Линейное неравенство - Linear inequality

В математике линейное неравенство является неравенство который включает линейная функция. Линейное неравенство содержит один из символов неравенства:^[1]. Он показывает данные, которые не равны в виде графика.

• <меньше чем

• > больше чем
• ≤ меньше или равно
• ≥ больше или равно
• ≠ не равно
• = равно

Линейное неравенство выглядит точно так же, как линейное уравнение, со знаком неравенства вместо знака равенства.

Линейные неравенства действительных чисел

Двумерные линейные неравенства

График линейного неравенства:
х + 3у <9

Двумерные линейные неравенства - это выражения от двух переменных вида:

${displaystyle ax + by$

где неравенства могут быть как строгими, так и нет. Множество решений такого неравенства можно графически представить полуплоскостью (все точки на одной «стороне» фиксированной прямой) в евклидовой плоскости.^[2] Линия, определяющая полуплоскости (топор + к = c) не входит в множество решений при строгом неравенстве. Простая процедура определения полуплоскости в наборе решений - вычислить значение топор + к в точке (Икс₀, у₀), которого нет на линии, и проверьте, выполняется ли неравенство.

Например,^[3] нарисовать набор решений Икс + 3у <9, сначала проводится линия с уравнением Икс + 3у = 9 пунктирной линией, чтобы указать, что линия не включена в набор решений, так как неравенство строгое. Затем выберите удобную точку не на линии, например (0,0). Поскольку 0 + 3 (0) = 0 <9, эта точка находится в множестве решений, поэтому полуплоскость, содержащая эту точку (полуплоскость «ниже» линии), является множеством решений этого линейного неравенства.

Линейные неравенства в общих измерениях

В р^п линейные неравенства - это выражения, которые можно записать в виде

${displaystyle f ({ar {x}})$ или же ${displaystyle f ({ar {x}}) leq b,}$

куда ж это линейная форма (также называемый линейный функционал), ${displaystyle {ar {x}} = (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n})}$ и б постоянное действительное число.

Более конкретно, это можно записать как

${displaystyle a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + cdots + a_ {n} x_ {n}$

или же

${displaystyle a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + cdots + a_ {n} x_ {n} leq b.}$

Здесь ${displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {n}}$ называются неизвестными, а ${displaystyle a_ {1}, a_ {2}, ..., a_ {n}}$ называются коэффициентами.

В качестве альтернативы их можно записать как

${displaystyle g (x) <0,}$ или же ${displaystyle g (x) leq 0,}$

куда грамм является аффинная функция.^[4]

То есть

${displaystyle a_ {0} + a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + cdots + a_ {n} x_ {n} <0}$

или же

${displaystyle a_ {0} + a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + cdots + a_ {n} x_ {n} leq 0.}$

Обратите внимание, что любое неравенство, содержащее знак «больше» или «больше или равно», можно переписать с помощью знака «меньше» или «меньше или равно», поэтому нет необходимости определять линейные неравенства с использованием этих знаков.

Системы линейных неравенств

Система линейных неравенств - это набор линейных неравенств с одинаковыми переменными:

${displaystyle {egin {alignat} {7} a_ {11} x_ {1} &&; +; && a_ {12} x_ {2} &&; + cdots +; && a_ {1n} x_ {n} &&; leq; &&& b_ { 1} a_ {21} x_ {1} &&; +; && a_ {22} x_ {2} &&; + cdots +; && a_ {2n} x_ {n} &&; leq; &&& b_ {2} vdots ;;; &&&& vdots ;;; &&&& vdots ;;; &&&&&; vdots a_ {m1} x_ {1} &&; +; && a_ {m2} x_ {2} &&; + cdots +; && a_ {mn} x_ {n} &&; leq; &&& b_ {m} end {alignat}}}$

Здесь ${displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {n}}$ неизвестные, ${displaystyle a_ {11}, a_ {12}, ..., a_ {mn}}$ - коэффициенты системы, а ${displaystyle b_ {1}, b_ {2}, ..., b_ {m}}$ являются постоянными членами.

Кратко это можно записать как матрица неравенство

${displaystyle Axleq b,}$

куда А является м×п матрица Икс является п×1 вектор столбца переменных, и б является м× 1 вектор-столбец констант.^{[нужна цитата ]}

В указанных выше системах могут использоваться как строгие, так и нестрогие неравенства.

• Не все системы линейных неравенств имеют решения.

Исключить переменные из систем линейных неравенств можно с помощью Исключение Фурье – Моцкина.^[5]

Приложения

Многогранники

Множество решений вещественного линейного неравенства составляет полупространство "n" -мерного реального пространства, одного из двух, определяемых соответствующим линейным уравнением.

Множество решений системы линейных неравенств соответствует пересечению полупространств, определяемых отдельными неравенствами. Это выпуклый набор, поскольку полупространства являются выпуклыми множествами, и пересечение множества выпуклых множеств также выпукло. В не-дегенеративные случаи это выпуклое множество выпуклый многогранник (возможно неограниченное, например, полупространство, плита между двумя параллельными полупространствами или многогранный конус ). Он также может быть пустым или выпуклым многогранником меньшей размерности, ограниченным аффинное подпространство из п-мерное пространство р^п.

Линейное программирование

Задача линейного программирования направлена ​​на оптимизацию (поиск максимального или минимального значения) функции (называемой целевая функция ) с рядом ограничений на переменные, которые, в общем, являются линейными неравенствами.^[6] Список ограничений представляет собой систему линейных неравенств.

Обобщение

Приведенное выше определение требует четко определенных операций над добавление, умножение и сравнение; поэтому понятие линейного неравенства может быть распространено на заказанные кольца, и в частности упорядоченные поля.

Рекомендации

Источники

• Ангел, Аллен Р .; Портер, Стюарт Р. (1989), Обзор математики с приложениями (3-е изд.), Эддисон-Уэсли, ISBN  0-201-13696-1
• Миллер, Чарльз Д .; Херен, Верн Э. (1986), Математические идеи (5-е изд.), Скотт, Foresman, ISBN  0-673-18276-2

внешняя ссылка

• Khan Academy: линейное неравенство, бесплатные микролекции онлайн