История концепции функции - History of the function concept

В математический концепция функция возникла в 17 веке в связи с развитием исчисление; например, наклон ${ displaystyle operatorname {d} ! y / operatorname {d} ! x}$ из график в какой-то момент рассматривался как функция Икс-координата точки. В древности функции не рассматривались в явном виде, но некоторые предшественники этой концепции, возможно, можно увидеть в работах средневековых философов и математиков, таких как Oresme.

Математики 18 века обычно считали функцию определяемой аналитическое выражение. В 19 веке требования строгого развития анализ к Weierstrass и другие, переформулировка геометрия с точки зрения анализа и изобретения теория множеств к Кантор, в конечном итоге привело к гораздо более общей современной концепции функции как однозначного отображения одного набор другому.

Функции до 17 века

Уже в 12 веке математик Шараф ад-Дин ат-Туси проанализировал уравнение Икс³ + d = б ⋅ Икс² в виде Икс² ⋅ (б – Икс) = d, заявляя, что левая часть должна как минимум равняться значению d чтобы уравнение имело решение. Затем он определил максимальное значение этого выражения. Можно утверждать, что выделение этого выражения является ранним подходом к понятию «функция». Значение меньше чем d означает отсутствие положительного решения; значение, равное d соответствует одному решению, а значение больше d соответствует двум решениям. Анализ этого уравнения Шараф ад-Дином стал заметным событием в Исламская математика, но его работа в то время не получила дальнейшего развития ни в мусульманском мире, ни в Европе.^[1]

По словам Дьедонне ^[2] и Понте,^[3] понятие функции возникло в 17 веке в результате развития аналитическая геометрия и исчисление бесконечно малых. Тем не менее Медведев предполагает, что неявное понятие функции имеет древнее происхождение.^[4] Понте также видит более явные подходы к концепции в Средний возраст:

Исторически сложилось так, что некоторых математиков можно рассматривать как предвидящих и близких к современной формулировке концепции функции. Среди них есть Oresme (1323–1382) . . . В его теории, похоже, присутствуют некоторые общие идеи о независимых и зависимых переменных величинах.^[5]

Развитие аналитической геометрии около 1640 г. позволило математикам выбирать между геометрическими задачами о кривых и алгебраическими связями между «переменными координатами». Икс и у."^[6] Исчисление было разработано с использованием понятия переменных и связанного с ними геометрического значения, которое сохранялось до восемнадцатого века.^[7] Однако терминология «функция» стала использоваться во взаимодействиях между Лейбницем и Бернулли в конце 17 века.^[8]

Понятие «функция» в анализе

Термин «функция» был введен буквально Готфрид Лейбниц в письме 1673 г., чтобы описать количество, относящееся к точкам изгиб, например координировать или кривой склон.^[9][10] Иоганн Бернулли начали вызывать выражения, состоящие из одной переменной «функции». В 1698 году он согласился с Лейбницем в том, что любое количество, образованное «алгебраическим и трансцендентным образом», можно назвать функцией Икс.^[11] К 1718 году он стал рассматривать как функцию «любое выражение, состоящее из переменной и некоторых констант».^[12] Алексис Клод Клеро (примерно в 1734 г.) и Леонард Эйлер ввел знакомые обозначения ${ Displaystyle {е (х)}}$ для значения функции.^[13]

Рассмотренные в те времена функции называются сегодня дифференцируемые функции. Для этого типа функции можно говорить о пределы и производные; оба являются измерениями выхода или изменения выхода, поскольку это зависит от входа или изменения входа. Такие функции лежат в основе исчисление.

Эйлер

В первом томе его основного текста Введение в Analysin Infinitorumопубликованной в 1748 году, Эйлер дал по существу то же определение функции, что и его учитель Бернулли, как выражение или же формула с участием переменных и констант, например, ${ Displaystyle {х ^ {2} + 3x + 2}}$.^[14] Собственное определение Эйлера гласит:

Функция переменной величины - это аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из переменной величины и чисел или постоянных величин.^[15]

Эйлер также допускал многозначные функции, значения которых определяются неявным уравнением.

Однако в 1755 г. Institutiones Calculi Differentialis, Эйлер дал более общее понятие функции:

Когда одни величины зависят от других таким образом, что они претерпевают изменение при изменении последних, тогда первые называются функции второй. Это имя имеет чрезвычайно широкий характер; он включает в себя все способы, которыми одна величина может быть определена в терминах других.^[16]

Медведев^[17] считает, что «по сути это определение, которое стало известно как определение Дирихле». Эдвардс^[18] также приписывает Эйлеру общее понятие функции и говорит далее, что

Отношения между этими величинами не считаются заданными формулами, но, с другой стороны, они определенно не считаются своего рода общими теоретико-множественными, всевозможными подмножествами пространств продуктов, которые современные математики имеют в виду, когда используют слово «функция».

Фурье

В его Теория Аналитик де ла Шалёр,^[19] Фурье утверждал, что произвольная функция может быть представлена Ряд Фурье.^[20] У Фурье была общая концепция функции, которая включала функции, которые не были непрерывный не определяется аналитическим выражением.^[21] Связанные вопросы о природе и представлении функций, возникающих при решении волновое уравнение для вибрирующей струны уже был предметом спора между д'Аламбер и Эйлера, и они оказали значительное влияние на обобщение понятия функции. Лузин отмечает, что:

Современное понимание функции и ее определения, которое нам кажется правильным, могло возникнуть только после открытия Фурье. Его открытие ясно показало, что большинство недоразумений, возникших в дебатах о вибрирующей струне, были результатом смешения двух на первый взгляд идентичных, но на самом деле совершенно разных концепций, а именно концепции функции и концепции ее аналитического представления. Действительно, до открытия Фурье не проводилось различия между понятиями «функция» и «аналитическое представление», и именно это открытие привело к их разъединению.^[22]

Коши

В 19 веке математики начали формализовать все различные разделы математики. Одним из первых это сделал Коши; его несколько неточные результаты позже были полностью уточнены Weierstrass, который выступал за построение исчисления на арифметика а не на геометрия, который предпочел определение Эйлера определению Лейбница (см. арифметизация анализа ). Согласно Смитису, Коши считал функции определяемыми уравнениями, включающими настоящий или же сложные числа, и молчаливо предполагал, что они были непрерывными:

Коши делает некоторые общие замечания о функциях в главе I, разделе 1 своей книги. Анализируйте algébrique (1821). Из того, что он там говорит, ясно, что он обычно считает функцию определяемой аналитическим выражением (если оно явное) или уравнением или системой уравнений (если оно неявно); Чем он отличается от своих предшественников, так это тем, что он готов рассмотреть возможность того, что функция может быть определена только для ограниченного диапазона независимой переменной.^[23]

Лобачевский и Дирихле

Николай Лобачевский^[24] и Питер Густав Лежен Дирихле^[25] традиционно приписывают независимо дать современное "формальное" определение функции как связь в котором каждый первый элемент имеет уникальный второй элемент.

