Заказанное кольцо - Ordered ring

В действительные числа упорядоченное кольцо, которое также является упорядоченное поле. В целые числа, подмножество действительных чисел, представляют собой упорядоченное кольцо, которое не является упорядоченным полем.

В абстрактная алгебра, заказанное кольцо это (обычно коммутативный ) звенеть р с общий заказ ≤ такое, что для всех а, б, и c в р:^[1]

• если а ≤ б тогда а + c ≤ б + c.
• если 0 ≤ а и 0 ≤ б тогда 0 ≤ ab.

Примеры

Заказанные кольца знакомы по арифметика. Примеры включают целые числа, то рациональные и действительные числа.^[2] (Рациональное и действительное на самом деле образуют упорядоченные поля.) сложные числа, напротив, не образуют упорядоченного кольца или поля, потому что между элементами 1 и я.

Положительные элементы

По аналогии с действительными числами мы называем элемент c заказанного кольца р положительный если 0 < c, и отрицательный если c <0. 0 считается ни положительным, ни отрицательным.

Множество положительных элементов упорядоченного кольца р часто обозначается как р₊. Альтернативное обозначение, предпочитаемое в некоторых дисциплинах, заключается в использовании р₊ для множества неотрицательных элементов, и р₊₊ для набора положительных элементов.

Абсолютная величина

Если ${ displaystyle a}$ является элементом упорядоченного кольца р, то абсолютная величина из ${ displaystyle a}$, обозначенный ${ displaystyle | a |}$, определяется так:

${ displaystyle | a |: = { begin {cases} a, & { mbox {if}} 0 leq a, - a, & { mbox {else}}, end {cases}}}$

куда ${ displaystyle -a}$ это Противоположное число из ${ displaystyle a}$ а 0 - добавка элемент идентичности.

Дискретно упорядоченные кольца

А дискретное заказанное кольцо или же дискретно упорядоченное кольцо - упорядоченное кольцо, в котором нет элементов между 0 и 1. Целые числа представляют собой дискретное упорядоченное кольцо, а рациональные числа - нет.

Основные свойства

Для всех а, б и c в р:

• Если а ≤ б и 0 ≤ c, тогда ac ≤ до н.э.^[3] Это свойство иногда используется для определения упорядоченных колец вместо второго свойства в определении выше.
• |ab| = |а| |б|.^[4]
• Заказанное кольцо, которое не банальный бесконечно.^[5]
• Верно одно из следующих утверждений: а положительный, -а положительный, или а = 0.^[6] Это свойство следует из того, что упорядоченные кольца абелевский, линейно упорядоченные группы относительно сложения.
• В упорядоченном кольце отрицательный элемент не является квадратом.^[7] Это потому, что если а ≠ 0 и а = б² тогда б ≠ 0 и а = (-б)²; как либо б или же -б положительный, а должно быть неотрицательным.

Смотрите также

• Частично заказанное кольцо

Примечания

Приведенный ниже список включает ссылки на теоремы, формально проверенные IsarMathLib проект.