Музыка и математика - Music and mathematics

А спектрограмма формы волны скрипки с линейной частотой по вертикальной оси и временем по горизонтальной оси. Яркие линии показывают, как спектральные составляющие меняются во времени. Окраска интенсивности логарифмическая (черный - -120 дБ полной шкалы).

Теория музыки не имеет аксиоматический фундамент в современном математика, хотя в последнее время в этом направлении проделана интересная работа (см. Внешняя ссылка), но основа музыкального звук можно описать математически (в акустика ) и демонстрирует «замечательный набор числовых свойств».^[1] Элементы музыки такие как его форма, ритм и метр, то поля своего Примечания и темп своего пульс может быть связано с измерение времени и частота, предложение готово аналогии в геометрия.

Попытка структурировать и передать новые способы сочинения и прослушивания музыки привела к музыкальным приложениям теория множеств, абстрактная алгебра и теория чисел. Некоторые композиторы включили Золотое сечение и Числа Фибоначчи в их работу.^[2][3]

История

Хотя известно, что древние китайцы, индийцы, египтяне и месопотамцы изучали математические принципы звука,^[4] то Пифагорейцы (особенно Филолай и Archytas )^[5] древней Греции были первыми исследователями, которые, как известно, исследовали выражение музыкальные гаммы с точки зрения численного соотношения,^[6] особенно отношения маленьких целых чисел. Их центральная доктрина заключалась в том, что «вся природа состоит из гармония возникающие из чисел ".^[7]

С момента Платон, гармония считалась фундаментальной ветвью физика, теперь известный как музыкальная акустика. Рано Индийский и Китайский теоретики демонстрируют похожие подходы: все стремились показать, что математические законы гармоники и ритмы были основополагающими не только для нашего понимания мира, но и для благополучия людей.^[8] Конфуций Подобно Пифагору, малые числа 1,2,3,4 считал источником всего совершенства.^[9]

Время, ритм и метр

Без границ ритмической структуры - принципиальное ровное и правильное расположение пульс репетиция, акцент, фраза и продолжительность - музыка была бы невозможна.^[10] Современное музыкальное употребление таких терминов, как метр и мера также отражает историческое значение музыки, наряду с астрономией, в развитии счета, арифметики и точного измерения времени и периодичность это фундаментально для физики.^{[нужна цитата ]}

Элементы музыкальной формы часто строят строгие пропорции или гиперметрические структуры (степени чисел 2 и 3).^[11]

Музыкальная форма

Музыкальная форма - это план, с помощью которого расширяется короткое музыкальное произведение. Термин «план» также используется в архитектуре, с которой часто сравнивают музыкальную форму. Как и архитектор, композитор должен учитывать функцию, для которой предназначена работа, и доступные средства, практикуя экономию и используя повторение и порядок.^[12] Распространенные типы форм, известные как двоичный и тройной («двойное» и «тройное») еще раз демонстрируют важность малых интегральных величин для разборчивости и привлекательности музыки.^[13][14]

Частота и гармония

Фигуры Хладни производятся звуковыми колебаниями в мелком порошке на квадратной пластине. (Эрнст Хладни, Акустика, 1802)

А музыкальная гамма дискретный набор поля используется при создании или описании музыки. Самая важная шкала в западной традиции - это диатоническая шкала но многие другие использовались и предлагались в различные исторические эпохи и в разных частях света. Каждый шаг соответствует определенной частоте, выраженной в герцах (Гц), иногда называемой циклами в секунду (c.p.s.). Шкала имеет интервал повторения, обычно октава. В октава любой высоты звука относится к частоте, вдвое превышающей заданную высоту звука.

Последующие супероктавы - это тональные сигналы, обнаруженные на частотах в четыре, восемь, шестнадцать раз и так далее от основной частоты. Высота звука на частотах, составляющих половину, четверть, одну восьмую и т.д. основной гармоники, называется субоктавами. В музыкальной гармонии нет случая, когда, если данная высота звука считается соответствующей, ее октавы считаются иначе. Таким образом, любая нота и ее октавы обычно имеют одинаковые названия в музыкальных системах (например, все будут называться дох или же А или же Сб, в зависимости от обстоятельств).

