Последовательность - Consistency

В классический дедуктивная логика, а последовательный теория тот, который не влечет за собой противоречие.^[1] Отсутствие противоречий можно определить семантическими или синтаксическими терминами. Семантическое определение гласит, что теория непротиворечива, если она имеет модель, т.е. существует интерпретация под которым все формулы в теории верны. В этом смысле используются традиционные Аристотелевская логика, хотя в современной математической логике термин удовлетворительный вместо этого используется. Синтаксическое определение утверждает теорию ${ displaystyle T}$ согласован, если нет формула ${ displaystyle varphi}$ так что оба ${ displaystyle varphi}$ и его отрицание ${ displaystyle lnot varphi}$ являются элементами совокупности последствий ${ displaystyle T}$ . Позволять ${ displaystyle A}$ быть набором закрытые предложения (неформально «аксиомы») и ${ displaystyle langle A rangle}$ множество закрытых предложений доказуемо из ${ displaystyle A}$ при некоторой (указанной, возможно, неявно) формальной дедуктивной системе. Набор аксиом ${ displaystyle A}$ является последовательный когда ${ displaystyle varphi, lnot varphi in langle A rangle}$ без формулы ${ displaystyle varphi}$ .^[2]

Если существует дедуктивная система, для которой эти семантические и синтаксические определения эквивалентны любой теории, сформулированной в конкретном дедуктивном логика, логика называется полный.^{[нужна цитата ]} Полнота сентенциальное исчисление было доказано Пол Бернейс в 1918 г.^{[нужна цитата ]}^[3] и Эмиль Пост в 1921 г.,^[4] в то время как полнота исчисление предикатов было доказано Курт Гёдель в 1930 г.^[5] и доказательства непротиворечивости арифметики, ограниченные относительно схема аксиомы индукции были доказаны Аккерманом (1924), фон Нейманом (1927) и Хербрандом (1931).^[6] Более сильная логика, такая как логика второго порядка, не полные.

А доказательство непротиворечивости это математическое доказательство что конкретная теория непротиворечива.^[7] Раннее развитие математической теория доказательств был движим желанием предоставить доказательства финитарной непротиворечивости для всей математики как часть Программа Гильберта. На программу Гильберта сильно повлияли теоремы о неполноте, который показал, что достаточно сильные теории доказательств не могут доказать свою собственную непротиворечивость (при условии, что они на самом деле непротиворечивы).

Хотя согласованность можно доказать с помощью теории моделей, это часто делается чисто синтаксическим путем, без необходимости ссылаться на какую-либо модель логики. В вырезка (или эквивалентно нормализация из лежащий в основе исчисление если он есть) означает непротиворечивость исчисления: поскольку нет полного доказательства ложности, нет никакого противоречия в целом.

Последовательность и полнота в арифметике и теории множеств

В теориях арифметики, таких как Арифметика Пеано, существует сложная взаимосвязь между последовательностью теории и ее полнота. Теория считается законченной, если для каждой формулы φ на ее языке хотя бы одно из φ или ¬φ является логическим следствием теории.

Арифметика пресбургера является системой аксиом для натуральных чисел при сложении. Оно одновременно последовательное и полное.

Теоремы Гёделя о неполноте показать, что любой достаточно сильный рекурсивно перечислимый теория арифметики не может быть одновременно полной и непротиворечивой. Теорема Гёделя применима к теориям Арифметика Пеано (PA) и примитивная рекурсивная арифметика (PRA), но не Арифметика пресбургера.

Более того, вторая теорема Гёделя о неполноте показывает, что непротиворечивость достаточно сильных рекурсивно перечислимых теорий арифметики можно проверить определенным образом. Такая теория непротиворечива тогда и только тогда, когда она нет доказать конкретное предложение, называемое предложением Гёделя теории, которое является формализованным утверждением утверждения о том, что теория действительно непротиворечива. Таким образом, непротиворечивость достаточно сильной, рекурсивно перечислимой и непротиворечивой теории арифметики никогда не может быть доказана в самой этой системе. Тот же результат верен для рекурсивно перечислимых теорий, которые могут описать достаточно сильный фрагмент арифметики, включая теории множеств, такие как Теория множеств Цермело – Френкеля (ZF). Эти теории множеств не могут доказать свое собственное предложение Гёделя - при условии, что они непротиворечивы, как принято считать.

