Математическая красота - Mathematical beauty

Пример «красоты в методе» - простой и элегантный визуальный дескриптор теорема Пифагора.

Математическая красота это эстетический удовольствие, обычно получаемое от абстрактности, чистоты, простоты, глубины или упорядоченности математика.[1] Математики часто выражают это удовольствие, описывая математику (или, по крайней мере, какой-то аспект математики) как красивая. Они также могут описать математику как форму искусства (например, позицию, занятую Г. Х. Харди[2]) или, как минимум, как творческая деятельность. Часто сравнивают музыку и стихи.

Бертран Рассел выразил свое чувство математической красоты такими словами:

Математика, с правильной точки зрения, обладает не только истиной, но и высочайшей красотой - красотой холодной и суровой, как красота скульптуры, не обращающейся ни к какой части нашей более слабой природы, без великолепных атрибутов живописи или музыки, но безупречно чистой и способной сурового совершенства, которое может показать только величайшее искусство. Истинный дух восторга, возвышения, чувство того, что вы больше, чем человек, который является пробным камнем высочайшего совершенства, можно найти в математике так же верно, как и в поэзии.[3]

Пол Эрдёш выразил свое мнение о невыразимость математики, когда он сказал: «Почему числа красивы? Это все равно, что спросить, почему Девятая симфония Бетховена красивая. Если вы не понимаете почему, никто не может вам сказать. я знать числа красивые. Если они не красивы, то ничего нет ".[4]

Красота в методе

Математики описывают особенно приятный метод доказательство в качестве элегантный. В зависимости от контекста это может означать:

  • Доказательство, использующее минимум дополнительных предположений или предыдущих результатов.
  • Доказательство необычайно лаконичное.
  • Доказательство, которое неожиданным образом приводит к результату (например, из явно несвязанного теорема или сборник теорем).
  • Доказательство, основанное на новых и оригинальных выводах.
  • Метод доказательства, который можно легко обобщить для решения семейства подобных задач.

В поисках элегантного доказательства математики часто ищут разные независимые способы доказательства результата, поскольку первое найденное доказательство часто можно улучшить. Теорема, для которой было обнаружено наибольшее количество различных доказательств, вероятно, является теорема Пифагора, и к настоящему времени опубликованы сотни доказательств.[5] Другая теорема, доказанная множеством различных способов, - это теорема квадратичная взаимность. Фактически, Карл Фридрих Гаусс у одного было восемь различных доказательств этой теоремы, шесть из которых он опубликовал.[6]

И наоборот, результаты, которые логически верны, но требуют трудоемких вычислений, чрезмерно сложных методов, весьма традиционных подходов или большого количества мощных аксиомы или предыдущие результаты обычно не считаются элегантными, и их даже можно назвать уродливый или же неуклюжий.

Красота в результатах

Начинается с е0 = 1, движущийся со скоростью я относительно своего положения на время π, и добавив 1, мы придем к нулю (диаграмма представляет собой Диаграмма Аргана.)

Некоторые математики видят красоту в математических результатах, которые устанавливают связи между двумя областями математики, которые на первый взгляд кажутся не связанными друг с другом.[7] Эти результаты часто описываются как глубокий. Хотя трудно прийти к единому мнению о том, является ли результат глубоким, некоторые примеры приводятся чаще, чем другие. Одним из таких примеров является Тождество Эйлера:[8]

Тождество Эйлера - частный случай Формула Эйлера, который физик Ричард Фейнман называется «наша жемчужина» и «самая замечательная формула в математике».[9] Современные примеры включают теорема модульности, что устанавливает важную связь между эллиптические кривые и модульные формы (работа над которой привела к присуждению Приз Вольфа к Эндрю Уайлс и Роберт Лэнглендс ), и "чудовищный самогон ", который соединяет Группа монстров к модульные функции через теория струн (для которого Ричард Борчердс был награжден Медаль Филдса ).

