Исключение Фурье – Моцкина. - Fourier–Motzkin elimination

Эта статья может быть расширен текстом, переведенным с соответствующая статья на немецком. (Сентябрь 2013) Щелкните [показать] для получения важных инструкций по переводу. Машинный перевод нравится DeepL или же переводчик Google является полезной отправной точкой для переводов, но переводчики должны исправлять ошибки по мере необходимости и подтверждать точность перевода, а не просто копировать и вставлять машинно переведенный текст в английскую Википедию. Не переводите текст, который кажется ненадежным или некачественным. Если возможно, сверьте текст со ссылками, приведенными в статье на иностранном языке. Ты должен предоставлять авторское право в редактировать резюме сопровождая ваш перевод, предоставив межъязыковая ссылка к источнику вашего перевода. Сводка редактирования атрибуции модели Содержимое этого редактирования переведено из существующей немецкой статьи в Википедии на [[: de:]]; см. его историю для атрибуции. Вам также следует добавить шаблон {{Переведенная страница}} в страница обсуждения. Для получения дополнительной информации см. Википедия: Перевод.

Исключение Фурье – Моцкина., также известный как FME метод, является математическим алгоритм для исключения переменных из система линейных неравенств. Он может выводить настоящий решения.

Алгоритм назван в честь Жозеф Фурье^[1] и Теодор Моцкин которые независимо открыли этот метод в 1827 и 1936 годах соответственно.

Устранение

Исключение набора переменных, скажем, V, из системы отношений (здесь линейные неравенства) относится к созданию другой системы того же типа, но без переменных в V, такие, что обе системы имеют одинаковые решения по остальным переменным.

Если исключить все переменные из системы линейных неравенств, то получится система постоянных неравенств. Тогда тривиально решить, истинна ли полученная система или нет. Это верно тогда и только тогда, когда у исходной системы есть решения. Как следствие, исключение всех переменных может использоваться для определения того, имеет ли система неравенств решения или нет.

Рассмотрим систему ${displaystyle S}$ из ${displaystyle n}$ неравенство с ${displaystyle r}$ переменные ${displaystyle x_ {1}}$ к ${displaystyle x_ {r}}$, с ${displaystyle x_ {r}}$ переменная, которую нужно исключить. Линейные неравенства в системе можно сгруппировать в три класса в зависимости от знака (положительный, отрицательный или нулевой) коэффициента для ${displaystyle x_ {r}}$.

• те неравенства, которые имеют вид ${displaystyle x_ {r} geq b_ {i} -sum _ {k = 1} ^ {r-1} a_ {ik} x_ {k}}$; обозначим их через ${displaystyle x_ {r} geq A_ {j} (x_ {1}, точки, x_ {r-1})}$, за ${displaystyle j}$ от 1 до ${displaystyle n_ {A}}$ куда ${displaystyle n_ {A}}$ - количество таких неравенств;
• те неравенства, которые имеют вид ${displaystyle x_ {r} leq b_ {i} -sum _ {k = 1} ^ {r-1} a_ {ik} x_ {k}}$; обозначим их через ${displaystyle x_ {r} leq B_ {j} (x_ {1}, точки, x_ {r-1})}$, за ${displaystyle j}$ от 1 до ${displaystyle n_ {B}}$ куда ${displaystyle n_ {B}}$ - количество таких неравенств;
• те неравенства, при которых ${displaystyle x_ {r}}$ не играет роли, сгруппированы в одно соединение ${displaystyle phi}$.

Таким образом, исходная система эквивалентна

${displaystyle max (A_ {1} (x_ {1}, dots, x_ {r-1}), dots, A_ {n_ {A}} (x_ {1}, dots, x_ {r-1})) leq x_ {r} leq min (B_ {1} (x_ {1}, точки, x_ {r-1}), точки, B_ {n_ {B}} (x_ {1}, точки, x_ {r-1} )) клин фи}$.

Устранение состоит в создании системы, эквивалентной ${displaystyle существует x_ {r} ~ S}$. Очевидно, эта формула эквивалентна

${displaystyle max (A_ {1} (x_ {1}, dots, x_ {r-1}), dots, A_ {n_ {A}} (x_ {1}, dots, x_ {r-1})) leq min (B_ {1} (x_ {1}, точки, x_ {r-1}), dots, B_ {n_ {B}} (x_ {1}, dots, x_ {r-1})) клин фи}$.