Поскольку непротиворечивость ZF недоказуема в ZF, более слабое понятие относительная последовательность представляет интерес в теории множеств (и в других достаточно выразительных аксиоматических системах). Если Т это теория и А является дополнительным аксиома, Т + А называется непротиворечивым относительно Т (или просто это А согласуется с Т), если можно доказать, что если Т непротиворечиво тогда Т + А согласуется. Если оба А и ¬А согласуются с Т, тогда А как говорят независимый из Т.

Логика первого порядка

Обозначение

${ displaystyle vdash}$ (Символ турникета) в следующем контексте математическая логика, означает "доказуемо от". То есть, ${ displaystyle a vdash b}$ читает: б можно доказать из а (в некоторой указанной формальной системе). Видеть Список логических символов. В других случаях символ турникета может означать подразумевает; разрешает вывод. Видеть: Список математических символов.

Определение

Набор формулы ${ displaystyle Phi}$ в логике первого порядка последовательный (написано ${ displaystyle operatorname {Con} Phi}$ ) если нет формулы ${ displaystyle varphi}$ такой, что ${ displaystyle Phi vdash varphi}$ и ${ Displaystyle Phi vdash lnot varphi}$ . Иначе ${ displaystyle Phi}$ является непоследовательный (написано ${ displaystyle operatorname {Inc} Phi}$ ).
${ displaystyle Phi}$ как говорят просто последовательный если без формулы ${ displaystyle varphi}$ из ${ displaystyle Phi}$ , обе ${ displaystyle varphi}$ и отрицание из ${ displaystyle varphi}$ теоремы ${ displaystyle Phi}$ .^{[требуется разъяснение ]}
${ displaystyle Phi}$ как говорят абсолютно последовательный или же Пост согласованный если хотя бы одна формула на языке ${ displaystyle Phi}$ это не теорема ${ displaystyle Phi}$ .
${ displaystyle Phi}$ как говорят максимально последовательный если для каждой формулы ${ displaystyle varphi}$ , если ${ displaystyle operatorname {Con} ( Phi cup { varphi })}$ подразумевает ${ displaystyle varphi in Phi}$ .
${ displaystyle Phi}$ говорят содержать свидетелей если для каждой формулы вида ${ Displaystyle существует х , varphi}$ существует срок ${ displaystyle t}$ такой, что ${ Displaystyle ( существует х , varphi к varphi {т над х}) в Phi}$ , куда ${ Displaystyle varphi {т над х}}$ обозначает замена каждого ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle varphi}$ по ${ displaystyle t}$ ; смотрите также Логика первого порядка.^{[нужна цитата ]}

