Теорема Сардса - Википедия - Sards theorem

В математика, Теорема Сарда, также известный как Лемма Сарда или Теорема Морса – Сарда., является результатом математический анализ который утверждает, что набор критические значения (это изображение из набора критические точки ) из гладкая функция ж от одного Евклидово пространство или же многообразие другому это нулевой набор, т. е. имеет Мера Лебега 0. Это делает набор критических значений «маленьким» в смысле родовое свойство. Теорема названа в честь Энтони Морс и Артур Сард.

Заявление

Более конкретно,^[1] позволять

${ Displaystyle е двоеточие mathbb {R} ^ {n} rightarrow mathbb {R} ^ {m}}$

быть ${ displaystyle C ^ {k}}$, (то есть, ${ displaystyle k}$ раз непрерывно дифференцируемый ), куда ${ Displaystyle к geq макс {п-м + 1,1 }}$. Позволять ${ displaystyle X}$ обозначить критический набор из ${ displaystyle f,}$ который представляет собой набор точек ${ Displaystyle х в mathbb {R} ^ {п}}$ на котором Матрица якобиана из ${ displaystyle f}$ имеет классифицировать ${ displaystyle$. Тогда изображение ${ displaystyle f (X)}$ имеет меру Лебега 0 в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {m}}$.

Интуитивно говоря, это означает, что хотя ${ displaystyle X}$ может быть большим, его изображение должно быть маленьким в смысле меры Лебега: ${ displaystyle f}$ может иметь много критических точки в домене ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$, в нем должно быть несколько критических значения на изображении ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {m}}$.

В более общем плане результат также верен для отображений между дифференцируемые многообразия ${ displaystyle M}$ и ${ displaystyle N}$ размеров ${ displaystyle m}$ и ${ displaystyle n}$, соответственно. Критический набор ${ displaystyle X}$ из ${ displaystyle C ^ {k}}$ функция

${ displaystyle f: N rightarrow M}$

состоит из тех точек, в которых дифференциал

${ displaystyle df: TN rightarrow TM}$

имеет ранг ниже, чем ${ displaystyle m}$ как линейное преобразование. Если ${ Displaystyle к geq макс {п-м + 1,1 }}$, то теорема Сарда утверждает, что образ ${ displaystyle X}$ имеет нулевую меру как подмножество ${ displaystyle M}$. Такая формулировка результата следует из версии для евклидовых пространств, когда счетный набор координатных пятен. Заключение теоремы является локальным утверждением, поскольку счетное объединение множеств нулевой меры является множеством нулевой меры, а свойство подмножества координатного пятна, имеющего нулевую меру, инвариантно относительно диффеоморфизм.

Варианты

Есть много вариантов этой леммы, которая играет основную роль в теория сингулярности среди других областей. Дело ${ displaystyle m = 1}$ было доказано Энтони П. Морс в 1939 г.,^[2] и общий случай Артур Сард в 1942 г.^[1]

Версия для бесконечномерного Банаховы многообразия было доказано Стивен Смейл.^[3]

Утверждение весьма убедительно, и его доказательство требует анализа. В топология его часто цитируют - как в Теорема Брауэра о неподвижной точке и некоторые приложения в Теория Морса - чтобы доказать более слабое следствие, что «непостоянное гладкое отображение имеет хотя бы один обычное значение ».

В 1965 году Сард далее обобщил свою теорему, заявив, что если ${ displaystyle f: N rightarrow M}$ является ${ displaystyle C ^ {k}}$ за ${ Displaystyle к geq макс {п-м + 1,1 }}$ и если ${ displaystyle A_ {r} substeq N}$ это набор точек ${ displaystyle x in N}$ такой, что ${ displaystyle df_ {x}}$ имеет ранг строго ниже, чем ${ displaystyle r}$, то р-размерный Мера Хаусдорфа из ${ displaystyle f (A_ {r})}$ равно нулю.^[4] В частности Хаусдорфово измерение из ${ displaystyle f (A_ {r})}$ самое большее р. Предостережение: Хаусдорфово измерение ${ displaystyle f (A_ {r})}$ может быть сколь угодно близким к р.^[5]

Смотрите также

• Родовое свойство

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Хирш, Моррис В. (1976), Дифференциальная топология, Нью-Йорк: Springer, стр. 67–84, ISBN  0-387-90148-5.
• Штернберг, Шломо (1964), Лекции по дифференциальной геометрии, Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, МИСТЕР  0193578, Zbl  0129.13102.