Лобачевский (1834) пишет, что

Общая концепция функции требует, чтобы функция Икс быть определенным как число, данное для каждого Икс и постепенно меняясь с Икс. Значение функции может быть задано либо аналитическим выражением, либо условием, которое предоставляет средства проверки всех чисел и выбора одного из них; или, наконец, зависимость может существовать, но оставаться неизвестной.^[26]

а Дирихле (1837) пишет

Если теперь единственное конечное у соответствует каждому Икс, причем таким образом, что когда Икс непрерывно колеблется в интервале от а к б, ${ Displaystyle {у = е (х)}}$ также непрерывно меняется, то у называется непрерывный функция Икс для этого интервала. Здесь совсем не обязательно у быть дано с точки зрения Икс по одному и тому же закону на всем интервале, и не обязательно рассматривать его как зависимость, выраженную с помощью математических операций.^[27]

Ивс утверждает, что «изучающий математику обычно встречает определение функции Дирихле во вводном курсе математического анализа.^[28]

Требование Дирихле об этой формализации было оспорено Имре Лакатош:

Такого определения в трудах Дирихле нет вообще. Но есть достаточно свидетельств того, что он не имел представления об этой концепции. Например, в своей статье [1837], когда он обсуждает кусочно-непрерывные функции, он говорит, что в точках разрыва функция имеет два значения: ...^[29]

Однако Гардинер говорит: «... мне кажется, что Лакатос заходит слишком далеко, например, когда он утверждает, что« есть достаточно доказательств того, что [Дирихле] не имел представления о концепции [современной функции] »».^[30]Более того, как отмечалось выше, статья Дирихле, похоже, включает определение, аналогичное тому, что ему обычно приписывают, хотя (как и Лобачевский) он формулирует его только для непрерывных функций действительной переменной.

Точно так же Лавин отмечает, что:

Вопрос о том, сколько похвалы Дирихле заслуживает современному определению функции, является предметом споров, отчасти потому, что он ограничил свое определение непрерывными функциями ... Я считаю, что Дирихле определил понятие функции непрерывный функция, чтобы прояснить, что никаких правил или законов не требуется даже в случае непрерывных функций, а не только в целом. Это заслуживает особого внимания из-за теории Эйлера. определение непрерывной функции, заданной одним выражением или законом. Но я также сомневаюсь, что есть достаточные доказательства для разрешения спора.^[31]

Поскольку Лобачевский и Дирихле считались одними из первых, кто ввел понятие произвольного соответствия, это понятие иногда называют определением функции Дирихле или Лобачевского-Дирихле.^[32] Общая версия этого определения была позже использована Бурбаки (1939), и некоторые в образовательном сообществе называют это определением функции "Дирихле-Бурбаки".

Дедекинд

Дьедонне, который был одним из основателей группы Бурбаки, считает точное и общее современное определение функции Дедекинд в его работеБыл sind und was sollen die Zahlen,^[33] который появился в 1888 году, но уже был разработан в 1878 году. Дьедонне отмечает, что вместо того, чтобы ограничиваться, как в предыдущих концепциях, реальными (или сложными) функциями, Дедекинд определяет функцию как однозначное отображение между любыми двумя наборами:

Новым и важным для всей математики была совершенно общая концепция функция.^[34]

Харди

Харди 1908, pp. 26–28 определила функцию как отношение между двумя переменными. Икс и у такие, что "до некоторых значений Икс во всяком случае соответствуют значениям у. "Он также не потребовал, чтобы функция определялась для всех значений Икс ни связать каждое значение Икс к единственному значениюу. Это широкое определение функции включает в себя больше отношений, чем обычно считается функциями в современной математике. Например, определение Харди включает многозначные функции и что в теория вычислимости называются частичные функции.

«Функция» логика до 1850 г.

Логики этого времени были в основном связаны с анализом силлогизмы (аристотелевские формы 2000-летней давности и другие), или как Огастес Де Морган (1847) заявил об этом: «исследование той части рассуждения, которая зависит от того, как формируются умозаключения, и исследование общих принципов и правил построения аргументов».^[35] В настоящее время понятие (логической) «функции» не является явным, но, по крайней мере, в работах Де Моргана и Джордж Буль это подразумевается: мы видим абстракцию форм аргумента, введение переменных, введение символической алгебры по отношению к этим переменным и некоторые понятия теории множеств.

В работе Де Моргана 1847 г. «ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА ИЛИ, Исчисление вывода, необходимого и вероятного» отмечается, что «[a] логическая правда зависит от структура заявления, а не на конкретных предметах, о которых говорится "; он не теряет времени (предисловие, страница i), абстрагируя:" В форме предложения связка сделана столь же абстрактной, как и термины ". Он немедленно (стр. 1) отбрасывает то, что он называет «суждение» (современные пропозициональные функция или же связь) в такую ​​форму, как "X is Y", где символы X, "is" и Y представляют, соответственно, предмет, связка, и предикат. Хотя слово «функция» не появляется, понятие «абстракция» присутствует, «переменные» присутствуют, понятие включения в его символику «все Δ находится в О» (стр. 9) присутствует, и, наконец, новый символизм для логического анализа понятия «отношение» (он использует слово в отношении этого примера «X) Y» (стр. 75)):

"А₁ X) Y Чтобы взять X, необходимо взять Y »[или Чтобы быть X, необходимо быть Y]

"А¹ Y) X Чтобы взять Y, достаточно взять X "[или Чтобы быть Y, достаточно быть X] и т. Д.

В его 1848 г. Природа логики Буль утверждает, что «логика ... является в более особом смысле наукой о рассуждении с помощью знаков», и кратко обсуждает понятия «принадлежность к» и «классу»: «Человек может обладать большим разнообразием атрибутов и, следовательно, принадлежат к великому множеству различных классов ".^[36] Как и Де Морган, он использует понятие «переменной», извлеченное из анализа; он приводит пример "представления классовых быков Икс и лошадей у и соединение и знаком +. . . мы могли бы представить совокупный класс быков и лошадей как Икс + у".^[37]

В контексте «Дифференциального исчисления» Бул определил (около 1849 г.) понятие функции следующим образом:

"Та величина, вариация которой однородна ... называется независимой переменной. Та величина, вариация которой относится к вариации первой, называется независимой переменной. функция этого. Дифференциальное исчисление позволяет нам в каждом случае перейти от функции к пределу. Это происходит с помощью определенной операции. Но в самой идее Операция есть. . . идея обратной операции. Выполнение этой обратной операции в данном случае является делом Int [egral] Calculus ».^[38]

«Функция» логиков 1850–1950 гг.