Другие примеры глубоких результатов включают неожиданное понимание математических структур. Например, Гаусса Теорема Egregium это глубокая теорема, которая связывает локальное явление (кривизна ) к глобальному явлению (площадь ) удивительным образом. В частности, площадь треугольника на изогнутой поверхности пропорциональна избытку треугольника, а пропорциональность - кривизне. Другой пример - основная теорема исчисления[10] (и его векторные версии, включая Теорема Грина и Теорема Стокса ).

Противоположно глубокий является банальный. Тривиальная теорема может быть результатом, который может быть очевидным и прямым образом выведен из других известных результатов или применим только к определенному набору конкретных объектов, таких как пустой набор. Однако в некоторых случаях формулировка теоремы может быть достаточно оригинальной, чтобы считаться глубокой, даже если ее доказательство довольно очевидно.

В его Извинения математика, Харди предполагает, что красивое доказательство или результат обладают «неизбежностью», «неожиданностью» и «экономией».[11]

Рота однако не соглашается с неожиданностью как необходимым условием красоты и предлагает контрпример:

Большое количество математических теорем при первой публикации кажутся удивительными; например, около двадцати лет назад [с 1977 года] доказательство существования неэквивалентные дифференцируемые структуры на сферах большой размерности считалось удивительным, но никому не приходило в голову назвать такой факт прекрасным ни тогда, ни сейчас.[12]

По иронии судьбы Монастырский пишет:

В прошлом очень трудно найти аналогичное изобретение, чтобы Милнор красивое построение различных дифференциальных структур на семимерной сфере ... Первоначальное доказательство Милнора было не очень конструктивным, но позже Э. Брискорн показал, что эти дифференциальные структуры могут быть описаны в чрезвычайно явной и красивой форме.[13]

Это несогласие иллюстрирует как субъективную природу математической красоты, так и ее связь с математическими результатами: в данном случае не только существование экзотических сфер, но и их конкретная реализация.

Красота в опыте

«Холодная и суровая красота» была приписана соединение пяти кубиков

Интерес к чистая математика это отдельно от эмпирический учеба была частью опыта различных цивилизаций, в том числе древние греки, который «занимался математикой ради красоты».[14] Эстетическое удовольствие, которое математические физики имеют тенденцию испытывать в теории Эйнштейна общая теория относительности был приписан Поль Дирак, среди прочего) к его «великой математической красоте».[15] Красота математики открывается, когда физическая реальность объектов представлены математические модели. Теория групп, разработанная в начале 1800-х годов с единственной целью решить многочлен уравнения, стал плодотворным способом категоризации элементарные частицы - строительные блоки материи. Точно так же изучение узлы дает важную информацию о теория струн и петля квантовой гравитации.

Некоторые считают, что для того, чтобы ценить математику, нужно заниматься математикой.[16]Например, Математический круг это внешкольная программа дополнительного образования, в которой учащиеся изучают математику с помощью игр и заданий; есть также некоторые учителя, которые поощряют участие студентов обучая математике кинестетическим способом (см. кинестетическое обучение ).

На общем уроке кружка математики учащиеся используют поиск закономерностей, наблюдение и исследование, чтобы делать свои собственные математические открытия. Например, математическая красота проявляется в деятельности математического кружка на симметрия разработан для учащихся 2-х и 3-х классов, где ученики создают свои собственные снежинки, складывая квадратный лист бумаги и вырезая рисунки по своему выбору по краям сложенного листа. Когда бумага развернута, проявляется симметричный рисунок. На повседневных уроках математики в начальной школе симметрия может быть представлена ​​как таковая в художественной манере, когда учащиеся видят эстетически приятные результаты по математике.

