Первый несчетный порядковый номер - First uncountable ordinal

В математика, то первый несчетный порядковый номер, традиционно обозначаемый ω1 или иногда Ω,[1] самый маленький порядковый номер что считается набор, является бесчисленный. Это супремум (наименьшая верхняя граница) всех счетных ординалов. Элементы ω1 являются счетными ординалами (включая конечные ординалы),[2] которых несчетное множество.

Как и любое порядковое число (в подходе фон Неймана), ω1 это упорядоченный набор, с участием установить членство ("∈"), служащая отношением порядка. ω1 это предельный порядковый номер, т.е. не существует ординала α с α + 1 = ω1.

В мощность множества ω1 это первый неисчислимый количественное числительное, ℵ1 (алеф-он ). Порядковый номер ω1 таким образом начальный порядковый номер из ℵ1. Под гипотеза континуума, мощность ω1 такой же, как у - набор действительные числа.[3]

В большинстве конструкций ω1 и ℵ1 считаются равными как множества. Обобщая: если α - произвольный ординал, определим ωα как начальный ординал кардинала ℵα.

Существование ω1 можно доказать без аксиома выбора. Подробнее см. Число Хартогса.

Топологические свойства

Любой порядковый номер можно превратить в топологическое пространство используя топология заказа. Если рассматривать как топологическое пространство, ω1 часто записывается как [0, ω1), чтобы подчеркнуть, что это пространство, состоящее из всех ординалов, меньших ω1.

Если аксиома счетного выбора держит, каждый возрастающая ω-последовательность элементов из [0, ω1) сходится к предел в [0, ω1). Причина в том, что союз (то есть супремум) каждого счетного множества счетных ординалов является другим счетным ординалом.

Топологическое пространство [0, ω1) является последовательно компактный, но нет компактный. Как следствие, это не метризуемый. Однако это счетно компактный и поэтому не Линделёф. С точки зрения аксиомы счетности, [0, ω1) является исчисляемый первым, но ни отделяемый ни счетный.

Пространство [0, ω1] = ω1 +1 компактно и не имеет первого счета. ω1 используется для определения длинная линия и Тихоновская доска - два важных контрпримера в топология.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ «Исчерпывающий список символов теории множеств». Математическое хранилище. 2020-04-11. Получено 2020-08-12.
  2. ^ "Теория множеств> Основная теория множеств (Стэнфордская энциклопедия философии)". plato.stanford.edu. Получено 2020-08-12.
  3. ^ "первый несчетный порядковый номер в nLab". ncatlab.org. Получено 2020-08-12.

Библиография

  • Томас Ех, Теория множеств, 3-е изд. Тысячелетия, 2003 г., Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN  3-540-44085-2.
  • Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах-младший, Контрпримеры в топологии. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1978. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 1995. ISBN  0-486-68735-X (Дуврское издание).