Entscheidungsproblem - Википедия - Entscheidungsproblem

В математика и Информатика, то Entscheidungsproblem (выраженный [ɛntˈʃaɪ̯dʊŋspʁoˌbleːm], Немецкий для "проблемы решения") - это проблема, поставленная Дэвид Гильберт и Вильгельм Аккерманн в 1928 г.[1] Проблема требует алгоритм который рассматривает в качестве входных данных утверждение и отвечает "Да" или "Нет" в зависимости от того, является ли утверждение универсально действительный, т.е. действует в каждом структура удовлетворяющие аксиомам.

Теорема о полноте

К теорема полноты логики первого порядка, утверждение универсально справедливо тогда и только тогда, когда оно может быть выведено из аксиом, поэтому Entscheidungsproblem также можно рассматривать как запрос алгоритма, чтобы решить, доказуемо ли данное утверждение на основе аксиом с использованием правила логики.

В 1936 г. Церковь Алонсо и Алан Тьюринг опубликовал независимые статьи[2] показывая, что общее решение Entscheidungsproblem невозможно, если предположить, что интуитивное понятие "эффективно вычисляемый "захватывается функциями, вычисляемыми Машина Тьюринга (или, что эквивалентно, выраженными в лямбда-исчисление ). Это предположение теперь известно как Тезис Черча – Тьюринга.

История проблемы

Происхождение Entscheidungsproblem возвращается к Готфрид Лейбниц, который в семнадцатом веке, построив успешный механический счетная машина, мечтали построить машину, которая могла бы манипулировать символами, чтобы определять ценности истины математических утверждений.[3] Он понял, что первым шагом должен быть чистый формальный язык, и большая часть его последующей работы была направлена ​​на эту цель. В 1928 г. Дэвид Гильберт и Вильгельм Аккерманн задал вопрос в изложенной выше форме.

В продолжение своей «программы» Гильберт задал три вопроса на международной конференции в 1928 году, третий из которых стал известен как «вопрос Гильберта». Entscheidungsproblem."[4] В 1929 г. Моисей Шёнфинкель опубликовал одну статью о частных случаях решения проблемы, которую подготовил Пол Бернейс.[5]

Еще в 1930 году Гильберт считал, что неразрешимой проблемы не будет.[6]

Отрицательный ответ

Прежде чем можно было ответить на вопрос, нужно было формально определить понятие «алгоритм». Это было сделано Церковь Алонсо в 1935 г. с концепцией «эффективной вычислимости», основанной на его λ-исчисление и Алан Тьюринг в следующем году с его концепцией Машины Тьюринга. Тьюринг сразу понял, что это эквивалентные модели вычислений.

Отрицательный ответ на Entscheidungsproblem затем был подарен Алонсо Черчем в 1935–36 (Теорема Черча) и независимо вскоре после этого Алан Тьюринг в 1936 г. (Доказательство Тьюринга ). Церковь доказала, что нет вычислимая функция который определяет для двух заданных выражений λ-исчисления, эквивалентны они или нет. Он сильно полагался на более ранние работы Стивен Клини. Тьюринг сократил вопрос о существовании `` общего метода '', который решает, останавливается ли данная машина Тьюринга или нет ( проблема остановки ) на вопрос о существовании «алгоритма» или «общего метода», способного решить Entscheidungsproblem. Если «алгоритм» понимать как эквивалент машины Тьюринга и с отрицательным (в общем случае) ответом на последний вопрос, то вопрос о существовании алгоритма для Entscheidungsproblem также должен быть отрицательным (в общем). В своей статье 1936 года Тьюринг говорит: «В соответствии с каждой вычислительной машиной« it »мы строим формулу« Un (it) »и показываем, что если существует общий метод определения доказуемости« Un (it) », то существует общий метод определения выводит ли "it" когда-нибудь 0 ".

На работу Чёрча и Тьюринга большое влияние оказали Курт Гёдель более ранняя работа над его теорема о неполноте, особенно по способу присвоения номеров (a Гёделевская нумерация ) к логическим формулам, чтобы свести логику к арифметике.

В Entscheidungsproblem относится к Десятая проблема Гильберта, который просит алгоритм решить, стоит ли Диофантовы уравнения есть решение. Отсутствие такого алгоритма, установленное Юрий Матиясевич в 1970 году также подразумевает отрицательный ответ на проблему Entscheidungsproblem.

Некоторые теории первого порядка разрешимы алгоритмически; примеры этого включают Арифметика пресбургера, настоящие закрытые поля и системы статического типа из многих языки программирования. Общая теория первого порядка натуральные числа выражено в Аксиомы Пеано однако нельзя решить с помощью алгоритма.

Практические процедуры принятия решений

Наличие практических процедур принятия решений для классов логических формул представляет значительный интерес для проверка программы и проверка схемы. Чистые булевы логические формулы обычно решаются с использованием SAT-решение методы, основанные на Алгоритм DPLL. Конъюнктивные формулы над линейной действительной или рациональной арифметикой могут быть решены с использованием симплексный алгоритм, формулы в линейной целочисленной арифметике (Арифметика пресбургера ) можно решить с помощью Алгоритм Купера или же Уильям Пью с Омега тест. Формулы с отрицаниями, союзами и дизъюнкциями сочетают в себе трудности проверки выполнимости с трудностями определения союзов; они обычно решаются в настоящее время с использованием SMT-решение методы, которые сочетают SAT-решение с процедурами принятия решений для соединений и методов распространения. Действительная полиномиальная арифметика, также известная как теория настоящие закрытые поля, разрешима; это Теорема Тарского – Зайденберга., который был реализован в компьютерах с помощью цилиндрическое алгебраическое разложение.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Дэвид Гильберт и Вильлем Аккерманн. Grundzüge der Theoretischen Logik. Шпрингер, Берлин, Германия, 1928. Английский перевод: Давид Гильберт и Вильгельм Аккерманн. Принципы математической логики. AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, США, 1950.
  2. ^ Статья Черча была представлена ​​Американскому математическому обществу 19 апреля 1935 года и опубликована 15 апреля 1936 года. Тьюринг, добившийся значительного прогресса в написании собственных результатов, был разочарован, узнав о доказательстве Черча после его публикации (см. Макс Ньюман и церковь в Документы церкви Алонзо В архиве 7 июня 2010 г. Wayback Machine ). Тьюринг быстро завершил свою статью и поспешил ее опубликовать; он был получен Труды Лондонского математического общества 28 мая 1936 г., прочитано 12 ноября 1936 г. и опубликовано в серии 2, том 42 (1936–197); он состоял из двух разделов: части 3 (страницы 230–240), выпущенной 30 ноября 1936 г., и части 4 (страницы 241–265), выпущенной 23 декабря 1936 года; Тьюринг внес исправления в том 43 (1937), стр. 544–546. См. Сноску в конце Soare: 1996.
  3. ^ Дэвис 2000: стр. 3–20
  4. ^ Ходжес п. 91
  5. ^ Kline, G.L .; Ановская, С. А. (1951), "Обзор основ математики и математической логики С. А. Яновской", Журнал символической логики, 16 (1): 46–48, Дои:10.2307/2268665, JSTOR  2268665
  6. ^ Ходжес п. 92, цитата из Гильберта

Рекомендации

внешняя ссылка