Неравенство

${displaystyle max (A_ {1} (x_ {1}, dots, x_ {r-1}), dots, A_ {n_ {A}} (x_ {1}, dots, x_ {r-1})) leq мин (B_ {1} (x_ {1}, точки, x_ {r-1}), точки, B_ {n_ {B}} (x_ {1}, точки, x_ {r-1}))}$

эквивалентно ${displaystyle n_ {A} n_ {B}}$ неравенство ${displaystyle A_ {i} (x_ {1}, точки, x_ {r-1}) leq B_ {j} (x_ {1}, dots, x_ {r-1})}$, за ${displaystyle 1leq ileq n_ {A}}$ и ${displaystyle 1leq jleq n_ {B}}$.

Поэтому мы преобразовали исходную систему в другую систему, где ${displaystyle x_ {r}}$ устраняется. Обратите внимание, что в системе вывода есть ${displaystyle (n-n_ {A} -n_ {B}) + n_ {A} n_ {B}}$ неравенства. В частности, если ${displaystyle n_ {A} = n_ {B} = n / 2}$, то количество выходных неравенств равно ${displaystyle n ^ {2} / 4}$.

Пример

Рассмотрим следующую систему неравенств:^{[2]:100–102}

2Икс − 5у + 4z ≤ 10

3Икс − 6у + 3z ≤ 9

−Икс + 5у − 2z ≤ −7

−3Икс + 2у + 6z ≤ 12

Устранить Икс, мы можем записать неравенства в терминах Икс:

Икс ≤ (10 + 5у − 4z)/2

Икс ≤ (9 + 6у − 3z)/3

Икс ≥ 7 + 5у − 2z

Икс ≥ (−12 + 2г + 6з)/3

У нас есть два неравенства с «≤» и два с «≥»; система имеет решение тогда и только тогда, когда правая часть каждого неравенства «≤» является по крайней мере правой частью каждого неравенства «≥». У нас есть 2 * 2 таких сочетания:

7 + 5лет - 2з ≤ (10 + 5у − 4z)/2

7 + 5лет - 2з ≤ (9 + 6у − 3z)/3

(−12 + 2y + 6z) / 3 ≤ (10 + 5у − 4z)/2

(−12 + 2y + 6z) / 3 ≤ (9 + 6у − 3z)/3

Теперь у нас есть новая система неравенств с на одну переменную меньше.

Сложность

Выполнение этапа исключения ${displaystyle n}$ неравенство может привести не более чем к ${displaystyle n ^ {2} / 4}$ неравенства в выпуске, таким образом ${displaystyle d}$ последовательные шаги могут привести не более чем к ${displaystyle 4 (n / 4) ^ {2 ^ {d}}}$, двойная экспоненциальная сложность. Это связано с тем, что алгоритм создает много ненужных ограничений (ограничений, которые подразумеваются другими ограничениями). Количество необходимых ограничений растет по экспоненте.^[3] Ненужные ограничения могут быть обнаружены с помощью линейное программирование.

Теоремы Имберта об ускорении

Две теоремы "ускорения" Имберта^[4] позволяют устранить избыточные неравенства, основанные исключительно на синтаксических свойствах дерева вывода формул, тем самым сокращая необходимость решения линейных программ или вычисления рангов матриц.

Определить история ${displaystyle H_ {i}}$ неравенства ${displaystyle i}$ как набор индексов неравенств исходной системы ${displaystyle S}$ используется для производства ${displaystyle i}$. Таким образом, ${displaystyle H_ {i} = {i}}$ за неравенство ${displaystyle iin S}$ исходной системы. При добавлении нового неравенства ${displaystyle k: A_ {i} (x_ {1}, точки, x_ {r-1}) leq B_ {j} (x_ {1}, dots, x_ {r-1})}$ (исключив ${displaystyle x_ {r}}$), новая история ${displaystyle H_ {k}}$ построен как ${displaystyle H_ {k} = H_ {i} чашка H_ {j}}$.

Предположим, что переменные ${displaystyle O_ {k} = {x_ {r}, ldots, x_ {r-k + 1}}}$ Был официально устранено. Каждое неравенство ${displaystyle i}$ разделяет набор ${displaystyle O_ {k}}$ в ${displaystyle E_ {i} чашка I_ {i} чашка R_ {i}}$:

• ${displaystyle E_ {i}}$, набор эффективно устранен переменные, т.е. нарочно. Переменная ${displaystyle x_ {j}}$ находится в множестве, как только хотя бы одно неравенство в истории ${displaystyle H_ {i}}$ из ${displaystyle i}$ результат устранения ${displaystyle x_ {j}}$.
• ${displaystyle I_ {i}}$, набор неявно исключен переменные, т.е. случайно. Переменная неявно исключается, если она встречается хотя бы в одном неравенстве ${displaystyle H_ {i}}$, но не фигурирует ни в неравенстве ${displaystyle i}$ ни в ${displaystyle E_ {i}}$
• ${displaystyle R_ {i}}$, все остальные переменные.