Некоторые учителя предпочитают использовать математические манипуляторы представить математику эстетически приятным образом. Примеры манипуляций включают: плитки алгебры, удочки Cuisenaire, и блоки шаблона. Например, можно научить методу завершение квадрата используя плитки алгебры. Стержни Cuisenaire могут использоваться для обучения дробям, а блоки шаблонов могут использоваться для обучения геометрии. Использование математических манипуляций помогает студентам получить концептуальное понимание, которое нельзя сразу увидеть в письменных математических формулах.[17]

Другой пример красоты в опыте включает использование оригами. Оригами, искусство складывания бумаги, обладает эстетическими качествами и множеством математических связей. Можно изучить математика складывания бумаги наблюдая узор складки на развернутых частях оригами.[18]

Комбинаторика, изучение счета, имеет художественные представления, которые некоторые считают математически красивыми.[19] Есть много наглядных примеров, иллюстрирующих комбинаторные концепции. Некоторые из тем и объектов, рассматриваемых на курсах комбинаторики с визуальными представлениями, включают, среди прочего:

Красота и философия

Некоторые математики считают, что занятия математикой ближе к открытиям, чем к изобретениям, например:

Нет ни одного научного первооткрывателя, поэта, художника или музыканта, который не сказал бы вам, что он нашел готовым свое открытие, стихотворение или картину, - что оно пришло к нему извне и что он не создавал его сознательно изнутри. .

— Уильям Кингдон Клиффорд, из лекции для Королевского института под названием «Некоторые из условий умственного развития»

Эти математики полагают, что подробные и точные результаты математики можно разумно считать истинными, вне зависимости от вселенной, в которой мы живем. Например, они утверждают, что теория натуральные числа фундаментально действителен и не требует какого-либо конкретного контекста. Некоторые математики экстраполировали эту точку зрения, что математическая красота является истиной, в некоторых случаях становясь мистика.

В Платон В философии России существовало два мира: физический, в котором мы живем, и другой абстрактный мир, содержащий неизменную истину, включая математику. Он считал, что физический мир был просто отражением более совершенного абстрактного мира.[20]

Венгерский математик Пол Эрдёш[21] говорил о воображаемой книге, в которую Бог записал все прекраснейшие математические доказательства. Когда Эрдёш хотел выразить особую признательность за доказательство, он восклицал: «Это из Книги!»

Французский философ ХХ века Ален Бадью заявляет, что онтология это математика.[22] Бадью также верит в глубокую связь между математикой, поэзией и философией.

В некоторых случаях натурфилософы и другие ученые, широко использовавшие математику, сделали скачки между красотой и физической истиной, но это оказалось ошибочным. Например, на одном из этапов своей жизни Иоганн Кеплер считали, что пропорции орбит известных тогда планет в Солнечная система были организованы Бог соответствовать концентрическому расположению пяти Платоновы тела, каждая орбита лежит на окружающая сфера одного многогранник и вдохновлять другого. Поскольку существует ровно пять Платоновых тел, гипотеза Кеплера могла учитывать только шесть планетных орбит и была опровергнута последующим открытием Уран.

Красота и математическая теория информации

В 1970-е годы Авраам Молес и Frieder Nake проанализировали связи между красотой, обработка информации, и теория информации.[23][24] В 1990-е годы Юрген Шмидхубер сформулировал математическую теорию субъективной красоты, зависящей от наблюдателя, основанную на алгоритмическая теория информации: самые красивые объекты среди субъективно сопоставимых объектов имеют короткие алгоритмический описания (т. е. Колмогоровская сложность ) относительно того, что наблюдатель уже знает.[25][26][27] Шмидхубер четко различает красивое и интересное. Последний соответствует первая производная субъективно воспринимаемой красоты: наблюдатель постоянно пытается улучшить предсказуемость и сжимаемость наблюдений, обнаруживая закономерности, такие как повторения и симметрии и фрактал самоподобие. Всякий раз, когда процесс обучения наблюдателя (возможно, искусственный нейронная сеть ) приводит к улучшенному сжатию данных, так что последовательность наблюдений может быть описана меньшим количеством биты чем раньше, временная интересность данных соответствует прогрессу сжатия и пропорциональна вознаграждению за внутреннее любопытство наблюдателя.[28][29]

