математического общества. 6 (3): 357–381. Дои:10.1090 / s0273-0979-1982-15003-0.
^ Биринджер, Ян; Соуто, Хуан (2011). «Теорема конечности для трехмерных гиперболических многообразий». J. London Math. Soc. Вторая серия. 84: 227–242. arXiv:0901.0300. Дои:10.1112 / jlms / jdq106.CS1 maint: ref = harv (связь)
^ Громов, Миша; Гут, Ларри (2012). "Обобщения оценок вложения Колмогорова-Барздина". Duke Math. J. 161: 2549–2603. arXiv:1103.3423. Дои:10.1215/00127094-1812840.