Счетно компактное пространство - Countably compact space

(1) ${displaystyle Rightarrow}$ (2): Предположим, что выполнено (1) и А это бесконечное подмножество Икс без ${displaystyle omega}$-точка накопления. Взяв подмножество А при необходимости можно считать, что А исчисляемо. ${displaystyle xin X}$ имеет открытый район ${displaystyle O_ {x}}$ такой, что ${displaystyle O_ {x} cap A}$ конечно (возможно, пусто), так как Икс является нет точка ω-накопления. Для каждого конечного подмножества F из А определять ${displaystyle O_ {F} = чашка {O_ {x}: O_ {x} крышка A = F}}$. Каждый ${displaystyle O_ {x}}$ является подмножеством одного из ${displaystyle O_ {F}}$, Итак ${displaystyle O_ {F}}$ крышка Икс. Поскольку их бесчисленное множество, ${displaystyle O_ {F}}$ сформировать счетную открытую крышку Икс. Но каждый ${displaystyle O_ {F}}$ пересекаться А в конечном подмножестве (а именно F), поэтому конечное число из них не может покрыть А, не говоря уже о Икс. Это противоречие доказывает (2).

(2) ${displaystyle Rightarrow}$ (3): Предположим, что выполнено (2), и пусть ${displaystyle (x_ {n}) _ {n}}$ быть последовательностью в Икс. Если последовательность имеет значение Икс которое встречается бесконечно много раз, это значение точка накопления последовательности. В противном случае каждое значение в последовательности встречается только конечное число раз и множество ${displaystyle A = {x_ {n}: nin {mathbb {N}}}}$ бесконечно, и поэтому ω-точка накопления Икс. Который Икс является точкой накопления последовательности, что легко проверить.

(3) ${displaystyle Rightarrow}$ (1): Предположим, что выполнено (3) и ${displaystyle {O_ {n}: nin {mathbb {N}}}}$ - счетное открытое покрытие без конечного подпокрытия. Тогда для каждого ${displaystyle n}$ мы можем выбрать точку ${displaystyle x_ {n} in X}$ то есть нет в ${displaystyle cup _ {i = 1} ^ {n} O_ {i}}$. Последовательность ${displaystyle (x_ {n}) _ {n}}$ имеет точку накопления Икс и это Икс находится в некоторых ${displaystyle O_ {k}}$. Но потом ${displaystyle O_ {k}}$ это район Икс который не содержит ни одного из ${displaystyle x_ {n}}$ с ${displaystyle n> k}$, так Икс в конце концов, это не точка накопления последовательности. Это противоречие доказывает (1).

(4) ${displaystyle Leftrightarrow}$ (1): Эквивалентность условий (1) и (4) легко увидеть, взяв дополнения.