Математика и искусство

Основные статьи: Математика и искусство, Математика и музыка, и Математика и архитектура

Музыка

Примеры использования математики в музыке включают стохастическая музыка из Яннис Ксенакис, Фибоначчи в Инструмент с Латеральный, контрапункт Иоганн Себастьян Бах, полиритмический структуры (как в Игорь Стравинский с Обряд весны ), Метрическая модуляция из Эллиот Картер, перестановка теория в сериализм начиная с Арнольд Шенберг, и применение тонов Шепарда в Карлхайнц Штокхаузен с Гимнен.

Изобразительное искусство

Диаграмма из Леон Баттиста Альберти 1435 год Делла Питтура, с колоннами в перспектива на сетке

Примеры использования математики в изобразительном искусстве включают приложения теория хаоса и фрактал геометрия к компьютерное искусство, симметрия исследования Леонардо да Винчи, проективные геометрии в развитии перспектива теория эпоха Возрождения Изобразительное искусство, сетки в Оп-арт, оптическая геометрия в камера-обскура из Джамбаттиста делла Порта, и множественная перспектива в аналитических кубизм и футуризм.

Голландский графический дизайнер М. К. Эшер созданы математически вдохновленные гравюры на дереве, литографии, и меззотинты. Это невозможные конструкции, исследования бесконечность, архитектура, визуальный парадоксы и мозаика. Британский художник-конструктор Джон Эрнест создавал рельефы и картины, вдохновленные теорией групп.[30] Ряд других британских художников конструкционистской и системной школ мысли также черпают вдохновение в математических моделях и структурах, включая Энтони Хилл и Питер Лоу.[31] Компьютерное искусство основано на математических алгоритмы.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - красота". Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-10-31.
  2. ^ «Цитаты Харди». www-history.mcs.st-andrews.ac.uk. Получено 2019-10-31.
  3. ^ Рассел, Бертран (1919). «Изучение математики». Мистицизм и логика: и другие очерки. Longman. п.60. Получено 2008-08-22. Правильно рассматриваемая математика обладает не только истиной, но и высочайшей красотой, красотой, холодной и суровой, как красота скульптуры, не обращаясь ни к какой части нашей более слабой природы без великолепных атрибутов Рассела.
  4. ^ Девлин, Кейт (2000). «У математиков разные мозги?». Математический ген: как эволюционировало математическое мышление и почему числа похожи на сплетни. Базовые книги. п.140. ISBN  978-0-465-01619-8. Получено 2008-08-22.
  5. ^ Элиша Скотт Лумис опубликовал более 360 доказательств в своей книге «Предложение Пифагора» (ISBN  0-873-53036-5).
  6. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Квадратичная теорема взаимности". mathworld.wolfram.com. Получено 2019-10-31.
  7. ^ Рота (1997), п. 173.
  8. ^ Галлахер, Джеймс (13 февраля 2014 г.). «Математика: почему мозг видит в математике красоту». BBC News онлайн. Получено 13 февраля 2014.
  9. ^ Фейнман, Ричард П. (1977). Лекции Фейнмана по физике. я. Эддисон-Уэсли. С. 22–10. ISBN  0-201-02010-6.
  10. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Основные теоремы исчисления». mathworld.wolfram.com. Получено 2019-10-31.
  11. ^ Харди, Г. «18». Извинения математика.
  12. ^ Рота (1997), п. 172.
  13. ^ Монастырский (2001), Некоторые тенденции в современной математике и медаль Филдса
  14. ^ Ланг, стр. 3
  15. ^ Чандрасекхар, стр. 148