Когда выражается как ширина полосы частот в октаве А₂–A₃ диапазон от 110 Гц до 220 Гц (диапазон = 110 Гц). Следующая октава будет охватывать от 220 Гц до 440 Гц (диапазон = 220 Гц). Третья октава находится в диапазоне от 440 Гц до 880 Гц (полоса обзора = 440 Гц) и так далее. Каждая последующая октава охватывает двойной частотный диапазон предыдущей октавы.

Экспоненциальный характер октав при измерении по линейной шкале частот.

На этой диаграмме октавы представлены в виде музыкальных интервалов, расположенных через равные промежутки времени.

Потому что нас часто интересуют отношения или соотношения между полями (известный как интервалы ), а не сами точные высоты тона при описании шкалы, обычно ко всем шагам шкалы относятся в терминах их отношения от конкретной высоты тона, которой дается значение единицы (часто пишется 1/1), обычно примечание, которое функционирует как тоник шкалы. Для сравнения размера интервала, центы часто используются.

Распространенное имя	Пример имя Гц	Несколько фундаментальных	Соотношение в пределах октавы	Центов в пределах октавы
Фундаментальный	А2, 110	1Икс	1/1 = 1Икс	0
Октава	А3 220	2Икс	2/1 = 2Икс	1200
			2/2 = 1Икс	0
Идеальный пятый	E4 330	3Икс	3/2 = 1.5Икс	702
Октава	А4 440	4Икс	4/2 = 2Икс	1200
			4/4 = 1Икс	0
Майор третий	C♯5 550	5Икс	5/4 = 1.25Икс	386
Идеальный пятый	E5 660	6Икс	6/4 = 1.5Икс	702
Гармоническая седьмая	грамм5 770	7Икс	7/4 = 1.75Икс	969
Октава	А5 880	8Икс	8/4 = 2Икс	1200
			8/8 = 1Икс	0

Системы тюнинга

Есть два основных семейства тюнинговых систем: равный темперамент и просто тюнинг. Шкалы равных темпераментов строятся путем деления октавы на интервалы, равные логарифмическая шкала, что приводит к идеально равномерно разделенным шкалам, но с отношениями частот, которые иррациональные числа. Просто шкалы строятся путем умножения частот на рациональное число, что приводит к простому соотношению частот, но с неравномерным делением шкалы.

Одно из основных различий между настройками одинаковой темперации и просто настройками заключается в различиях в акустический ритм когда две ноты звучат вместе, что влияет на субъективное восприятие созвучие и диссонанс. Обе эти системы и подавляющее большинство музыки в целом имеют гаммы, которые повторяются в каждом интервале. октава, который определяется как отношение частот 2: 1. Другими словами, каждый раз, когда частота удваивается, данный масштаб повторяется.

Ниже приведены Ogg Vorbis файлы, демонстрирующие разницу между интонацией и ровным темпераментом. Возможно, вам придется воспроизвести сэмплы несколько раз, прежде чем вы сможете обнаружить разницу.

• Две синусоидальные волны воспроизводятся последовательно - у этого сэмпла полушаг на 550 Гц (C♯ в шкале только интонации), затем следует полутон на 554,37 Гц (C♯ в шкале равных темпераментов).
• Те же две ноты на фоне педали A440 - этот образец состоит из "диада ". Нижняя нота - это константа A (440 Гц в любой гамме), верхняя нота - это C♯ в равномерно темперированной шкале для первых 1 дюймов и C♯ в шкале правильных интонаций за последнюю 1 ". Фаза различия позволяют легче обнаружить переход, чем в предыдущем примере.

Просто настройки

Первые 16 гармоник, их названия и частоты, демонстрирующие экспоненциальный характер октавы и простой дробный характер неоктавных гармоник.

Первые 16 гармоник с частотами и логарифмическими частотами.

5-предельная настройка, наиболее распространенная форма просто интонация, это система настройки с использованием тонов, обычный номер гармоники одного основная частота. Это была одна из шкал Иоганн Кеплер представлен в его Harmonices Mundi (1619) в связи с движением планет. Та же шкала была дана в транспонированной форме шотландским математиком и теоретиком музыки Александром Малькольмом в 1721 году в его «Трактате о музыке: умозрительное, практическое и историческое».^[15] и теоретиком Хосе Вюршмидт в 20 веке. Его форма используется в музыке северной Индии.