Неизбыточное неравенство обладает тем свойством, что его история минимальный.^[5]

Теорема (первая теорема Имберта об ускорении). Если история ${displaystyle H_ {i}}$ неравенства ${displaystyle i}$ минимально, то ${displaystyle 1+ | E_ {i} | leq | H_ {i} | leq 1 + left | E_ {i} чашка (I_ {i} cap O_ {k}) ight |}$.

Неравенство, не удовлетворяющее этим ограничениям, обязательно является избыточным и может быть удалено из системы без изменения набора ее решений.

Вторая теорема ускорения определяет минимальные наборы истории:

Теорема (вторая теорема Имберта об ускорении). Если неравенство ${displaystyle i}$ таково, что ${displaystyle 1+ | E_ {i} | = | H_ {i} |}$, тогда ${displaystyle H_ {i}}$ минимально.

Эта теорема обеспечивает критерий быстрого обнаружения и используется на практике, чтобы избежать более дорогостоящих проверок, например, основанных на ранжировании матрицы. См. Ссылку для подробностей реализации.^[5]

Приложения в теории информации

Информационно-теоретический Доказательства достижимости приводят к условиям, при которых гарантируется существование хорошо работающей схемы кодирования. Эти условия часто описываются линейной системой неравенств. Переменные системы включают как скорости передачи (которые являются частью постановки задачи), так и дополнительные вспомогательные скорости, используемые для разработки схемы. Обычно цель описать фундаментальные ограничения коммуникации только в терминах параметров проблемы. Это приводит к необходимости исключения упомянутых выше вспомогательных скоростей, что выполняется методом исключения Фурье – Моцкина. Однако процесс исключения приводит к новой системе, которая, возможно, содержит больше неравенств, чем исходная. Тем не менее, часто некоторые неравенства в сокращенной системе являются избыточными. Избыточность может подразумеваться другими неравенствами или неравенства в теории информации (также известные как неравенства типа Шеннона). Недавно разработанный open-source программное обеспечение для MATLAB^[6] выполняет устранение, выявляя и устраняя повторяющиеся неравенства. Следовательно, программное обеспечение выводит упрощенную систему (без избыточности), которая включает только скорости передачи данных.

Избыточное ограничение можно определить, решив линейную программу следующим образом. Для системы линейных ограничений, если ${displaystyle i}$-е неравенство выполняется для любого решения всех остальных неравенств, то оно избыточно. Точно так же ИПП относятся к неравенствам, которые подразумеваются неотрицательностью теоретических информационных показателей и базовых идентичностей, которым они удовлетворяют. Например, STI ${displaystyle I (X_ {1}; X_ {2}) leq H (X_ {1})}$ является следствием тождества ${displaystyle I (X_ {1}; X_ {2}) = H (X_ {1}) - H (X_ {1} | X_ {2})}$ и неотрицательность условной энтропии, т. е. ${displaystyle H (X_ {1} | X_ {2}) geq 0}$. Неравенства типа Шеннона определяют конус в ${displaystyle mathbb {R} ^ {2 ^ {n} -1}}$, куда ${displaystyle n}$ - количество случайных величин, присутствующих в задействованных информационных мерах. Следовательно, любую STI можно доказать с помощью линейного программирования, проверив, подразумевается ли она базовыми тождествами и ограничениями неотрицательности. Описанный алгоритм сначала выполняет метод исключения Фурье – Моцкина для удаления вспомогательных скоростей. Затем он накладывает теоретико-информационные ограничения неотрицательности на сокращенную систему выпуска и устраняет избыточные неравенства.

Смотрите также

• Лемма Фаркаша - можно доказать с помощью исключения FM.
• Настоящее закрытое поле - алгоритм цилиндрической алгебраической декомпозиции выполняет исключение квантора над многочлен неравенства, а не только линейные.

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Шрайвер, Александр (1998). Теория линейного и целочисленного программирования. Джон Вили и сыновья. С. 155–156. ISBN  978-0-471-98232-6.
• Кесслер, Кристоф В. «Параллельное исключение Фурье – Моцкина». Universität Trier. CiteSeerX  10.1.1.54.657. Отсутствует или пусто | url = (помощь)
• Уильямс, Х. П. (1986). «Метод Фурье линейного программирования и его двойственное». Американский математический ежемесячный журнал. 93 (9): 681–695. Дои:10.2307/2322281. JSTOR  2322281.

внешняя ссылка

• Глава 1 бакалавриата выпуклости, учебник Нильса Лауритцена в Орхусский университет.
• Программное обеспечение FME для теории информации, открытый исходный код в MATLAB от Идо Б. Гаттеньо, Зива Гольдфельда и Хаима Х. Пермутера.