Евс замечает, «что логики пытались еще больше снизить начальный уровень дефиниционного развития математики и вывести теорию математики. наборы, или же классы, на основе логики предложений и пропозициональных функций ».^[39] Но к концу XIX века в исследованиях логиков основ математики произошел серьезный раскол. Направление первой группы, Логики, наверное, лучше всего резюмировал Бертран Рассел1903 - «выполнить две задачи: во-первых, показать, что вся математика следует из символической логики, и, во-вторых, раскрыть, насколько это возможно, принципы самой символической логики».

Вторая группа логиков, теоретиков множеств, возникла с Георг Кантор "теории множеств" (1870–1890), но были продвинуты частично в результате открытия Расселом парадокса, который мог быть выведен из концепции "функции" Фреге, но также как реакция на предложенное Расселом решение.^[40] Цермело теоретико-множественным ответом был его 1908 г. Исследования по основам теории множеств I - первый аксиоматическая теория множеств; Здесь тоже играет роль понятие «пропозициональная функция».

Джорджа Буля Законы мысли 1854; Джона Венна Символическая логика 1881

В его Исследование законов мысли Boole теперь определяет функцию в терминах символа Икс следующее:

"8. Определение. - Любое алгебраическое выражение, содержащее символ. Икс называется функцией Икс, и может быть представлен сокращенной формой ж(Икс)"^[41]

Boole затем использовал алгебраический выражения для определения как алгебраических, так и логичный понятия, например, 1 -Икс логическое НЕ (Икс), ху является логическим И (Икс,у), Икс + у является логическим ИЛИ (Икс, у), Икс(Икс + у) является хх + ху, и "особый закон" хх = Икс² = Икс.^[42]

В его 1881 г. Символическая логика Венн использовал слова «логическая функция» и современный символизм (Икс = ж(у), у = ж⁻¹(Икс), см. стр. xxi) плюс круговые диаграммы, исторически связанные с Venn для описания "классовых отношений",^[43] понятия «количественная оценка» нашего предиката »,« предложения в отношении их расширения »,« отношение включения и исключения двух классов друг к другу »и« пропозициональная функция »(все на стр. 10), черта переменная для обозначения не-Икс (стр. 43) и т. д. Действительно, он недвусмысленно отождествлял понятие «логическая функция» с «классом» [современный «набор»]: «... согласно точке зрения, принятой в этой книге, ж(Икс) никогда не означает ничего, кроме логического класса. Это может быть составной класс, состоящий из множества простых классов; это может быть класс, обозначенный некоторыми обратными логическими операциями, он может состоять из двух групп классов, равных друг другу, или, что то же самое, их разность объявлена ​​равной нулю, то есть логическим уравнением. Но как бы сложен он ни был, ж(Икс) для нас никогда не будет ничем иным, как общим выражением для таких логических классов вещей, которые вполне могут найти место в обычной логике ».^[44]

Фреге Begriffsschrift 1879

Готтлоб Фреге с Begriffsschrift (1879) предшествовал Джузеппе Пеано (1889), но Пеано ничего не знал о Фреге 1879 г. ошибка harvnb: несколько целей (2 ×): CITEREFFrege1879 (помощь) пока он не опубликовал свой 1889 год.^[45] Оба писателя сильно повлияли на Рассел (1903). Рассел, в свою очередь, повлиял на большую часть математики и логики 20-го века через его Principia Mathematica (1913) в соавторстве с Альфред Норт Уайтхед.

С самого начала Фреге отказывается от традиционных концепций предмет и предикат", заменив их на аргумент и функция соответственно, что, по его мнению, «выдержит испытание временем. Легко увидеть, как рассмотрение содержания как функции аргумента приводит к формированию концепций. Более того, демонстрация связи между значениями слов если, и, нет, или, есть, некоторые, все, и так далее, заслуживает внимания ".^[46]

Фреге начинает свое обсуждение «функции» с примера: Начните с выражения^[47] «Водород легче углекислого газа». Теперь удалите знак водорода (т.е. слово "водород") и замените его знаком кислорода (т.е. словом "кислород"); это делает второе заявление. Сделайте это еще раз (используя любое из утверждений) и замените знак азота (т.е. слово «азот») и обратите внимание, что «это изменяет значение таким образом, что« кислород »или« азот »входят в отношения, в которых« водород «стоял раньше».^[48] Есть три утверждения:

• «Водород легче углекислого газа».
• «Кислород легче углекислого газа».
• «Азот легче углекислого газа».

Теперь обратите внимание на все три «стабильного компонента, представляющего совокупность [отношений]»;^[49] назови это функция, т.е.

«... легче углекислого газа» - вот функция.

Фреге называет аргумент функции «[t] он знак [например, водород, кислород или азот], рассматриваемый как заменяемый другими, которые обозначают объект, стоящий в этих отношениях».^[50] Он отмечает, что мы могли бы получить функцию как «Водород легче, чем ...», также с аргументом в позиции верно; точное наблюдение сделал Пеано (подробнее см. ниже). Наконец, Фреге учитывает случай двух (или более) аргументов. Например, удалите «углекислый газ», чтобы получить инвариантную часть (функцию) как:

• "... легче, чем ..."

Функция с одним аргументом Фреге обобщается в форме Φ (A), где A - аргумент, а Φ () - функция, тогда как функцию с двумя аргументами он символизирует как Ψ (A, B) с аргументами A и B и Ψ (,) функция и предупреждает, что «в общем случае Ψ (A, B) отличается от Ψ (B, A)». Используя свой уникальный символизм, он переводит читателю следующий символизм:

«Мы можем читать | --- Φ (A) как« A обладает свойством Φ. | --- Ψ (A, B) можно перевести как «B стоит в отношении Ψ к A» или «B является результатом применения процедуры Ψ к объекту A».^[51]

Пеано Принципы арифметики 1889

Пеано определил понятие «функция» примерно так же, как Фреге, но без точности.^[52] Сначала Пеано определяет знак «K означает учебный класс, или совокупность объектов ",^[53] объекты которого удовлетворяют трем простым условиям равенства,^[54] а = а, (а = б) = (б = а), ЕСЛИ ((а = б) И (б = c)) ТОГДА (а = c). Затем он вводит φ, знак или совокупность знаков, таких что если Икс это объект класса s, выражение φИкс обозначает новый объект ". Пеано добавляет к этим новым объектам два условия: во-первых, выполнение трех условий равенства для объектов φИкс; во-вторых, что "если Икс и у являются объектами класса s и если Икс = у, мы предполагаем, что можно вывести φИкс = φу".^[55] Если все эти условия выполнены, φ является «предварительным знаком функции». Точно так же он определяет «служебный знак». Например, если φ это функция preign а+, то φИкс дает а+Икс, или если φ функция postign +а тогда Иксφ дает Икс+а.^[54]

Бертрана Рассела Принципы математики 1903

Хотя влияние Кантора и Пеано было огромным,^[56] в Приложении А «Логические и арифметические доктрины Фреге» Принципы математики Рассел приходит к обсуждению концепции Фреге функция, «... пункт, в котором работа Фреге очень важна и требует тщательного изучения».^[57] В ответ на его обмен письмами с Фреге в 1902 году о противоречии, обнаруженном им в книге Фреге. Begriffsschrift Рассел добавил к этому разделу в последний момент.