Американский композитор Терри Райли также использовал его перевернутую форму в своей «Арфе Нового Альбиона». Просто интонация дает превосходные результаты, когда мало или совсем нет последовательность аккордов: голоса и другие инструменты по возможности тяготеют к интонации. Однако он дает два разных полных тональных интервала (9: 8 и 10: 9), поскольку инструмент с фиксированной настройкой, например фортепиано, не может менять тональность.^[16] Чтобы вычислить частоту ноты в масштабе, заданном в терминах отношений, соотношение частот умножается на частоту тоники. Например, с тоником A4 (Естественный выше среднего C), частота 440Гц, а правильно настроенная квинта над ней (E5) просто 440 × (3: 2) = 660 Гц.

Пифагорейский тюнинг это настройка, основанная только на идеальных созвучиях, (идеальной) октаве, идеальной пятой и идеальной четверти. Таким образом, основная треть считается не третьим, а ditone, буквально «два тона», и (9: 8)² = 81:64, а не независимые и гармонические как раз 5: 4 = 80:64 прямо под ним. Целый тон - это второстепенный интервал, полученный из двух совершенных пятых (3: 2)² = 9:8.

Только большая треть, 5: 4 и второстепенная треть, 6: 5, являются синтоническая запятая, 81:80, за исключением их пифагорейских эквивалентов 81:64 и 32:27 соответственно. В соответствии с Карл Дальхаус (1990 г., п. 187), «зависимая треть соответствует пифагорейскому принципу, независимая треть - гармонической настройке интервалов».

Западный музыка для общей практики обычно не может быть воспроизведен в интонации, но требует систематического темперирования. Закалка может включать в себя неровности хороший темперамент или быть построенным как регулярный темперамент, либо какая-то форма равный темперамент или какой-либо другой обычный означает один, но во всех случаях будет включать фундаментальные особенности имел в виду один темперамент. Например, основной тон аккорда ii, если он настроен на квинту выше доминанты, будет мажорный цельный тон (9: 8) над тоникой. Однако, если настроить только минорную треть (6: 5) ниже субдоминантной степени 4: 3, интервал от тоники будет равен минорному целому тону (10: 9). Темперамент среднего тона уменьшает разницу между 9: 8 и 10: 9. Их соотношение (9: 8) / (10: 9) = 81:80 рассматривается как унисон. Интервал 81:80, названный синтоническая запятая или запятая от Didymus, это ключевая запятая в значении темперамента.

Настройки равной темперации

В равный темперамент, октава делится на равные части по логарифмической шкале. При этом можно построить равную темпераментную гамму с любым количеством нот (например, 24-тональная Арабская тональная система ), наиболее распространенное число - 12, что составляет равномерный хроматическая шкала. В западной музыке обычно предполагается деление на двенадцать интервалов, если не указано иное.

Для хроматической гаммы октава делится на двенадцать равных частей, каждый полутон (полутон) представляет собой интервал корень двенадцатой степени из двух так что двенадцать из этих равных полушагов в сумме дают ровно октаву. При работе с ладовыми инструментами очень полезно использовать равную темперацию, чтобы лады были равномерно выровнены по струнам. В европейской музыкальной традиции одинаковый темперамент использовался для лютневой и гитарной музыки намного раньше, чем для других инструментов, таких как музыкальные клавиатуры. Из-за этой исторической силы двенадцатитональный равный темперамент в настоящее время является доминирующей системой интонации в западном и большей части незападного мира.

Были использованы шкалы с одинаковым темпом и инструменты, построенные с использованием различных других чисел равных интервалов. В 19 ровный темперамент, впервые предложенный и используемый Гийом Костелей в 16 веке использует 19 равноотстоящих тонов, предлагая лучшие мажорные трети и намного лучшие минорные трети, чем нормальная 12-полутоновая равная темперация за счет более плоской квинты. Общий эффект еще более созвучен. Двадцать четыре одинаковых темперамента, с двадцатью четырьмя равномерно расположенными тонами, широко распространена в педагогике и обозначение из Арабская музыка. Однако в теории и на практике интонация арабской музыки соответствует рациональные соотношения, в отличие от иррациональные соотношения одинаково закаленных систем.^[17]