Основные результаты

Следующие варианты эквивалентны:
1. ${ displaystyle operatorname {Inc} Phi}$
2. Для всех ${ displaystyle varphi, ; Phi vdash varphi.}$
Каждый выполнимый набор формул согласован, где набор формул ${ displaystyle Phi}$ выполнимо тогда и только тогда, когда существует модель ${ displaystyle { mathfrak {I}}}$ такой, что ${ Displaystyle { mathfrak {I}} vDash Phi}$ .
Для всех ${ displaystyle Phi}$ $Phi$ и ${ displaystyle varphi}$ $varphi$ :
1. если не ${ displaystyle Phi vdash varphi}$ , тогда ${ Displaystyle OperatorName {Con} left ( Phi cup { lnot varphi } right)}$ ;
2. если ${ displaystyle operatorname {Con} Phi}$ и ${ displaystyle Phi vdash varphi}$ , тогда ${ displaystyle operatorname {Con} left ( Phi cup { varphi } right)}$ ;
3. если ${ displaystyle operatorname {Con} Phi}$ , тогда ${ displaystyle operatorname {Con} left ( Phi cup { varphi } right)}$ или же ${ Displaystyle OperatorName {Con} left ( Phi cup { lnot varphi } right)}$ .
Позволять ${ displaystyle Phi}$ $Phi$ - максимально непротиворечивый набор формул, и пусть он содержит свидетели. Для всех ${ displaystyle varphi}$ $varphi$ и ${ displaystyle psi}$ $psi$ :
1. если ${ displaystyle Phi vdash varphi}$ , тогда ${ displaystyle varphi in Phi}$ ,
2. либо ${ displaystyle varphi in Phi}$ или же ${ Displaystyle lnot varphi in Phi}$ ,
3. ${ Displaystyle ( varphi lor psi) in Phi}$ если и только если ${ displaystyle varphi in Phi}$ или же ${ displaystyle psi in Phi}$ ,
4. если ${ Displaystyle ( varphi to psi) in Phi}$ и ${ displaystyle varphi in Phi}$ , тогда ${ displaystyle psi in Phi}$ ,
5. ${ Displaystyle существует х , varphi in Phi}$ если и только если есть срок ${ displaystyle t}$ такой, что ${ displaystyle varphi {t over x} in Phi}$ .^{[нужна цитата ]}

Теорема Хенкина

Позволять ${ displaystyle S}$ быть набор символов. Позволять ${ displaystyle Phi}$ быть максимально согласованным набором ${ displaystyle S}$ -формулы, содержащие свидетели.

Определить отношение эквивалентности ${ displaystyle sim}$ на съемках ${ displaystyle S}$ - термины ${ displaystyle t_ {0} sim t_ {1}}$ если ${ Displaystyle ; т_ {0} эквив т_ {1} ин фи}$ , куда ${ Displaystyle Equiv}$ обозначает равенство. Позволять ${ displaystyle { overline {t}}}$ обозначить класс эквивалентности терминов, содержащих ${ displaystyle t}$ ; и разреши ${ displaystyle T _ { Phi}: = {; { overline {t}} mid t in T ^ {S} }}$ куда ${ displaystyle T ^ {S}}$ набор терминов, основанный на наборе символов ${ displaystyle S}$ .

Определить ${ displaystyle S}$ -структура ${ Displaystyle { mathfrak {T}} _ { Phi}}$ над ${ displaystyle T _ { Phi}}$ , также называемый Временная структура соответствующий ${ displaystyle Phi}$ , к:

для каждого ${ displaystyle n}$ символ -арное отношение ${ displaystyle R in S}$ , определять ${ Displaystyle R ^ {{ mathfrak {T}} _ { Phi}} { overline {t_ {0}}} ldots { overline {t_ {n-1}}}}$ если ${ Displaystyle ; Rt_ {0} ldots t_ {n-1} in Phi;}$ ^[8]
для каждого ${ displaystyle n}$ символ функции ${ displaystyle f in S}$ , определять ${ displaystyle f ^ {{ mathfrak {T}} _ { Phi}} ({ overline {t_ {0}}} ldots { overline {t_ {n-1}}}): = { overline {ft_ {0} ldots t_ {n-1}}};}$
для каждого постоянного символа ${ displaystyle c in S}$ , определять ${ displaystyle c ^ {{ mathfrak {T}} _ { Phi}}: = { overline {c}}.}$

Определить присвоение переменной ${ displaystyle beta _ { Phi}}$ к ${ Displaystyle beta _ { Phi} (х): = { бар {х}}}$ для каждой переменной ${ displaystyle x}$ . Позволять ${ displaystyle { mathfrak {I}} _ { Phi}: = ({ mathfrak {T}} _ { Phi}, beta _ { Phi})}$ быть срок интерпретация связана с ${ displaystyle Phi}$ .