Для Рассела сбивает с толку понятие «переменной»: «6. Математические предложения характеризуются не только тем, что они утверждают импликации, но и тем, что они содержат переменные. Понятие переменной - одно из самых сложных, с которыми приходится иметь дело логике. А пока я открыто хочу прояснить, что переменные есть во всех математических предложениях, даже там, где на первый взгляд они могут показаться отсутствующими. . . . Мы всегда найдем во всех математических предложениях, что слова любой или же немного происходить; и эти слова являются знаками переменной и формальным подтекстом ".^[58]

По выражению Рассела, «процесс преобразования констант в предложении в переменные приводит к тому, что называется обобщением, и дает нам как бы формальную сущность предложения ... Пока любой термин в нашем предложении может быть обращен в переменную, наше предложение может быть обобщено, и пока это возможно, это дело математики »;^[59] эти обобщения Рассел назвал пропозициональные функции".^[60] На самом деле он цитирует и цитирует Фреге Begriffsschrift и представляет собой яркий пример из работы Фреге 1891 г. Функция и побуждение: Вот "суть арифметической функции 2Икс³ + Икс это то, что осталось, когда Икс убирается, т.е. в приведенном выше примере 2 ()³ + (). Аргумент Икс не относится к функции, но оба вместе составляют единое целое ".^[57] Рассел согласился с понятием «функция» Фреге в одном смысле: «Он рассматривает функции - и в этом я с ним согласен - как более фундаментальные, чем предикаты и отношения», но Рассел отверг «теорию субъекта и утверждения» Фреге, в частности «он думает, что если срок а встречается в предложении, предложение всегда можно проанализировать в а и утверждение о а".^[57]

Эволюция идеи Рассела о «функции» 1908–1913 гг.

Рассел продолжит свои идеи в книге 1908 года. Математико-логический на основе теории типов и в его и Уайтхеде 1910–1913 гг. Principia Mathematica. Ко времени Principia Mathematica Рассел, как и Фреге, считал пропозициональную функцию фундаментальной: «Пропозициональные функции - это фундаментальный вид, из которого более обычные виды функций, такие как« sin Икс"или журнал Икс или "отец Икс«являются производными. Эти производные функции ... называются« описательными функциями ». Функции предложений ... являются частным случаем пропозициональных функций».^[61]

Пропозициональные функции: Поскольку его терминология отличается от современной, читатель может быть сбит с толку «пропозициональной функцией» Рассела. Пример может помочь. Рассел пишет пропозициональная функция в необработанном виде, например, как φŷ: "ŷ больно ". (Обратите внимание на циркумфлекс или" шляпу "над переменной у). В нашем примере мы присвоим переменной всего 4 значения ŷ: "Боб", "Эта птица", "Кролик Эмили" и "у". Замена одного из этих значений на переменную ŷ дает предложение; это предложение называется «значением» пропозициональной функции. В нашем примере есть четыре значения пропозициональной функции, например, «Боб ранен», «Эта птица ранена», «Кролик Эмили ранен» и «у больно. "Предложение, если оно существенный- т.е., если это правда определенный-имеет истинность из правда или же фальшь. Если значение истинности предложения - "истина", то говорят, что значение переменной удовлетворить пропозициональная функция. Наконец, согласно определению Рассела, "a учебный класс [множество] - это все объекты, удовлетворяющие некоторой пропозициональной функции »(стр. 23). Обратите внимание на слово« все »- так современные понятия« Для всех »и« существует хотя бы один экземпляр »входят в трактовку ( стр.15).

Продолжая пример: предположим, что (вне математики / логики) кто-то определяет, что утверждения «Боб ранен» имеют значение истинности «ложь», «Эта птица ранена» имеет значение истинности «истина», «Эмили кролик ранен "имеет неопределенное истинное значение, потому что" кролик Эмили "не существует, и"у обижен "неоднозначен относительно его истинности, потому что аргумент у сам по себе неоднозначный. Хотя два утверждения «Боб ранен» и «Эта птица ранен» являются существенный (оба имеют значения истинности), только значение "Эта птица" Переменная ŷ удовлетворяет пропозициональная функция φŷ: "ŷ больно ". Когда кто-то переходит в класс α: φŷ: "ŷ ранен ", включается только" Эта птица ", учитывая четыре значения" Боб "," Эта птица "," Кролик Эмили "и"у"для переменной ŷ и соответствующие им истинностные ценности: ложность, истина, неопределенность, двусмысленность.

Рассел определяет функции предложений с аргументами, и функции истинности ж(п).^[62] Например, предположим, что нужно было сформировать «функцию предложений с аргументами» п₁: "НЕТ(п) И q"и присвоить его переменным значения п: "Боб ранен" и q: «Эта птица ранена». (Мы ограничены логическими связями НЕ, И, ИЛИ и ПОДРАЗУМЕВАЕТСЯ, и мы можем присвоить переменным только «значимые» утверждения. п и q). Тогда «функция предложений с аргументами» есть п₁: NOT («Боб ранен») И «Эта птица ранена». Чтобы определить значение истинности этой «функции утверждений с аргументами», мы отправляем ее в «функцию истинности», например, ж(п₁): ж(НЕ («Боб ранен») И «Эта птица ранен»), что дает истинное значение «истина».

Понятие функционального отношения "многие-одно": Рассел сначала обсуждает понятие «идентичность», затем определяет описательная функция (стр. 30ff) как уникальный ценить ιx который удовлетворяет пропозициональной функции (с двумя переменными) (т. е. "отношения") φŷ.

N.B. Здесь следует предупредить читателя, что порядок переменных обратный! у - независимая переменная и Икс зависимая переменная, например, Икс = грех (у).^[63]

Рассел символизирует описательную функцию как «объект, стоящий по отношению к у": R'y =_DEF (ιx)(x R y). Рассел повторяет это "R'y является функцией у, но не пропозициональная функция [sic]; мы назовем это описательный функция. Таковы все обычные функции математики. Таким образом, в наших обозначениях «греху"будет написано" грех 'y ", и" грех "будет означать грех 'у должен у".^[64]

«Функция» формалиста: аксиоматизация математики Дэвидом Гильбертом (1904–1927)

Дэвид Гильберт поставил перед собой цель "формализовать" классическую математику "как формальную аксиоматическую теорию, и эта теория должна быть доказана последовательный, т.е. без противоречий ".^[65] В Гильберт 1927 Основы математики он формулирует понятие функции в терминах существования «объекта»:

13. A (a) -> A (ε (A)) Здесь ε (A) обозначает объект, для которого утверждение A (a) безусловно верно, если оно верно для любого объекта; назовем е логической е-функцией ».^[66] [Стрелка указывает «подразумевает».]

