Карты многообразий - Maps of manifolds

А Поверхность Морина, погружение используется в выворот сферы.

В математика, более конкретно в дифференциальная геометрия и топология, различные виды функции между коллекторы изучаются как сами по себе объекты, так и ради света, который они излучают

Типы карт

Подобно тому, как существуют различные типы многообразий, существуют различные типы отображений многообразий.

PDIFF служит для связи DIFF и PL, и он эквивалентен PL.

В геометрическая топология, основные типы карт соответствуют разным категории коллекторов: DIFF для гладкие функции между дифференцируемые многообразия, PL для кусочно-линейные функции между кусочно-линейные многообразия, и TOP для непрерывные функции между топологические многообразия. Это все более слабые структуры, правильно соединенные через PDIFF, категория кусочно -гладкие отображения между кусочно-гладкими многообразиями.

В дополнение к этим общим категориям карт существуют карты со специальными свойствами; они могут образовывать категории, а могут и не образовывать, и могут обсуждаться, а могут и не обсуждаться категорично.

Правша трилистник.

В геометрическая топология основным типом являются вложения, из которых теория узлов является центральным примером и обобщениями, такими как погружения, погружения, перекрытия, и разветвленные перекрытия. Основные результаты включают Теорема вложения Уитни и Теорема Уитни об погружении.

Риманова поверхность для функции ж(z) = √z, показанный как разветвленное перекрытие комплексной плоскости.

В сложной геометрии разветвленные перекрытия используются для моделирования Римановы поверхности, а также для анализа карт между поверхностями, например Формула Римана – Гурвица.

В римановой геометрии можно попросить отображения для сохранения римановой метрики, что приводит к понятиям изометрические вложения, изометрические погружения, и Римановы погружения; основной результат - это Теорема вложения Нэша.

Скалярные функции

Трехмерный цветной график сферические гармоники степени ${displaystyle n = 5}$

Основным примером отображений между многообразиями являются скалярнозначные функции на многообразии, ${displaystyle scriptstyle fcolon M o mathbb {R}}$ или же ${displaystyle scriptstyle fcolon M o mathbb {C},}$ иногда называют регулярные функции или же функционалы, по аналогии с алгебраической геометрией или линейной алгеброй. Они представляют интерес как сами по себе, так и для изучения лежащего в основе многообразия.

В геометрической топологии наиболее часто изучаются: Функции Морса, которые дают ручка разложения, которые обобщаются на Функции Морса – Ботта и может использоваться, например, для понимания классических групп, таких как в Периодичность Ботта.

В математический анализ, часто изучают решение уравнения в частных производных, важным примером чего является гармонический анализ, где учится гармонические функции: ядро Оператор Лапласа. Это приводит к таким функциям, как сферические гармоники, и чтобы тепловое ядро методы изучения многообразий, такие как слышать форму барабана и некоторые доказательства Теорема Атьи – Зингера об индексе.

В монодромия вокруг необычность или же точка разветвления является важной частью анализа таких функций.

Кривые и пути

А геодезический на Американский футбол иллюстрируя доказательство Громова гипотеза о площади заполнения в систолическая геометрия, в гиперэллиптическом случае (см. объяснение ).

Двойственные к скалярнозначным функциям - карты ${displaystyle scriptstyle M o mathbb {R}}$ - карты ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} o M,}$ которые соответствуют кривым или путям в многообразии. Можно также определить их, где домен представляет собой интервал ${displaystyle [a, b],}$ особенно единичный интервал ${displaystyle [0,1],}$ или где область представляет собой круг (то есть периодический путь) S¹, что дает цикл. Они используются для определения фундаментальная группа, цепи в теория гомологии, геодезический кривые, и систолическая геометрия.

Встроенные пути и петли ведут к теория узлов, и связанные структуры, такие как ссылки, косы, и путаница.

Метрические пространства

Римановы многообразия - частные случаи метрические пространства, и, следовательно, есть понятие Липшицевость, Условие Гёльдера вместе с грубая структура, что приводит к таким понятиям, как грубые отображения и связи с геометрическая теория групп.

Смотрите также

• Категория: Карты многообразий