  16. ^ Филлипс, Джордж (2005). "Предисловие". Математика - это не зрелищный спорт. Springer Science + Business Media. ISBN  0-387-25528-1. Получено 2008-08-22. «... в мире математики нет ничего, что соответствовало бы аудитории в концертном зале, где пассивные слушают активных. К счастью, математики все деятели, а не зрители.
  17. ^ Соуэлл, Э (1989). "Эффекты манипулятивных материалов в обучении математике". Журнал исследований в области математического образования. 20 (5): 498–505. Дои:10.2307/749423. JSTOR  749423.
  18. ^ Халл, Томас. «Проект оригами: упражнения для изучения математики». Тейлор и Фрэнсис, 2006.
  19. ^ Бруальди, Ричард. «Вводная комбинаторика». Пирсон, 2009.
  20. ^ Линнебо, Эйстейн (2018), «Платонизм в философии математики», в Залте, Эдвард Н. (ред.), Стэнфордская энциклопедия философии (Издание весны 2018 г.), Исследовательская лаборатория метафизики Стэнфордского университета, получено 2019-10-31
  21. ^ Шехтер, Брюс (2000). Мой мозг открыт: математические путешествия Пола Эрдёша. Нью-Йорк: Саймон и Шустер. С. 70–71. ISBN  0-684-85980-7.
  22. ^ «Ален Бадью: онтология и структурализм». Журнал Ceasefire. 2014-04-02. Получено 2019-10-31.
  23. ^ А. Родинки: Теория информации и эстетического восприятия, Париж, Деноэль, 1973 (Теория информации и эстетическое восприятие)
  24. ^ Ф. Наке (1974). Ästhetik als Informationsverarbeitung. (Эстетика как обработка информации). Grundlagen und Anwendungen der Informatik im Bereich ästhetischer Produktion und Kritik. Спрингер, 1974 г., ISBN  3-211-81216-4, ISBN  978-3-211-81216-7
  25. ^ J. Schmidhuber. Искусство низкой сложности. Леонардо, Журнал Международного общества искусств, наук и технологий (Леонардо / ISAST ), 30(2):97–103, 1997. Дои:10.2307/1576418. JSTOR  1576418.
  26. ^ J. Schmidhuber. Статьи по теории красоты и искусство низкой сложности с 1994 г .: http://www.idsia.ch/~juergen/beauty.html
  27. ^ J. Schmidhuber. Простые алгоритмические принципы открытия, субъективной красоты, избирательного внимания, любопытства и творчества. Proc. 10-й международный Конф. on Discovery Science (DS 2007), стр. 26–38, LNAI 4755, Springer, 2007. Также в Proc. 18-й международный Конф. по теории алгоритмического обучения (ALT 2007) с. 32, LNAI 4754, Springer, 2007. Совместная приглашенная лекция для DS 2007 и ALT 2007, Сендай, Япония, 2007. arXiv:0709.0674.
  28. ^ .J. Шмидхубер. Любопытные системы управления построением моделей. Международная совместная конференция по нейронным сетям, Сингапур, том 2, 1458–1463. IEEE press, 1991 г.
  29. ^ Теория красоты и любопытства Шмидхубера в немецком телешоу: http://www.br-online.de/bayerisches-fernsehen/faszination-wissen/schoenheit--aesthetik-wahrnehmung-ID1212005092828.xml В архиве 3 июня 2008 г. Wayback Machine
  30. ^ Использование Джоном Эрнестом математики и особенно теории групп в его произведениях искусства анализируется в Джон Эрнест, художник-математик Пол Эрнест в Журнал Философия математического образования, № 24, декабрь 2009 г. (Специальный выпуск по математике и искусству): http://people.exeter.ac.uk/PErnest/pome24/index.htm
  31. ^ Франко, Франческа (2017-10-05). «Группа Систем (Глава 2)». Искусство генеративных систем: работа Эрнеста Эдмондса. Рутледж. ISBN  9781317137436.

Рекомендации

дальнейшее чтение

внешняя ссылка