Тогда для каждого ${ displaystyle S}$ -формула ${ displaystyle varphi}$ :

${ Displaystyle { mathfrak {I}} _ { Phi} vDash varphi}$ если и только если ${ Displaystyle ; varphi in Phi.}$ ^{[нужна цитата ]}

Эскиз доказательства

Есть несколько вещей, которые нужно проверить. Во-первых, это ${ displaystyle sim}$ фактически является отношением эквивалентности. Затем необходимо проверить, что (1), (2) и (3) правильно определены. Это выпадает из того факта, что ${ displaystyle sim}$ является отношением эквивалентности и также требует доказательства того, что (1) и (2) не зависят от выбора ${ displaystyle t_ {0}, ldots, t_ {n-1}}$ представители класса. Ну наконец то, ${ Displaystyle { mathfrak {I}} _ { Phi} vDash varphi}$ можно проверить индукцией по формулам.

Теория моделей

В Теория множеств ZFC с классическим логика первого порядка,^[9] ан непоследовательный теория ${ displaystyle T}$ один такой, что существует закрытое предложение ${ displaystyle varphi}$ такой, что ${ displaystyle T}$ содержит оба ${ displaystyle varphi}$ и его отрицание ${ displaystyle varphi '}$ . А последовательный теория такова, что следующие логически эквивалентный условия выполняются

${ Displaystyle { varphi, varphi '} not substeq T}$ ^[10]
${ displaystyle varphi ' not in T lor varphi not in T}$

Смотрите также

Сноски

^ Тарский 1946 утверждает это так: "Дедуктивная теория называется последовательный или же непротиворечивый если никакие два утвержденных утверждения этой теории не противоречат друг другу, или, другими словами, если из любых двух противоречащих предложений… по крайней мере одно не может быть доказано »(стр. 135), где Тарский определяет противоречивый следующим образом: «С помощью слова нет один формирует отрицание любого предложения; два предложения, первое из которых является отрицанием второго, называются противоречивые предложения"(стр. 20). Это определение требует понятия" доказательство ". Гёдель 1931 определяет это понятие следующим образом: "Класс доказуемые формулы определяется как наименьший класс формул, содержащий аксиомы и замкнутый относительно отношения «немедленное следствие», т. е. формулы c из а и б определяется как немедленное следствие с точки зрения modus ponens или замена; ср Гёдель 1931, van Heijenoort 1967, п. 601. Тарский неофициально определяет «доказательство» как «утверждения следуют друг за другом в определенном порядке в соответствии с определенными принципами ... и сопровождаются соображениями, предназначенными для установления их действительности [истинный вывод для всех истинных посылок - Райхенбах 1947 г., п. 68] "ср Тарский 1946, п. 3. Клини 1952 определяет понятие относительно индукции или перефразирования) конечной последовательности формул, так что каждая формула в последовательности является либо аксиомой, либо «непосредственным следствием» предыдущих формул; "А Доказательство называется доказательством из его последняя формула, и эта формула называется (формально) доказуемо или быть (формальная) теорема "ср. Клини 1952, п. 83.
^ Ходжес, Уилфрид (1997). Более короткая модельная теория. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 37. Позволять ${ displaystyle L}$ быть подписью, ${ displaystyle T}$ теория в ${ displaystyle L _ { infty omega}}$ и ${ displaystyle varphi}$ предложение в ${ displaystyle L _ { infty omega}}$ . Мы говорим что ${ displaystyle varphi}$ это последствие из ${ displaystyle T}$ , или это ${ displaystyle T}$ влечет за собой ${ displaystyle varphi}$ , в символах ${ displaystyle T vdash varphi}$ , если каждая модель ${ displaystyle T}$ это модель ${ displaystyle varphi}$ . (В частности, если ${ displaystyle T}$ нет моделей тогда ${ displaystyle T}$ влечет за собой ${ displaystyle varphi}$ .)
Предупреждение: мы не требуем этого, если ${ displaystyle T vdash varphi}$ тогда есть доказательство ${ displaystyle varphi}$ из ${ displaystyle T}$ . В любом случае, с бесконечными языками не всегда ясно, что будет доказательством. Некоторые писатели используют ${ displaystyle T vdash varphi}$ иметь в виду, что ${ displaystyle varphi}$ выводится из ${ displaystyle T}$ в некотором конкретном формальном исчислении доказательств, и они пишут ${ displaystyle T models varphi}$ для нашего понятия следствия (обозначение, которое противоречит нашему ${ displaystyle A models varphi}$ ). Для логики первого порядка два вида следствия совпадают по теореме о полноте рассматриваемого исчисления доказательств.
Мы говорим что ${ displaystyle varphi}$ является действительный, или является логическая теорема, в символах ${ displaystyle vdash varphi}$ , если ${ displaystyle varphi}$ верно в каждом ${ displaystyle L}$ -структура. Мы говорим что ${ displaystyle varphi}$ является последовательный если ${ displaystyle varphi}$ верно в некоторых ${ displaystyle L}$ -структура. Точно так же мы говорим, что теория ${ displaystyle T}$ является последовательный если есть модель.
Мы говорим, что две теории S и T в L infinity omega эквивалентны, если они имеют одинаковые модели, то есть если Mod (S) = Mod (T). (Обратите внимание на определение Mod (T) на стр.30 ...)
^ van Heijenoort 1967, п. 265 утверждает, что Бернейс определил независимость аксиом Principia Mathematica, результат не публиковался до 1926 года, но он ничего не говорит о том, что Бернейс доказал свою последовательность.
^ Пост доказывает непротиворечивость и полноту исчисления высказываний ПМ, см. Комментарий ван Хейенорта и пост 1931 года. Введение в общую теорию элементарных предложений в van Heijenoort 1967, стр. 264ff. Также Тарский 1946, pp. 134ff.
^ см. комментарий ван Хейенорта и Гёделя 1930 г. Полнота аксиом функционального исчисления логики в van Heijenoort 1967, стр. 582ff.
^ см. комментарий ван Хейенорта и труд Гербрана 1930 г. О последовательности арифметики в van Heijenoort 1967, стр. 618ff.
^ Неформально обычно предполагается теория множеств Цермело – Френкеля; некоторые диалекты неформальной математики обычно предполагают аксиома выбора Кроме того.
^ Это определение не зависит от выбора ${ displaystyle t_ {i}}$ из-за свойств заместительности ${ Displaystyle Equiv}$ и максимальная согласованность ${ displaystyle Phi}$ .
^ общий случай во многих приложениях к другим областям математики, а также обычный способ рассуждения неформальная математика в исчислении и приложениях к физике, химии, технике
^ в соответствии с Законы де Моргана

