Арифметизация анализа - Arithmetization of analysis

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Январь 2015) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В арифметизация анализа была исследовательская программа в основы математики осуществлено во второй половине 19 века.

История

Кронекер впервые ввел термин арифметизация анализа, под которым он имел в виду ее конструктивизацию в контексте натуральных чисел (см. цитату внизу страницы). Позже значение термина изменилось, чтобы обозначить теоретико-множественное построение вещественной прямой. Его главным сторонником был Weierstrass, который утверждал геометрические основы исчисление были недостаточно прочными для кропотливой работы.

Программа исследований

Основные моменты этой исследовательской программы:

• различные (но эквивалентные) конструкции из действительные числа к Дедекинд и Кантор что привело к современному аксиоматическому определению поля действительных чисел;
• эпсилон-дельта определение предел; и
• в наивный теоретико-множественный значение функция.

Наследие

Важным побочным продуктом арифметизации анализа является теория множеств. Теория наивных множеств была создана Кантор и другие после того, как арифметизация была завершена как способ изучения особенностей функций, возникающих в исчислении.

Арифметизация анализа имела несколько важных последствий:

• широко распространенная вера в изгнание бесконечно малые от математики до создания нестандартный анализ к Авраам Робинсон в 1960-е годы, тогда как на самом деле работа над неархимедовыми системами продолжалась безостановочно, как это было задокументировано П. Эрлихом;
• перенос акцента с геометрический к алгебраический рассуждение: это имело важные последствия для современного преподавания математики;
• это сделало возможным развитие современных теория меры к Лебег и зачатки функциональный анализ к Гильберта;
• это мотивировало преобладающую в настоящее время философскую позицию, согласно которой вся математика должна быть выведена из логики и теории множеств, что в конечном итоге привело к Программа Гильберта, Гёдель теоремы и нестандартный анализ.

Котировки

• «Бог создал натуральные числа, все остальное - дело рук человека». - Кронекер

Рекомендации

• Торина Дечаун Льюис (2006) Арифметизация анализа: от Евдокса до Дедекинда, Южный университет.
• Карл Б. Бойер, Ута К. Мерцбах (2011) История математики Джон Вили и сыновья.
• Арифметизация анализа в Энциклопедия математики.