Удовлетворенность - Satisfiability

В математическая логика, выполнимость и срок действия являются элементарными понятиями семантика. А формула является удовлетворительный если можно найти интерпретация (модель ), что делает формулу верной.^[1] Формула действительный если все интерпретации делают формулу верной. Противоположности этих концепций неудовлетворенность и недействительность, то есть формула неудовлетворительный если ни одна из интерпретаций не делает формулу истинной, и инвалид если такая интерпретация делает формулу ложной. Эти четыре понятия связаны друг с другом точно так же, как и Аристотель с квадрат оппозиции.

Эти четыре концепции могут быть применены ко всему теории: теория является выполнимой (действительной), если одна (все) интерпретации делают (-ются) каждую из аксиомы теории истинной, и теория неудовлетворительна (недействительна), если все (одна) интерпретация делает (и) каждую из аксиом теории ложной.

Также можно рассматривать только те интерпретации, которые делают все аксиомы второй теории истинными. Это обобщение обычно называют выполнимость по модулю теорий.

Вопрос, есть ли предложение в логика высказываний выполнимо разрешимая проблема. В общем, вопрос, могут ли предложения в логика первого порядка выполнимы не разрешимы. В универсальная алгебра и эквациональная теория, методы переписывание терминов, закрытие конгруэнтности и объединение используются, чтобы попытаться определить выполнимость. Был ли конкретный теория разрешима или нет, зависит от того, является ли теория без переменных или на других условиях.^[2]

Снижение действительности до выполнимости

За классическая логика, как правило, можно переформулировать вопрос о действительности формулы до формулы, предполагающей выполнимость, из-за отношений между концепциями, выраженными в приведенном выше квадрате оппозиции. В частности, φ действителен тогда и только тогда, когда ¬φ невыполнимо, то есть неверно, что ¬φ выполнимо. Другими словами, φ выполнимо тогда и только тогда, когда ¬φ неверно.

Для логики без отрицания, такой как положительное исчисление высказываний, вопросы действительности и выполнимости могут не быть связаны. В случае положительное исчисление высказываний, проблема выполнимости тривиальна, поскольку выполнима каждая формула, в то время как проблема выполнимости совместная НП завершена.

Пропозициональная выполнимость

В случае классическая логика высказываний, выполнимость разрешима для пропозициональных формул. В частности, выполнимость - это НП-полный проблема, и является одной из наиболее интенсивно изучаемых проблем в теория сложности вычислений.

Выполнимость в логике первого порядка

Удовлетворенность неразрешимый и действительно, это даже не полуразрешимое свойство формул в логика первого порядка (FOL).^[3] Этот факт связан с неразрешимостью проблемы валидности FOL. Вопрос о статусе проблемы валидности впервые был поставлен Дэвид Гильберт, как так называемый Entscheidungsproblem. Универсальность формулы - это полуразрешимая проблема. Если бы выполнимость была также полуразрешимой проблемой, то проблема существования контрмоделей была бы такой же (у формулы есть контрмодели, если и только если ее отрицание выполнимо). Таким образом, проблема логической достоверности была бы разрешимой, что противоречит Теорема Черча – Тьюринга - результат отрицательного ответа на проблему Entscheidungsproblem.

Выполнимость в теории моделей

В теория моделей, атомная формула выполнимо, если существует набор элементов структура которые делают формулу верной.^[4] Если А - структура, φ - формула и а представляет собой набор элементов, взятых из структуры, которые удовлетворяют φ, то обычно пишут, что

А ⊧ φ [а]

Если у φ нет свободных переменных, то есть если φ - атомарное предложение, и он удовлетворен А, то пишут

А ⊧ φ

В этом случае также можно сказать, что А является моделью для φ, или что φ является истинный в А. Если Т представляет собой набор элементарных предложений (теория), удовлетворяющий А, один пишет

А ⊧ Т

Конечная выполнимость

Проблема, связанная с выполнимостью, - это проблема конечная выполнимость, что является вопросом определения того, допускает ли формула конечный модель, которая делает это правдой. Для логики, имеющей конечное свойство модели, проблемы выполнимости и конечной выполнимости совпадают, поскольку формула этой логики имеет модель тогда и только тогда, когда она имеет конечную модель. Этот вопрос важен в математической области теория конечных моделей.