внешняя ссылка

Мортенсен, Крис. «Непоследовательная математика». Стэнфордская энциклопедия философии.

[1] Тарский 1946 утверждает это так: "Дедуктивная теория называется последовательный или же непротиворечивый если никакие два утвержденных утверждения этой теории не противоречат друг другу, или, другими словами, если из любых двух противоречащих предложений… по крайней мере одно не может быть доказано »(стр. 135), где Тарский определяет противоречивый следующим образом: «С помощью слова нет один формирует отрицание любого предложения; два предложения, первое из которых является отрицанием второго, называются противоречивые предложения"(стр. 20). Это определение требует понятия" доказательство ". Гёдель 1931 определяет это понятие следующим образом: "Класс доказуемые формулы определяется как наименьший класс формул, содержащий аксиомы и замкнутый относительно отношения «немедленное следствие», т. е. формулы c из а и б определяется как немедленное следствие с точки зрения modus ponens или замена; ср Гёдель 1931, van Heijenoort 1967, п. 601. Тарский неофициально определяет «доказательство» как «утверждения следуют друг за другом в определенном порядке в соответствии с определенными принципами ... и сопровождаются соображениями, предназначенными для установления их действительности [истинный вывод для всех истинных посылок - Райхенбах 1947 г., п. 68] "ср Тарский 1946, п. 3. Клини 1952 определяет понятие относительно индукции или перефразирования) конечной последовательности формул, так что каждая формула в последовательности является либо аксиомой, либо «непосредственным следствием» предыдущих формул; "А Доказательство называется доказательством из его последняя формула, и эта формула называется (формально) доказуемо или быть (формальная) теорема "ср. Клини 1952, п. 83.