Затем Гильберт иллюстрирует три способа использования ε-функции, во-первых, как понятия «для всех» и «существует», во-вторых, для представления «объекта, которого [утверждение] имеет место», и, наконец, как преобразовать это в функция выбора.

Теория рекурсии и вычислимость: Но неожиданный результат Гильберта и его ученика Бернейс усилия были неудачными; видеть Теоремы Гёделя о неполноте 1931 г. Примерно в то же время, пытаясь решить уравнение Гильберта Entscheidungsproblem, математики приступили к определению того, что подразумевается под «эффективно вычислимой функцией» (Церковь Алонсо 1936), то есть «действенный метод» или «алгоритм ", то есть явная, пошаговая процедура, которая позволила бы успешно вычислить функцию. В быстрой последовательности появились различные модели алгоритмов, в том числе модель Черча. лямбда-исчисление (1936), Стивен Клини с μ-рекурсивные функции (1936) и Алан Тьюринг (1936–197) о замене человеческих «компьютеров» полностью механическими «вычислительными машинами» (см. Машины Тьюринга ). Было показано, что все эти модели могут вычислять один и тот же класс вычислимые функции. Тезис Чёрча считается, что этот класс функций исчерпывает все теоретико-числовые функции который может быть рассчитан с помощью алгоритма. Результатом этих усилий стала яркая демонстрация того, что, по словам Тьюринга, «не может быть общего процесса для определения того, является ли данная формула U функционального исчисления K [Principia Mathematica] доказуемо ";^[67] увидеть больше на Независимость (математическая логика) и Теория вычислимости.

Развитие теоретико-множественного определения «функции».

Теория множеств началась с работы логиков, например, с понятия «класс» (современный «набор»). Де Морган (1847), Джевонс (1880), Венн (1881), Фреге (1879) Ошибка harvtxt: несколько целей (2 ×): CITEREFFrege1879 (помощь) и Пеано (1889). Это было сделано Георг Кантор попытка определить бесконечное в теоретико-множественном рассмотрении (1870–1890) и последующее открытие антиномия (противоречие, парадокс) в этой трактовке (Парадокс Кантора ), благодаря открытию Расселом (1902) антиномии у Фреге 1879 года (Парадокс Рассела ), открыв новые антиномии в начале 20 века (например, 1897 г. Парадокс Бурали-Форти и 1905 г. Ричард парадокс ), и сопротивлением сложному подходу Рассела к логике.^[68] и неприязнь к нему аксиома сводимости^[69] (1908, 1910–1913), которую он предложил как средство уклонения от антиномий.

Парадокс Рассела 1902

В 1902 году Рассел отправил Фреге письмо, в котором указывал, что Фреге 1879 г. Begriffsschrift позволяет функции быть аргументом самой себя: «С другой стороны, может также быть, что аргумент является определенным, а функция - неопределенной ...»^[70] Из этой неограниченной ситуации Рассел смог сформировать парадокс:

«Вы утверждаете ... что функция тоже может действовать как неопределенный элемент. Раньше я так считал, но теперь эта точка зрения кажется мне сомнительной из-за следующего противоречия. ш быть предикатом: быть предикатом, который не может быть предикатом сам по себе. Может ш быть основанным на себе? "^[71]

Фреге сразу же ответил: «Ваше открытие противоречия вызвало у меня величайшее удивление и, я бы сказал, ужас, поскольку оно пошатнуло основу, на которой я намеревался строить арифметику».^[72]

С этого момента дальнейшее развитие основ математики стало упражнением в том, как избежать «парадокса Рассела», сформулированного в «голых [теоретико-множественных] понятиях множества и элемента».^[73]

Теория множеств Цермело (1908 г.) в модификации Сколема (1922 г.)

Понятие «функция» появляется как аксиома III Цермело - Аксиома разделения (Axiom der Aussonderung). Эта аксиома вынуждает нас использовать пропозициональную функцию Φ (Икс) "отделить" подмножество M_Φ из заранее сформированного набора M:

«АКСИОМА III. (Аксиома разделения). Когда пропозициональная функция Φ (Икс) определен для всех элементов множества M, M обладает подмножеством M_Φ содержащие в качестве элементов именно те элементы Икс из M для которого Φ (Икс) правда".^[74]

Поскольку нет универсальный набор - множества происходят посредством Аксиомы II из элементов (не множества) домен B - «... это избавляет нас от антиномии Рассела».^[75] Но «определенный критерий» Цермело неточен и фиксируется Weyl, Fraenkel, Сколем, и фон Нейман.^[76]

Фактически Сколем в своем 1922 году назвал этот «определенный критерий» или «свойство» «определенным утверждением»:

"... конечное выражение, построенное из элементарных предложений вида а ε б или же а = б с помощью пяти операций [логическое соединение, дизъюнкция, отрицание, универсальное количественное определение и экзистенциальное количественное определение].^[77]

van Heijenoort резюмирует:

"Свойство определенно в смысле Сколема, если оно выражается ... правильно сформированная формула в простом исчисление предикатов первого порядка, в котором единственными предикатными константами являются ε и, возможно, =. ... Сегодня аксиоматизация теории множеств обычно включается в логическое исчисление, и обычно принят подход Вейля и Сколема к формулировке аксиомы разделения.^[78]

В этой цитате читатель может заметить сдвиг в терминологии: нигде не упоминается понятие «пропозициональная функция», вместо этого встречаются слова «формула», «исчисление предикатов», «предикат» и «логическое исчисление». Этот сдвиг в терминологии более подробно обсуждается в разделе, посвященном «функции» в современной теории множеств.

Определение «упорядоченной пары» Винера – Хаусдорфа – Куратовского 1914–1921 гг.

История понятия "упорядоченная пара "неясно. Как отмечалось выше, Фреге (1879) предложил интуитивный порядок в своем определении функции двух аргументов Ψ (A, B). Норберт Винер в своем 1914 г. (см. ниже) замечает, что его собственное лечение по существу "возвращается (и) к Шредера трактовка отношения как класса упорядоченных пар ».^[79] Рассел (1903) рассмотрел определение отношения (например, Ψ (A, B)) как «класс пар», но отклонил его:

«Существует соблазн рассматривать отношение как определяемое в расширении как класс пар. Это формальное преимущество, заключающееся в том, что оно позволяет избежать необходимости в примитивном утверждении, утверждающем, что каждая пара имеет отношение, поддерживаемое никакими другими парами терминов. Но оно необходимо придать смысл паре, выделить референт [домен] от relatum [обратный домен]: таким образом, пара становится существенно отличной от класса двух терминов и сама должна быть представлена ​​как примитивная идея. . . . Поэтому кажется более правильным взглянуть на отношения интенсионально и отождествлять их скорее с концепциями классов, чем с классами ".^[80]

К 1910–1913 гг. И Principia Mathematica Рассел отказался от требования содержательный определение отношения, в котором говорится, что «математика всегда занимается расширениями, а не интенсионалами» и «отношения, как и классы, следует рассматривать в расширение".^[81] Чтобы продемонстрировать понятие отношения в расширение Рассел теперь принял понятие заказанная пара: "Мы можем рассматривать отношение ... как класс пар ... отношение, определяемое φ (х, у) - класс пар (х, у), для которого φ (х, у) правда".^[82] В сноске он разъяснил свое понятие и пришел к такому определению:

"У такой пары есть смысл, т.е. пара (х, у) отличается от пары (у, х) пока не Икс = у. Мы будем называть это «парой со смыслом» ... его также можно назвать заказанная пара. ^[82]

Но он продолжает говорить, что не будет вводить упорядоченные пары дальше в свое «символическое обращение»; он предлагает вместо них свою «матрицу» и свою непопулярную аксиому сводимости.