Тем не менее конечная выполнимость и выполнимость в общем случае не обязательно должны совпадать. Например, рассмотрим логика первого порядка формула, полученная как соединение следующих предложений, где ${displaystyle a}$ и ${displaystyle b}$ находятся константы:

${displaystyle R (a_ {0}, a_ {0})}$
${displaystyle R (a_ {0}, a_ {1})}$
${displaystyle forall xy (R (x, y) ightarrow существует zR (y, z))}$
${displaystyle forall xyz (R (y, x) клин R (z, x) ightarrow x = z))}$

Полученная формула имеет бесконечную модель ${displaystyle R (a_ {0}, a_ {0}), R (a_ {0}, a_ {1}), R (a_ {1}, a_ {2}), ldots}$ , но можно показать, что у него нет конечной модели (начиная с факта ${displaystyle R (a, b)}$ и следуя цепочке ${displaystyle R}$ атомы которая должна существовать в соответствии с третьей аксиомой, конечность модели потребовала бы существования цикла, что нарушило бы четвертую аксиому, независимо от того, возвращается ли он в цикл на ${displaystyle a_ {0}}$ или на другом элементе).

В вычислительная сложность определение выполнимости входной формулы в данной логике может отличаться от решения конечной выполнимости; на самом деле для некоторых логик только одна из них разрешимый.

Числовые ограничения

Числовые ограничения часто появляются в области математическая оптимизация, где обычно требуется максимизировать (или минимизировать) целевую функцию с некоторыми ограничениями. Однако, если оставить в стороне целевую функцию, основная проблема простого решения, являются ли ограничения выполнимыми, может быть сложной или неразрешимой в некоторых условиях. В следующей таблице приведены основные случаи.

Ограничения	над реалами	над целыми числами
Линейный	PTIME (видеть линейное программирование )	НП-полный (видеть целочисленное программирование )
Нелинейный	разрешимый	неразрешимый (Десятая проблема Гильберта )

Источник таблицы: Bockmayr and Weispfenning.^[5]^:754

Для линейных ограничений более полная картина представлена в следующей таблице.

Ограничения по:	рациональные	целые числа	натуральные числа
Линейные уравнения	PTIME	PTIME	НП-полный
Линейные неравенства	PTIME	НП-полный	НП-полный

Источник таблицы: Bockmayr and Weispfenning.^[5]^:755

Смотрите также

Примечания

^ См., Например, Boolos and Jeffrey, 1974, глава 11.
^ Франц Баадер; Тобиас Нипков (1998). Перезапись терминов и все такое. Издательство Кембриджского университета. С. 58–92. ISBN 0-521-77920-0.
^ Байер, Кристель (2012). «Глава 1.3 Неразрешимость ВОЛС» (PDF). Конспект лекции - Расширенная логика. Technische Universität Dresden - Институт технических компьютерных наук. стр. 28–32. Получено 21 июля 2012.^{[мертвая ссылка ]}
^ Вилифрид Ходжес (1997). Более короткая модельная теория. Издательство Кембриджского университета. п. 12. ISBN 0-521-58713-1.
^ ^а ^б Александр Бокмайр; Фолькер Вайспфеннинг (2001). «Решение числовых ограничений». В Джоне Алане Робинсоне; Андрей Воронков (ред.). Справочник по автоматическому мышлению, том I. Elsevier и MIT Press. ISBN 0-444-82949-0. (Elsevier) (MIT Press).

дальнейшее чтение

Даниэль Кренинг; Офер Стрихман (2008). Процедуры принятия решений: алгоритмическая точка зрения. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-74104-6.
А. Биер; М. Хеул; Х. ван Маарен; Т. Уолш, ред. (2009). Справочник по выполнимости. IOS Press. ISBN 978-1-60750-376-7.

[1] См., Например, Boolos and Jeffrey, 1974, глава 11.

[2] Франц Баадер; Тобиас Нипков (1998). Перезапись терминов и все такое. Издательство Кембриджского университета. С. 58–92. ISBN 0-521-77920-0.

[3] Байер, Кристель (2012). «Глава 1.3 Неразрешимость ВОЛС» (PDF). Конспект лекции - Расширенная логика. Technische Universität Dresden - Институт технических компьютерных наук. стр. 28–32. Получено 21 июля 2012.^{[мертвая ссылка ]}

[4] Вилифрид Ходжес (1997). Более короткая модельная теория. Издательство Кембриджского университета. п. 12. ISBN 0-521-58713-1.

[BockmayrWeispfenning2001-5] а ^б Александр Бокмайр; Фолькер Вайспфеннинг (2001). «Решение числовых ограничений». В Джоне Алане Робинсоне; Андрей Воронков (ред.). Справочник по автоматическому мышлению, том I. Elsevier и MIT Press. ISBN 0-444-82949-0. (Elsevier) (MIT Press).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]