[2] Ходжес, Уилфрид (1997). Более короткая модельная теория. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 37. Позволять ${ displaystyle L}$ быть подписью, ${ displaystyle T}$ теория в ${ displaystyle L _ { infty omega}}$ и ${ displaystyle varphi}$ предложение в ${ displaystyle L _ { infty omega}}$ . Мы говорим что ${ displaystyle varphi}$ это последствие из ${ displaystyle T}$ , или это ${ displaystyle T}$ влечет за собой ${ displaystyle varphi}$ , в символах ${ displaystyle T vdash varphi}$ , если каждая модель ${ displaystyle T}$ это модель ${ displaystyle varphi}$ . (В частности, если ${ displaystyle T}$ нет моделей тогда ${ displaystyle T}$ влечет за собой ${ displaystyle varphi}$ .)
Предупреждение: мы не требуем этого, если ${ displaystyle T vdash varphi}$ тогда есть доказательство ${ displaystyle varphi}$ из ${ displaystyle T}$ . В любом случае, с бесконечными языками не всегда ясно, что будет доказательством. Некоторые писатели используют ${ displaystyle T vdash varphi}$ иметь в виду, что ${ displaystyle varphi}$ выводится из ${ displaystyle T}$ в некотором конкретном формальном исчислении доказательств, и они пишут ${ displaystyle T models varphi}$ для нашего понятия следствия (обозначение, которое противоречит нашему ${ displaystyle A models varphi}$ ). Для логики первого порядка два вида следствия совпадают по теореме о полноте рассматриваемого исчисления доказательств.
Мы говорим что ${ displaystyle varphi}$ является действительный, или является логическая теорема, в символах ${ displaystyle vdash varphi}$ , если ${ displaystyle varphi}$ верно в каждом ${ displaystyle L}$ -структура. Мы говорим что ${ displaystyle varphi}$ является последовательный если ${ displaystyle varphi}$ верно в некоторых ${ displaystyle L}$ -структура. Точно так же мы говорим, что теория ${ displaystyle T}$ является последовательный если есть модель.
Мы говорим, что две теории S и T в L infinity omega эквивалентны, если они имеют одинаковые модели, то есть если Mod (S) = Mod (T). (Обратите внимание на определение Mod (T) на стр.30 ...)

[3] van Heijenoort 1967, п. 265 утверждает, что Бернейс определил независимость аксиом Principia Mathematica, результат не публиковался до 1926 года, но он ничего не говорит о том, что Бернейс доказал свою последовательность.

[4] Пост доказывает непротиворечивость и полноту исчисления высказываний ПМ, см. Комментарий ван Хейенорта и пост 1931 года. Введение в общую теорию элементарных предложений в van Heijenoort 1967, стр. 264ff. Также Тарский 1946, pp. 134ff.

[5] см. комментарий ван Хейенорта и Гёделя 1930 г. Полнота аксиом функционального исчисления логики в van Heijenoort 1967, стр. 582ff.

[6] см. комментарий ван Хейенорта и труд Гербрана 1930 г. О последовательности арифметики в van Heijenoort 1967, стр. 618ff.

[7] Неформально обычно предполагается теория множеств Цермело – Френкеля; некоторые диалекты неформальной математики обычно предполагают аксиома выбора Кроме того.

[8] Это определение не зависит от выбора ${ displaystyle t_ {i}}$ из-за свойств заместительности ${ Displaystyle Equiv}$ и максимальная согласованность ${ displaystyle Phi}$ .

[9] общий случай во многих приложениях к другим областям математики, а также обычный способ рассуждения неформальная математика в исчислении и приложениях к физике, химии, технике

[10] в соответствии с Законы де Моргана

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

‌Логическая правда ⊤
Функциональный:	значение истины функция истины ⊨ тавтология
Формально:	теория формальное доказательство теорема
Отрицание	⊥ ложный противоречие непоследовательность