В области математический анализ, а общая серия Дирихле является бесконечная серия это принимает форму
куда , находятся сложные числа и это строго возрастающий последовательность неотрицательных действительные числа что стремится к бесконечности.
Простое наблюдение показывает, что «обычный» Серия Дирихле
получается заменой в то время как степенной ряд
получается, когда .
Основные теоремы
Если ряд Дирихле сходится в , то это равномерно сходящийся в домен
и сходящийся для любого куда .
Теперь есть три возможности относительно сходимости ряда Дирихле, то есть он может сходиться для всех, ни для каких или для некоторых значений s. В последнем случае существует такой, что ряд сходится при и расходящийся за . Условно, если ряд нигде не сходится и если ряд сходится всюду на комплексная плоскость.
Абсцисса схождения
В абсцисса схождения ряда Дирихле можно определить как над. Другое эквивалентное определение:
Линия называется линия схождения. В полуплоскость сходимости определяется как
В абсцисса, линия и полуплоскость сходимости ряда Дирихле аналогичны радиус, граница и диск сходимости степенной ряд.
На линии сходимости вопрос сходимости остается открытым, как и в случае степенных рядов. Однако, если ряд Дирихле сходится и расходится в разных точках на одной и той же вертикальной прямой, то эта линия должна быть линией сходимости. Доказательство неявно содержится в определении абсцисс сходимости. Примером может служить серия
который сходится в (переменный гармонический ряд ) и расходится на (гармонический ряд ). Таким образом, линия сходимости.
Предположим, что ряд Дирихле не сходится в , то ясно, что и расходится. С другой стороны, если ряд Дирихле сходится в , тогда и сходится. Таким образом, есть две формулы для вычисления , в зависимости от сходимости который может определяться различными тесты сходимости. Эти формулы аналогичны формулам Теорема Коши – Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.
Если расходится, т.е. , тогда дан кем-то
Если сходится, т.е. , тогда дан кем-то
Абсцисса абсолютной сходимости
Ряд Дирихле - это абсолютно сходящийся если сериал
сходится. Как обычно, абсолютно сходящийся ряд Дирихле сходится, но разговаривать не всегда верно.
Если ряд Дирихле абсолютно сходится в , то он абсолютно сходится для всех s куда . Ряд Дирихле может сходиться абсолютно для всех, ни при каких значениях s. В последнем случае существует такой, что ряд абсолютно сходится при и сходится неабсолютно при .
В абсцисса абсолютной сходимости можно определить как выше или эквивалентно
В линия и полуплоскость абсолютной сходимости можно определить аналогично. Также есть две формулы для вычисления .
Если расходится, то дан кем-то
Если сходится, то дан кем-то
В общем случае абсцисса сходимости не совпадает с абсциссой абсолютной сходимости. Таким образом, между линией сходимости и абсолютной сходимостью может быть полоса, где ряд Дирихле есть условно сходящийся. Ширина этой полосы определяется выражением
В случае, когда L = 0, то
Все формулы, представленные до сих пор, по-прежнему верны для «обычных» Серия Дирихле путем замены .
Другие абсциссы схождения
Можно рассмотреть другие абсциссы сходимости ряда Дирихле. В абсцисса ограниченной сходимости дан кем-то
в то время как абсцисса равномерной сходимости дан кем-то
Эти абсциссы относятся к абсциссе сходимости. и абсолютной конвергенции по формулам
,
и замечательная теорема Бора фактически показывает, что для любого обычного ряда Дирихле, где (т.е. ряд Дирихле вида ) , и [1] Впоследствии Боненбласт и Хилле показали, что для каждого числа есть серия Дирихле для которого [2]
Формула абсцисс равномерной сходимости для общего ряда Дирихле задается следующим образом: для любого , позволять , тогда [3]
Аналитические функции
А функция представлен серией Дирихле
является аналитический в полуплоскости сходимости. Более того, для
Дальнейшие обобщения
Ряд Дирихле может быть далее обобщен на многовариантный случай, когда , k = 2, 3, 4, ... или комплексная переменная случай, когда , м = 1, 2, 3,...
Рекомендации
- Г. Х. Харди, и М. Рисс, Общая теория рядов Дирихле, Cambridge University Press, первое издание, 1915 г.
- Э. К. Титчмарш, Теория функций, Oxford University Press, второе издание, 1939 г.
- Том Апостол, Модулярные функции и ряды Дирихле в теории чисел, Springer, второе издание, 1990 г.
- Леонтьев А.Ф., Целые функции и ряды экспонент Наука, издание первое, 1982.
- А.И. Маркушевич, Теория функций комплексного переменного (перевод с русского), Chelsea Publishing Company, второе издание, 1977.
- Ж.-П. Серр, Курс арифметики, Springer-Verlag, пятое издание, 1973.
- Джон Э. Маккарти, Серия Дирихле, 2018.
- Х. Ф. Боненбласт и Эйнар Хилле, Об абсолютной сходимости рядов Дирихле, Анналы математики, Вторая серия, Vol. 32, No. 3 (июль 1931 г.), стр. 600-622.
внешняя ссылка