Попытка решить проблему антиномии побудил Рассела предложить свою «доктрину типов» в приложении B к его книге 1903 г. Принципы математики.^[83] Через несколько лет он уточнил это понятие и в своем 1908 г. Теория типов два аксиомы сводимости, целью которых было приведение (с одной переменной) пропозициональных функций и (с двумя переменными) отношений к «низшей» форме (и, в конечном итоге, к полностью экстенсиональный форма); он и Альфред Норт Уайтхед перенесет это лечение на Principia Mathematica 1910–1913 гг. С дальнейшим уточнением, получившим название «матрица».^[84] Первая аксиома * 12.1; второй * 12.11. По словам Винера, вторая аксиома * 12.11 «задействована только в теории отношений».^[85] Обе аксиомы, однако, были встречены скептицизмом и сопротивлением; увидеть больше на Аксиома сводимости. К 1914 году Норберт Винер, используя символизм Уайтхеда и Рассела, устранил аксиому * 12.11 («двухвариантную» (реляционную) версию аксиомы сводимости), выразив отношение как упорядоченную пару с использованием нулевого множества. Примерно в то же время Хаусдорф (1914, с. 32) дал определение упорядоченной пары (а, б) в качестве {{а,1}, {б, 2}}. Несколькими годами позже Куратовски (1921) предложил определение, которое с тех пор широко используется, а именно {{а, б}, {а}}".^[86] Как отмечает Суппес (1960) «Это определение ... имело историческое значение для сведения теории отношений к теории множеств.^[87]

Заметим, что, хотя Винер "привел" реляционную форму аксиомы сводимости * 12.11, он не уменьшить или иначе изменить форму пропозициональной функции * 12.1; действительно, он заявил, что это «необходимо для обращения с идентичностью, описаниями, классами и отношениями».^[88]

Шенфинкельское понятие «функции» как «соответствия» многих единиц 1924 г.

Где именно Общее понятие «функция» как соответствие множеству единиц неясно. Рассел в его 1920 году Введение в математическую философию утверждает, что «Следует отметить, что все математические функции образуют отношения один-много [sic - современное употребление - много-один] ... Функции в этом смысле являются описательный функции ".^[89] Разумной возможностью является Principia Mathematica понятие «описательная функция» - R 'y =_DEF (ιИкс)(x R y): "особый объект, имеющий отношение р к у". Как бы то ни было, к 1924 году Моисей Шёнфинкель выразил идею, заявив, что она "хорошо известна":

"Как хорошо известно, под функцией мы понимаем в простейшем случае соответствие между элементами некоторой области величин, области аргументов и элементами области значений функции ... таким образом, что каждому значению аргумента соответствует самое большее одно значение функции ».^[90]

В соответствии с Уиллард Куайн, Шенфинкель 1924 г. «обеспечивают [s] для ... всего размаха абстрактной теории множеств. Суть дела в том, что Шёнфинкель позволяет функциям выступать в качестве аргументов. Для Шёнфинкеля, по существу, как и для Фреге, классы - это особый вид функций. , функции, значения которых являются значениями истинности. Все функции, пропозициональные и прочие, относятся к одноместным функциям Шенфинкеля ".^[91] Примечательно, что Шенфинкель сводит всю математику к чрезвычайно компактному функциональное исчисление состоит всего из трех функций: постоянства, слияния (т. е. композиции) и взаимной исключительности. Куайн отмечает, что Хаскелл Карри (1958) продолжили эту работу "под руководством комбинаторная логика ".^[92]

Теория множеств фон Неймана 1925 г.

К 1925 г. Авраам Френкель (1922) и Торальф Сколем (1922) внес поправки в теорию множеств Цермело 1908 года. Но фон Нейман не был убежден, что эта аксиоматизация не может привести к антиномиям.^[93] Поэтому он предложил свою теорию, свою теорию 1925 г. Аксиоматизация теории множеств.^[94] Он явно содержит «современную» теоретико-множественную версию понятия «функция»:

«[В отличие от теории множеств Цермело] [мы] мы предпочитаем, однако, аксиоматизировать не« множество », а« функцию ». Последнее понятие, безусловно, включает первое. (Точнее, эти два понятия полностью эквивалентны, поскольку функция может быть рассматривается как набор пар, а набор как функция, которая может принимать два значения.) ".^[95]

Вначале он начинает с I-объекты и II-объекты, два объекта А и B которые являются I-объектами (первая аксиома), и два типа «операций», которые предполагают упорядочение как структурное свойство^[96] полученные из результирующих объектов [Икс, у] и (Икс, у). Две «области объектов» называются «аргументами» (I-объекты) и «функциями» (II-объекты); где они перекрываются, - это «функции аргументов» (он называет их объектами I-II). Он вводит две «универсальные операции с двумя переменными» - (i) операцию [Икс, у]: "... прочтите 'значение функции Икс для аргумента у . . . он сам является объектом типа I ", и (ii) операция (Икс, у): ".... (прочтите 'заказанную пару Икс, y '), переменные которого Икс и у оба должны быть аргументами, и это само по себе порождает аргумент (Икс, у). Его важнейшее свойство - то, что Икс₁ = Икс₂ и у₁ = у₂ следовать из (Икс₁ = у₂) = (Икс₂ = у₂) ". Для пояснения пары функций он отмечает, что" Вместо ж(Икс) мы пишем [f, x], чтобы указать, что ж, как Икс, следует рассматривать как переменную в этой процедуре ». Чтобы избежать« антиномий наивной теории множеств, в первую очередь у Рассела. . . мы должны отказаться от рассмотрения некоторых функций как аргументов ".^[97] Он заимствует идею Цермело, чтобы ограничить эти «определенные функции».^[98]

Suppes^[99] отмечает, что аксиоматизация фон Неймана была модифицирована Бернейсом «для того, чтобы оставаться ближе к исходной системе Цермело ... Он ввел два отношения принадлежности: одно между множествами и одно между множествами и классами». Затем Гёдель [1940]^[100] далее модифицировал теорию: «его примитивные понятия - это понятия множества, класса и принадлежности (хотя одного членства достаточно)».^[101] Эта аксиоматизация теперь известна как теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя.

