Теорема Коши – Адамара - Cauchy–Hadamard theorem

В математика, то Теорема Коши – Адамара это результат комплексный анализ названный в честь Французский математики Огюстен Луи Коши и Жак Адамар, описывая радиус схождения из степенной ряд. Он был опубликован в 1821 году Коши,^[1] но оставался относительно неизвестным, пока Адамар не открыл его заново.^[2] Первая публикация этого результата Адамаром была в 1888 году;^[3] он также включил это как часть своей докторской диссертации 1892 года. Тезис.^[4]

Теорема для одной комплексной переменной

Рассмотрим формальный степенной ряд в одной сложной переменной z формы

${ Displaystyle е (г) = сумма _ {п = 0} ^ { infty} с_ {п} (г-а) ^ {п}}$

куда ${ displaystyle a, c_ {n} in mathbb {C}.}$

Тогда радиус схождения ${ displaystyle R}$ из ƒ в момент а дан кем-то

${ displaystyle { frac {1} {R}} = limsup _ {n to infty} { big (} | c_ {n} | ^ {1 / n} { big)}}$

где lim sup обозначает предел высшего, предел как п приближается к бесконечности супремум значений последовательности после п-я позиция. Если значения последовательности неограничены, так что lim sup равно ∞, то степенной ряд не сходится вблизи а, а если lim sup равен 0, то радиус сходимости равен ∞, что означает, что ряд сходится на всей плоскости.

Доказательство

Без ограничения общности предположим, что ${ displaystyle a = 0}$. Сначала покажем, что степенной ряд ${ Displaystyle сумма с_ {п} г ^ {п}}$ сходится для ${ Displaystyle | г |$, а затем расходится при ${ displaystyle | z |> R}$.

Сначала предположим ${ Displaystyle | г |$. Позволять ${ displaystyle t = 1 / R}$ не быть ${ displaystyle 0}$ или же ${ displaystyle pm infty.}$Для любого ${ displaystyle varepsilon> 0}$, существует лишь конечное число ${ displaystyle n}$ такой, что ${ displaystyle { sqrt [{n}] {| c_ {n} |}} geq t + varepsilon}$. Сейчас же ${ displaystyle | c_ {n} | leq (t + varepsilon) ^ {n}}$ для всех, кроме конечного числа ${ displaystyle c_ {n}}$, поэтому серия ${ Displaystyle сумма с_ {п} г ^ {п}}$ сходится, если ${ Displaystyle | г | <1 / (т + varepsilon)}$. Это доказывает первую часть.

Наоборот, для ${ displaystyle varepsilon> 0}$, ${ displaystyle | c_ {n} | geq (t- varepsilon) ^ {n}}$ бесконечно много ${ displaystyle c_ {n}}$, так что если ${ Displaystyle | г | = 1 / (т- varepsilon)> R}$, мы видим, что ряд не может сходиться, поскольку п-й член не стремится к 0.^[5]

Теорема для нескольких комплексных переменных

Позволять ${ displaystyle alpha}$ быть мультииндексом (a п-набор целых чисел) с ${ Displaystyle | альфа | = альфа _ {1} + cdots + альфа _ {п}}$, тогда ${ displaystyle f (x)}$ сходится с радиусом сходимости ${ displaystyle rho}$ (который также является мультииндексом) тогда и только тогда, когда

${ displaystyle lim _ {| alpha | to infty} { sqrt [{| alpha |}] {| c _ { alpha} | rho ^ { alpha}}} = 1}$

к многомерному степенному ряду

${ displaystyle sum _ { alpha geq 0} c _ { alpha} (za) ^ { alpha}: = sum _ { alpha _ {1} geq 0, ldots, alpha _ {n } geq 0} c _ { alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n}} (z_ {1} -a_ {1}) ^ { alpha _ {1}} cdots (z_ {n } -a_ {n}) ^ { alpha _ {n}}}$

Доказательство можно найти в ^[6]

Примечания

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Коши-Адамара». MathWorld.