Угловой дефект - Angular defect
В геометрия, (угловатый) дефект (или дефицит или недостаток) означает отказ некоторых углы в сумме до ожидаемой величины 360 ° или 180 °, когда такие углы в Евклидова плоскость было бы. Противоположное понятие - это избыток.
Классически дефект возникает двумя способами:
- дефект вершины многогранника;
- дефект гиперболический треугольник;
И избыток также возникает двумя способами:
- превышение тороидальный многогранник.
- превышение сферический треугольник;
В евклидовой плоскости углы вокруг точки в сумме составляют 360 °, в то время как внутренние углы в треугольнике складывается до 180 ° (эквивалентно, внешний вид углы в сумме составляют 360 °). Однако у выпуклого многогранника углы при вершине составляют менее 360 °, в сферическом треугольнике внутренние углы всегда в сумме составляют более 180 ° (внешние углы в сумме составляют Меньше чем 360 °), а углы в гиперболическом треугольнике всегда составляют менее 180 ° (внешние углы в сумме составляют Больше чем 360 °).
Говоря современным языком, дефект в вершине или над треугольником (с минусом) - это в точности кривизна в этой точке или общая (интегрированная) по треугольнику, как установлено Теорема Гаусса – Бонне.
Дефект вершины
Для многогранник, дефект в вершине равен 2π минус сумма всех углов в вершине (включая все грани в вершине). Если многогранник выпуклый, то дефект каждой вершины всегда положительный. Если сумма углов превышает полную очередь, как это происходит в некоторых вершинах многих невыпуклых многогранников, то дефект отрицательный.
Понятие дефекта распространяется на более высокие измерения, поскольку сумма, на которую двугранные углы из клетки в пик не дотягивает до полного круга.
Примеры
Дефект любой из вершин правильного додекаэдр (в котором три обычных пятиугольники встречаются в каждой вершине) составляет 36 °, или π / 5 радиан, или 1/10 окружности. Каждый из углов составляет 108 °; три из них встречаются в каждой вершине, поэтому дефект составляет 360 ° - (108 ° + 108 ° + 108 °) = 36 °.
Та же процедура может быть проделана для другого Платоновы тела:
Форма | Количество вершин | Полигоны встречаются в каждой вершине | Дефект в каждой вершине | Полный дефект |
---|---|---|---|---|
тетраэдр | 4 | Три равносторонних треугольника | ||
октаэдр | 6 | Четыре равносторонних треугольника | ||
куб | 8 | Три квадрата | ||
икосаэдр | 12 | Пять равносторонних треугольников | ||
додекаэдр | 20 | Три правильных пятиугольника |
Теорема Декарта
Теорема Декарта о «полном дефекте» многогранника утверждает, что если многогранник гомеоморфный к сфере (т. е. топологически эквивалентен сфере, так что она может быть деформирована в сферу путем растяжения без разрыва), «общий дефект», то есть сумма дефектов всех вершин, составляет два полных круга (или 720 ° или 4π радиан). Многогранник не обязательно должен быть выпуклым.[1]
Обобщение говорит, что количество кругов в общем дефекте равно Эйлерова характеристика многогранника. Это частный случай Теорема Гаусса – Бонне которая связывает интеграл Гауссова кривизна к эйлеровой характеристике. Здесь гауссова кривизна сосредоточена в вершинах: на гранях и ребрах гауссова кривизна равна нулю, а интеграл гауссовой кривизны в вершине равен дефекту там.
Это можно использовать для расчета количества V вершин многогранника, суммируя углы всех граней и добавляя общий дефект. В этой сумме будет по одному завершенному кругу на каждую вершину многогранника. Необходимо соблюдать осторожность, чтобы использовать правильную характеристику Эйлера для многогранника.
Обратное к этой теореме дает Теорема единственности Александрова, согласно которому метрическое пространство, являющееся локально евклидовым, за исключением конечного числа точек положительного углового дефекта, добавленного к 4π, может быть реализовано уникальным образом как поверхность выпуклого многогранника.
Положительные дефекты на невыпуклых фигурах
Заманчиво думать, что у каждого невыпуклого многогранника должны быть вершины с отрицательным дефектом, но это не обязательно. Два контрпримера этому - малый звездчатый додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр, которые имеют по двенадцать выпуклых точек с положительными дефектами.
Контрпример, который не пересекает сам себя, дается куб где одно лицо заменено на квадратная пирамида: этот удлиненная квадратная пирамида выпуклая, и дефекты в каждой вершине положительны. Теперь рассмотрим тот же куб, в котором квадратная пирамида переходит в куб: он вогнутый, но дефекты остаются теми же, и поэтому все положительные.
Отрицательный дефект указывает на то, что вершина напоминает точка перевала, тогда как положительный дефект указывает на то, что вершина напоминает локальный максимум или минимум.
использованная литература
Заметки
- ^ Декарт, Рене, Progymnasmata de solidorum elementis, в Oeuvres de Descartes, т. X, стр. 265–276
Список используемой литературы
- Ричсон, Д.; Драгоценный камень Эйлера: формула многогранника и рождение топологии, Princeton (2008), страницы 220–225.