Бурбаки 1939

В 1939 г. Бурбаки, в дополнение к хорошо известному определению функции упорядоченной парой как некоторого подмножества декартово произведение E × F, дал следующее:

"Позволять E и F быть двумя наборами, которые могут быть или не быть различными. Связь между переменным элементом Икс из E и переменный элемент у из F называется функциональным отношением в у если для всех Икс ∈ E, существует единственный у ∈ F которое находится в данной связи с Икс. Мы даем имя функции операции, которая таким образом ассоциируется с каждым элементом. Икс ∈ E элемент у ∈ F которое находится в данной связи с Икс, а функция определяется заданным функциональным соотношением. Два эквивалентных функциональных отношения определяют одну и ту же функцию ».

С 1950 г.

Понятие «функция» в современной теории множеств

Аксиоматические и наивные формы теории множеств Цермело в модификации Френкеля (1922) и Сколема (1922). определять "функция" как отношение, определять отношение как набор упорядоченных пар, и определять упорядоченная пара как набор двух «несимметричных» множеств.

Пока читатель Суппес (1960) Аксиоматическая теория множеств или же Халмос (1970) Наивная теория множеств отмечает использование функционального символизма в аксиома разделения, например, φ (Икс) (в Suppes) и S (Икс) (в Халмосе) они не увидят упоминания о «пропозиции» или даже о «исчислении предикатов первого порядка». На их место "выражения объектного языка »,« атомарные формулы »,« примитивные формулы »и« атомарные предложения ».

Клини (1952) определяет слова следующим образом: «В языках слов предложение выражается предложением. Тогда« предикат »выражается неполным предложением или скелетом предложения, содержащим открытое место. Например,« ___ is a man »выражает сказуемое ... Предикат - это пропозициональная функция одной переменной. Предикаты часто называют «свойствами» ... Исчисление предикатов будет трактовать логику предикатов в этом общем смысле слова «предикат», то есть как пропозициональную функцию ».^[102]

В 1954 году Бурбаки на с. 76 в главе II Theorie des Ensembles (теории множеств), дал определение функции как тройной ж = (F, А, B).^[103] Здесь F это функциональный график, что означает набор пар, в котором нет двух пар, которые имеют одинаковый первый член. На стр. 77 (op. соч.) Бурбаки утверждает (дословный перевод): «Часто в оставшейся части этого Трактата мы будем использовать слово функция вместо функциональный график."

Суппес (1960) в Аксиоматическая теория множеств, формально определяет связь (стр.57) как набор пар, а функция (стр. 86) как отношение, в котором нет двух пар, имеющих одинаковый первый член.

Реляционная форма функции

Причина исчезновения слов «пропозициональная функция», например, в Суппес (1960), и Халмос (1970), объясняется Тарский (1946) вместе с дальнейшим объяснением терминологии:

"Такое выражение, как x - целое число, который содержит переменные и при замене этих переменных константами становится предложением, называется СЕНЦИАЛЬНОЙ [то есть пропозициональной функцией его индекса]. Но математики, кстати, не очень любят это выражение, потому что они используют термин «функция» в другом значении. ... сентенциальные функции и предложения, полностью состоящие из математических символов (а не слов повседневного языка), например: Икс + у = 5 математики обычно называют ФОРМУЛАМИ. Вместо «смысловой функции» мы иногда будем просто говорить «предложение» - но только в тех случаях, когда нет опасности какого-либо недопонимания ».^[104]

Со своей стороны Тарский называет реляционную форму функции «ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СВЯЗЬ или просто ФУНКЦИЯ».^[105] После обсуждения этой «функциональной связи» он утверждает, что:

«Концепция функции, которую мы сейчас рассматриваем, существенно отличается от концепций сентенционального [пропозиционального] и обозначающей функции ... Строго говоря ... [они] не относятся к области логики или математики; они обозначают определенные категории выражений, которые служат для составления логических и математических утверждений, но они не обозначают вещи, о которых говорится в этих утверждениях ... Термин "функция" в его новом смысле, с другой стороны, является выражением некоторого чисто логический характер; он обозначает определенный тип вещей, изучаемых в логике и математике ».^[106]

Подробнее о «истине под толкованием» см. Альфред Тарский.