Хотя любой аналог столь же закаленного четверть тона полностью отсутствует в арабских интонационных системах, аналогах трехчетвертного тона, или нейтральная секунда, часто встречаются. Однако эти нейтральные секунды немного различаются по своему соотношению в зависимости от макам, а также география. Действительно, арабский историк музыки Хабиб Хасан Тома написал, что «широта отклонения этого музыкального шага является решающим ингредиентом своеобразного аромата арабской музыки. Умереть гамму, разделив октаву на двадцать четыре четвертьтона равного размера, - значит отказаться от одного из самых характерные элементы этой музыкальной культуры ».^[17]

53 ровный темперамент возникает из почти равенства 53 идеальные квинты с 31 октавой, и был отмечен Цзин Фан и Николас Меркатор.

Связь с математикой

Теория множеств

Теория музыкального множества использует язык математических теория множеств элементарно организовать музыкальные объекты и описать их взаимосвязь. Анализ структуры музыкального произведения (обычно атонального) с использованием теории музыкальных множеств обычно начинается с набора тонов, которые могут образовывать мотивы или аккорды. Применяя простые операции, такие как транспозиция и инверсия, в музыке можно обнаружить глубокие структуры. Такие операции, как транспонирование и инверсия, называются изометрии потому что они сохраняют интервалы между тонами в наборе.

Абстрактная алгебра

Расширяя методы теории музыкальных множеств, некоторые теоретики использовали абстрактную алгебру для анализа музыки. Например, классы высоты тона в равно темперированной октаве образуют абелева группа с 12 элементами. Можно описать просто интонация с точки зрения свободная абелева группа.^[18][19]

Трансформационная теория это раздел теории музыки, разработанный Дэвид Левин. Теория допускает большую общность, потому что она подчеркивает трансформации между музыкальными объектами, а не сами музыкальные объекты.

Теоретики также предложили музыкальные приложения более сложных алгебраических концепций. Теория регулярных темпераментов получила широкое развитие с помощью широкого диапазона сложных математических методов, например, путем сопоставления каждого регулярного темперамента с рациональной точкой Грассманиан.

В хроматическая шкала имеет свободное и переходное действие циклическая группа ${displaystyle mathbb {Z} / 12mathbb {Z}}$, при этом действие определяется через транспозиция заметок. Таким образом, хроматический масштаб можно рассматривать как торсор для группы

Теория категорий

В математик и музыковед Герино Маццола использовал теория категорий (теория топоса ) для основы теории музыки, которая включает использование топология в качестве основы теории ритм и мотивы, и дифференциальная геометрия в качестве основы теории музыкальная фразировка, темп, и интонация.^[20]

Смотрите также

 Музыкальный портал

Рекомендации

• Дальхаус, Карл. 1990 г. Wagners Konzeption des Musikalischen Dramas. Deutscher Taschenbuch Verlag. Кассель: Bärenreiter. ISBN  9783423045384; ISBN  9783761845387.
• Айвор Граттан-Гиннесс (1995) «Моцарт 18, Бетховен 32: Скрытые тени целых чисел в классической музыке», страницы с 29 по 47 в История математики: современное состояние, Джозеф В. Даубен, Менсо Фолкертс, Эберхард Кноблох и Ханс Вуссинг редакторы, Академическая пресса ISBN  0-12-204055-4

внешняя ссылка

• Аксиоматическая теория музыки С.М. Немати
• Музыка и математика Томас Э. Фьоре
• Двенадцатитоновая музыкальная гамма.
• Сонантометрия или музыка как математическая дисциплина.
• Музыка: математическое приношение Дэйва Бенсона.
• Николаус Меркатор: использование теории отношения в музыке в Конвергенция
• Игра в бисер Герман Гессе дал музыке и математике решающую роль в развитии своей игры в бисер.
• Гармония и пропорция. Пифагор, Музыка и космос.
• «Линейная алгебра и музыка»
• Notefreqs - Полная таблица частот и соотношений нот для миди, фортепиано, гитары, баса и скрипки. Включает размеры ладов (в сантиметрах и дюймах) для строительных инструментов.
• Математика и музыка, Дискуссия BBC Radio 4 с Маркусом дю Сотуа, Робином Уилсоном и Рут Татлоу (В наше время, 25 мая 2006 г.)