Приравнивающие коэффициенты - Equating coefficients

В математике метод приравнивая коэффициенты это способ решения функционального уравнения двух выражений, таких как многочлены для ряда неизвестных параметры. Он основан на том факте, что два выражения идентичны именно тогда, когда соответствующие коэффициенты равны для каждого разного типа члена. Метод используется для доведения формулы в желаемую форму.

Пример в реальных дробях

Предположим, мы хотим применить частичное разложение на фракции к выражению:

{displaystyle {frac {1} {x (x-1) (x-2)}} ,,}

то есть мы хотим привести его в форму:

{displaystyle {frac {A} {x}} + {frac {B} {x-1}} + {frac {C} {x-2}} ,,}

в котором неизвестные параметры А, B и CУмножая эти формулы на Икс(Икс − 1)(Икс - 2) превращает оба в многочлены, которые мы приравниваем:

{displaystyle A (x-1) (x-2) + Bx (x-2) + Cx (x-1) = 1 ,,}

или, после расширения и сбора членов с равными степенями Икс:

{displaystyle (A + B + C) x ^ {2} - (3A + 2B + C) x + 2A = 1.,}

Здесь важно понять, что многочлен 1 фактически равен многочлену 0Икс² + 0Икс + 1, имеющий нулевые коэффициенты при положительных степенях Икс. Приравнивание соответствующих коэффициентов теперь приводит к следующему система линейных уравнений:

{displaystyle A + B + C = 0 ,,}

{displaystyle 3A + 2B + C = 0 ,,}

{displaystyle 2A = 1.,}

Ее решение приводит к:

{displaystyle A = {frac {1} {2}} ,, B = -1,, C = {frac {1} {2}}.,}

Пример во вложенных радикалах

Аналогичная проблема, связанная с приравниванием схожих членов, а не с коэффициентами схожих терминов, возникает, если мы хотим исключить вложенные радикалы ${displaystyle {sqrt {a + b {sqrt {c}}}}}$ чтобы получить эквивалентное выражение, не включающее квадратный корень из самого выражения, содержащего квадратный корень, мы можем постулировать существование рациональных параметров d, e такой, что

{displaystyle {sqrt {a + b {sqrt {c}}}} = {sqrt {d}} + {sqrt {e}}.}

Возведение обеих частей этого уравнения в квадрат дает:

{displaystyle a + b {sqrt {c}} = d + e + 2 {sqrt {de}}.}

Найти d и е мы приравниваем члены, не содержащие квадратных корней, поэтому ${displaystyle a = d + e,}$ и приравняем части, содержащие радикалы, так ${displaystyle b {sqrt {c}} = 2 {sqrt {de}}}$ что в квадрате подразумевает ${displaystyle b ^ {2} c = 4de.}$ Это дает нам два уравнения, одно квадратное и одно линейное, для требуемых параметров. d и е, и эти можно решить чтобы получить

{displaystyle e = {frac {a + {sqrt {a ^ {2} -b ^ {2} c}}} {2}},}

{displaystyle d = {frac {a- {sqrt {a ^ {2} -b ^ {2} c}}} {2}},}

которая является допустимой парой решений тогда и только тогда, когда ${displaystyle {sqrt {a ^ {2} -b ^ {2} c}}}$ - рациональное число.

Пример проверки линейной зависимости уравнений

Учти это переопределенная система уравнений (с 3 уравнениями всего с 2 неизвестными):

{displaystyle x-2y + 1 = 0,}

{displaystyle 3x + 5y-8 = 0,}

{displaystyle 4x + 3y-7 = 0.}

Чтобы проверить, является ли третье уравнение линейно зависимый по первым двум постулируйте два параметра а и б такой, что а умножить на первое уравнение плюс б умноженное на второе уравнение, равно третьему уравнению. Поскольку это всегда верно для правых сторон, все из которых равны 0, нам просто нужно потребовать, чтобы это выполнялось и для левых сторон:

{displaystyle a (x-2y + 1) + b (3x + 5y-8) = 4x + 3y-7.}

Приравнивание коэффициентов при x с обеих сторон, приравнивание коэффициентов при y с обеих сторон и приравнивание констант с обеих сторон дает следующую систему с желаемыми параметрами а, б:

{displaystyle a + 3b = 4,}

{displaystyle -2a + 5b = 3,}

{displaystyle a-8b = -7.}

Решение дает:

{displaystyle a = 1, b = 1}

Уникальная пара ценностей а, б удовлетворяющая первым двум уравнениям есть (а, б) = (1, 1); поскольку эти значения также удовлетворяют третьему уравнению, на самом деле существуют а, б такой, что а умножить на исходное первое уравнение плюс б умноженное на исходное второе уравнение, равное исходному третьему уравнению; заключаем, что третье уравнение линейно зависит от первых двух.

Обратите внимание, что если постоянный член в исходном третьем уравнении был любым, кроме –7, значения (а, б) = (1, 1), удовлетворяющее первым двум уравнениям по параметрам, не удовлетворяло бы третьему (а–8б = константа), поэтому не существует а, б удовлетворяющее всем трем уравнениям в параметрах, и поэтому третье исходное уравнение не будет зависеть от первых двух.

Пример в комплексных числах

Метод приравнивания коэффициентов часто используется при работе с сложные числа. Например, чтобы разделить комплексное число а + би по комплексному числу с + ди, мы постулируем, что отношение равно комплексному числу е + фи, и мы хотим найти значения параметров е и ж для чего это правда. Мы пишем