Примечания

Рекомендации

• Буль, Джордж (1854). Исследование законов мысли, на которых основаны законы мысли и вероятностей. Уолтон и Марберли.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Де Морган, Август (1847). Формальная логика, или исчисление вывода, необходимое и вероятное. Уолтон и Марберли.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Дедекинд, Ричард; Погожельский, H .; Райан, В .; Снайдер, В. (1995). Что такое числа и что они должны быть?. Научно-исследовательский институт математики.
• Дьедонне, Жан (1992). Математика - Музыка разума. Springer-Verlag.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Дирихле, Г. П. Лежен (1889). Gesammelte Werke, Bd. Я. Берлин. ISBN  9780828402255.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Эдвардс, Гарольд М. (2007). «Эйлеровское определение производной». Бюллетень Американского математического общества. 44 (4): 575–580. Дои:10.1090 / s0273-0979-07-01174-3. МИСТЕР  2338366.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Эйлер, Леонард (1988). Введение в анализ бесконечного. Книга I. Springer-Verlag.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Эйлер, Леонард (2000). Основы дифференциального исчисления. Springer-Verlag.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Евс, Ховард (1990). Основы и фундаментальные понятия математики (3-е изд.). Дувр. ISBN  0-486-69609-X.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Фурье, Жозеф (1822). Теория аналитик де ла шалёр. Париж: Фирмен Дидо Пер и Филс.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Граттан-Гиннесс, Айвор; Борне, Жерар (1997). Джордж Буль: Избранные рукописи по логике и ее философии. Springer-Verlag. ISBN  3-7643-5456-9.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Халмос, Пол (1970). Наивная теория множеств. Нью-Йорк, Спрингер-Верлаг. ISBN  9780387900926.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Харди, Годфри Гарольд (1908). Курс чистой математики. Издательство Кембриджского университета (опубликовано в 1993 г.). ISBN  978-0-521-09227-2.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Клини, Стивен Коул (1952). Введение в метаматематику. Северная Голландия (опубликовано в 1971 г.). ISBN  978-0-7204-2103-3.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Лавин, Шауган (1994). Понимание бесконечного. Издательство Гарвардского университета.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Лобачевский Николай (1951). Работает. Москва-Ленинград.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Лузин, Н. (1998). «Функция: Часть II». Американский математический ежемесячник. 105 (3): 263–270. Дои:10.2307/2589085. JSTOR  2589085.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Медведев, Федор А. (1991). Сцены из истории реальных функций. Бирхаузер.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Понте, Жуан Педро (1992). «История концепции функции и некоторые образовательные значения». Педагог математики. 3 (2): 3–8.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Рассел, Бертран (1903). Принципы математики. Издательство Кембриджского университета.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Рассел, Бертран (1920). Введение в математическую философию (2-е изд.). Дувр. ISBN  0-486-27724-0.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Smithies, Фрэнк (1997). Коши и создание теории сложных функций. Издательство Кембриджского университета.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Суппес, Патрик (1960). Аксиоматическая теория множеств (Изд. 1972 г.). Дувр. ISBN  0-486-61630-4.CS1 maint: ref = harv (связь) ср. его Глава 1 Введение.
• Тарский, Альфред (1946). Введение в логику и методологию дедуктивных наук (Изд. 1995 г.). Курьер Дувр. ISBN  0-486-28462-X.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Венн, Джон (1881). Символическая логика. Макмиллан.CS1 maint: ref = harv (связь)
• ван Хейеноорт, Жан (1976) [1967]. От Фреге до Геделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 гг. (3-е изд.). Издательство Гарвардского университета. ISBN  0-674-32449-8.
  • ——; Фреге, Готлоб (1967) [1879]. "Фреге (1879) Begriffsschrift, язык формул, созданный по образцу арифметики, для чистой мысли.". там же. С. 1–82. С комментарием ван Хейеноорта.
  • ——; Пеано, Джузеппе (1967) [1889]. "Пеано" (1889) Принципы арифметики, представленные новой методикой". там же. С. 83–97. С комментарием ван Хейеноорта.
  • ——; Рассел, Бертран (1967) [1902]. "Рассел (1902) Письмо Фреге". там же. С. 124–125. С комментарием ван Хейеноорта. При этом Рассел объявляет о своем открытии «парадокса» в творчестве Фреге.
  • ——; Фреге, Готлоб (1967) [1902]. "Фреге" (1902) Письмо Расселу". там же. С. 126–128. С комментарием ван Хейеноорта.
  • ——; Гильберт, Дэвид (1967) [1904]. "Гильберт (1904) Об основах логики и арифметики". там же. С. 129–138. С комментарием ван Хейеноорта.
  • ——; Ричард, Жюль (1967) [1905]. Ричард (1905) Принципы математики и проблема множеств". там же. С. 142–144. С комментарием ван Хейеноорта. В Ричард парадокс.
  • ——; Рассел, Бертран (1967) [1908a]. "Рассел (1908a) Математическая логика на основе теории типов". там же. С. 150–182. С комментарием Уиллард Куайн.
  • ——; Цермело, Эрнст (1967) [1908]. "Цермело" (1908 г.) Новое доказательство возможности хорошего заказа". там же. С. 183–198. С комментарием ван Хейеноорта. В которой Цермело выступает против концепции Пуанкаре (и, следовательно, Рассела) о непредсказуемый определение.
  • ——; Цермело, Эрнст (1967) [1908a]. "Цермело" (1908a) Исследования по основам теории множеств I". там же. С. 199–215. С комментарием ван Хейеноорта. При этом Цермело пытается разрешить парадокс Рассела, структурируя свои аксиомы так, чтобы ограничить универсальную область B (из которой объекты и множества вытягиваются определенные свойства), так что оно само не может быть набором, т.е. его аксиомы запрещают универсальный набор.
  • ——; Уайтхед, Альфред Норт; Рассел, Бертран (1967) [1910]. "Уайтхед и Рассел (1910) Неполные символы: описания". там же. С. 216–223. С комментарием В. В. Куайн.
  • ——; Винер, Норберт (1967) [1914]. "Винер (1914) Упрощение логики отношений". там же. С. 224–227. С комментарием ван Хейеноорта.
  • ——; Сколем, Торальф (1967) [1922]. «Сколем» (1922 г.) Некоторые замечания по аксиоматизированной теории множеств". там же. С. 290–301. С комментарием ван Хейеноорта. При этом Сколем определяет расплывчатое «определенное свойство» Цермело.
  • ——; Шенфинкель, Моисей (1967) [1924]. "Шенфинкель (1924 г.) О строительных блоках математической логики". там же. С. 355–366. С комментарием Уиллард Куайн. Начало комбинаторная логика.
  • ——; фон Нейман, Джон (1967) [1925]. "фон Нейман (1925) Аксиоматизация теории множеств". там же. С. 393–413. С комментарием ван Хейеноорта. При этом фон Нейман создает «классы» в отличие от «множеств» («классы» - это «определенные свойства» Цермело), ​​а теперь существует универсальный набор и т. Д.
  • ——; Гильберт, Дэвид (1967) [1927]. "Гильберт (1927) Основы математики". там же. С. 464–479. С комментарием ван Хейеноорта.
• Уайтхед, Альфред Норт; Рассел, Бертран (1913). Principia Mathematica до * 56 (Изд. 1962 г.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-62606-4.CS1 maint: ref = harv (связь)

дальнейшее чтение

• Дубинский, Эд; Харел, Гершон (1992). Понятие функции: аспекты эпистемологии и педагогики. Математическая ассоциация Америки. ISBN  0-88385-081-8.
• Фреге, Готлоб (1879). Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Галле.
• Кляйнер, Израиль (1989). «Эволюция концепции функции: краткий обзор». Математический журнал колледжа. Математическая ассоциация Америки. 20 (4): 282–300. Дои:10.2307/2686848. JSTOR  2686848.
• Лютцен, Джеспер (2003). «Между строгостью и приложениями: развитие концепции функции в математическом анализе». В Рой Портер (ред.). Кембриджская история науки: современные физико-математические науки. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0521571995. Доступная и увлекательная историческая презентация.
• Малик, М.А. (1980). «Историко-педагогические аспекты определения функции». Международный журнал математического образования в науке и технологиях. 11 (4): 489–492. Дои:10.1080/0020739800110404.
• Монна, А. Ф. (1972). «Концепция функции в XIX и XX веках, в частности, в отношении дискуссий между Бэром, Борелем и Лебегом». Архив истории точных наук. 9 (1): 57–84. Дои:10.1007 / BF00348540. S2CID  120506760.
• Райхенбах, Ганс (1947) Элементы символической логики, Dover Publishing Inc., Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, ISBN  0-486-24004-5.
• Рутинг, Д. (1984). «Некоторые определения концепции функции от Бернулли Дж. До Бурбаки Н.». Математический интеллигент. 6 (4): 72–77. Дои:10.1007 / BF03026743. S2CID  189883712.
• Ющкевич, А. П. (1976). «Понятие функции до середины XIX века». Архив истории точных наук. 16 (1): 37–85. Дои:10.1007 / BF00348305 (неактивно 2020-11-28).CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на ноябрь 2020 г. (связь)

внешняя ссылка

• Функции из завязать узел.