Гиперцикл (геометрия) - Hypercycle (geometry)

А Диск Пуанкаре показывая гиперцикл HC что определяется прямой линией L (называется прямым, потому что он пересекает горизонт под прямым углом) и указывает п

В гиперболическая геометрия, а гиперцикл, гиперокружность или эквидистантная кривая это кривая точки которой находятся на одинаковом ортогональном расстоянии от данной прямой (ее оси).

Для прямой L и точки P, не лежащей на L, можно построить гиперцикл, взяв все точки Q на той же стороне L, что и P, с перпендикулярным расстоянием к L, равным расстоянию от P.

Линия L называется ось, центр, или базовая линия гиперцикла.

Линии, перпендикулярные ось, который также перпендикулярен гиперциклу, называется нормали гиперцикла.

Сегменты нормали между ось, а гиперцикл называют радиусы.

Их общая длина называется расстояние или радиус гиперцикла.^[1]

Гиперциклы, проходящие через данную точку, которые имеют общую касательную через эту точку, сходятся к орицикл поскольку их расстояния стремятся к бесконечности.

Свойства, аналогичные свойствам евклидовых линий

Гиперциклы в гиперболической геометрии обладают некоторыми свойствами, аналогичными свойствам линии в Евклидова геометрия:

• На плоскости, где есть прямая и точка не на ней, есть только один гиперцикл из гиперцикла данной прямой (сравните с Аксиома Playfair для евклидовой геометрии).
• Никакие три точки гиперцикла не находятся на окружности.
• Гиперцикл симметричен каждой перпендикулярной к нему прямой. (Отражение гиперцикла по линии, перпендикулярной гиперциклу, приводит к тому же гиперциклу.)

Свойства, аналогичные свойствам евклидовых кругов

Гиперциклы в гиперболической геометрии обладают некоторыми свойствами, аналогичными свойствам круги в Евклидова геометрия:

• Линия, перпендикулярная хорде гиперцикла в его средней точке, является радиусом и делит пополам дугу, образуемую хордой.

  Пусть AB - хорда, а M - ее середина.

  По симметрии прямая R, проходящая через M, перпендикулярную AB, должна быть ортогональна оси L.

  Следовательно, R - радиус.

  Также по симметрии R разделит дугу AB пополам.

• Ось и расстояние гиперцикла определяются однозначно..

  Предположим, что гиперцикл C имеет две разные оси L₁ и я₂.

  Используя предыдущее свойство дважды с разными хордами, мы можем определить два различных радиуса R₁ и R₂. р₁ и R₂ тогда должен быть перпендикулярен как L₁ и я₂, давая нам прямоугольник. Это противоречие, потому что прямоугольник - невозможная фигура в гиперболическая геометрия.

• Два гиперцикла имеют равные расстояния если и только если они конгруэнтны.

  Если у них одинаковое расстояние, нам просто нужно жестким движением привести оси в совпадение и при этом совпадут все радиусы; так как расстояние одинаковое, совпадут и точки двух гиперциклов.

  И наоборот, если они совпадают, расстояние должно совпадать по предыдущему свойству.

• Прямая линия разрезает гиперцикл не более чем в двух точках.

  Пусть прямая K разрезает гиперцикл C на две точки A и B. Как и раньше, мы можем построить радиус R кольца C через среднюю точку M треугольника AB. Обратите внимание, что K является ультрапараллельный к оси L, потому что они имеют общий перпендикуляр R. Кроме того, две ультрапараллельные линии имеют минимальное расстояние на общем перпендикуляре и монотонно увеличивая расстояния по мере удаления от перпендикуляра.

  Это означает, что точки K внутри AB будут иметь расстояние от L меньше, чем общее расстояние A и B от L, в то время как точки K за пределами AB будут иметь большее расстояние. В заключение, никакая другая точка K не может быть на C.

• Два гиперцикла пересекаются не более чем в двух точках.

  Пусть C₁ и C₂ - гиперциклы, пересекающиеся в трех точках A, B и C.

  Если R₁ прямая, ортогональная AB через ее среднюю точку, мы знаем, что это радиус обоих C₁ и C₂.

  Аналогично строим R₂, радиус, проходящий через среднюю точку BC.

  р₁ и R₂ одновременно ортогональны осям L₁ и я₂ из C₁ и C₂соответственно.

  Мы уже доказали, что тогда L₁ и я₂ должно совпадать (иначе получается прямоугольник).

  Тогда C₁ и C₂ имеют одну и ту же ось и хотя бы одну общую точку, следовательно, у них одинаковое расстояние и они совпадают.

• Никакие три точки гиперцикла не лежат на одной прямой.

  Если точки A, B и C гиперцикла коллинеарны, то хорды AB и BC лежат на одной прямой K. Пусть R₁ и R₂ - радиусы, проходящие через средние точки AB и BC. Мы знаем, что ось L гиперцикла является общим перпендикуляром к R₁ и R₂.

  Но K это обычное дело перпендикуляр. Тогда расстояние должно быть равно 0 и гиперцикл вырождается в линию.

Другие свойства

• Длина дуги гиперцикла между двумя точками равна
  • длиннее, чем длина отрезка между этими двумя точками,
  • короче длины дуги одного из двух орициклы между этими двумя точками, и
  • короче любой дуги окружности между этими двумя точками.
• Гиперцикл и орицикл пересекаются не более чем в двух точках.

Длина дуги

В гиперболической плоскости постоянной кривизна −1 длину дуги гиперцикла можно вычислить по радиусу р и расстояние между точками пересечения нормалей с осью d используя формулу л = d шиш р.^[2]

строительство

в Модель диска Пуанкаре гиперболической плоскости гиперциклы представлены прямыми и дугами окружности, которые пересекают граничную окружность не под прямым углом. Представление оси пересекает граничную окружность в тех же точках, но под прямым углом.

в Модель полуплоскости Пуанкаре гиперболической плоскости гиперциклы представлены прямыми и окружностями, которые пересекают граничную линию не под прямым углом. Представление оси пересекает линию границы в тех же точках, но под прямым углом.

использованная литература

В чередующаяся восьмиугольная черепица, в Модель диска Пуанкаре, можно увидеть с помощью реберных последовательностей, следующих за гиперциклами.

• Мартин Гарднер, Неевклидова геометрия, Глава 4 Колоссальная книга математики, W. W. Norton & Company, 2001 г., ISBN  978-0-393-02023-6
• М. Дж. Гринберг, Евклидова и неевклидова геометрии: развитие и история, 3-е издание, W. H. Freeman, 1994.
• Джордж Э. Мартин, Основы геометрии и неевклидовой плоскости, Springer-Verlag, 1975.
• Дэвид К. Ройстер, Нейтральная и неевклидова геометрии.