Математика и архитектура - Mathematics and architecture

"Корнишон",[1] 30 St Mary Axe, Лондон, завершен в 2003 г., параметрически разработанный твердый революционный.
Храм Кандария Махадева (ок. 1030), Кхаджурахо, Индия, представляет собой образец религиозной архитектуры с фрактал -подобная структура, состоящая из множества частей, похожих на одно целое.[2]

Математика и архитектура связаны, поскольку как и с другими искусствами, архитекторы использовать математика по нескольким причинам. Помимо математики, необходимой при разработке здания, архитекторы используют геометрия: определить пространственную форму здания; от Пифагорейцы шестого века до нашей эры, чтобы создавать формы, считающиеся гармоничными, и таким образом планировать здания и их окрестности в соответствии с математическими эстетический а иногда и религиозные принципы; для украшения зданий математическими объектами, такими как мозаика; и для достижения экологических целей, таких как минимизация скорости ветра вокруг оснований высоких зданий.

В древний Египет, древняя Греция, Индия, а Исламский мир, здания в том числе пирамиды, храмы, мечети, дворцы и мавзолеи были выложены с определенными пропорциями по религиозным причинам. В исламской архитектуре геометрический формы и геометрические узоры плитки используются для украшения построек как внутри, так и снаружи. В некоторых индуистских храмах есть фрактал -подобная структура, где части напоминают целое, передавая сообщение о бесконечном в Индуистская космология. В Китайская архитектура, то Тулу из Провинция Фуцзянь круглые, коммунальные оборонительные сооружения. В двадцать первом веке математический орнамент снова используется для покрытия общественных зданий.

В Архитектура эпохи Возрождения, симметрия и пропорции были сознательно подчеркнуты архитекторами, такими как Леон Баттиста Альберти, Себастьяно Серлио и Андреа Палладио, под влиянием Витрувий с De Architectura из древний Рим и арифметика пифагорейцев из Древней Греции. В конце девятнадцатого века Владимир Шухов в Россия и Антони Гауди в Барселона впервые использовал гиперболоидные структуры; в Саграда Фамилия, Гауди также включил гиперболический параболоиды, мозаика, цепные арки, катеноиды, геликоиды, и линейчатые поверхности. В двадцатом веке такие стили, как современная архитектура и Деконструктивизм исследовали различные геометрические формы для достижения желаемых эффектов. Минимальные поверхности эксплуатируются в тентовых покрытиях крыш как на Международный аэропорт Денвера, пока Ричард Бакминстер Фуллер впервые использовал сильные тонкостенные конструкции известный как геодезические купола.

Связанные поля

в эпоха Возрождения, архитектор подобно Леон Баттиста Альберти ожидалось, что он разбирается во многих дисциплинах, в том числе арифметика и геометрия.

Архитекторы Майкл Оствальд и Ким Уильямс, учитывая отношения между архитектура и математика, заметьте, что области в общепринятом понимании могут показаться слабо связанными, поскольку архитектура - это профессия, занимающаяся практическим вопросом строительства зданий, а математика - это чистая изучение числа и другие абстрактные объекты. Но они утверждают, что эти двое сильно связаны и с тех пор древность. В Древнем Риме Витрувий описал архитектора как человека, который достаточно знал целый ряд других дисциплин, в первую очередь геометрия, чтобы дать ему возможность наблюдать за квалифицированными мастерами во всех других необходимых областях, такими как каменщики и плотники. То же самое применялось в Средний возраст, где учились выпускники арифметика, геометрия и эстетика наряду с основной программой грамматики, логики и риторики ( тривиум ) в элегантных залах, выполненных мастерами-строителями, руководившими многими мастерами. Мастер-строитель на вершине своей профессии получил звание архитектора или инженера. в эпоха Возрождения, то квадривиум арифметики, геометрии, музыки и астрономии стали дополнительным учебным планом, ожидаемым от Человек эпохи Возрождения Такие как Леон Баттиста Альберти. Точно так же в Англии, сэр Кристофер Рен, известный сегодня как архитектор, вначале был известным астрономом.[3]

Уильямс и Оствальд, дальнейший обзор взаимодействия математики и архитектуры с 1500 года в соответствии с подходом немецкого социолога Теодор Адорно, выделим три тенденции среди архитекторов, а именно: быть революционный, внедряя совершенно новые идеи; реакционный, не вводя изменений; или же возрожденец, фактически идёт в обратном направлении. Они утверждают, что архитекторы избегали обращаться к математике за вдохновением во времена возрождения. Это могло бы объяснить, почему в периоды возрождения, такие как Готическое возрождение в Англии XIX века архитектура имела мало отношения к математике. В равной степени они отмечают, что в реакционные времена, такие как итальянская Маньеризм примерно с 1520 по 1580 год, или 17 век Барокко и Палладиан движения, математика почти не консультировалась. Напротив, революционные движения начала 20 века, такие как Футуризм и Конструктивизм активно отвергает старые идеи, принимает математику и ведет к Модернист архитектура. Ближе к концу 20 века тоже фрактал Геометрия была быстро освоена архитекторами, как и апериодическая мозаика, чтобы обеспечить интересные и привлекательные покрытия для зданий.[4]

Архитекторы используют математику по нескольким причинам, оставляя в стороне необходимость использования математики в проектирование зданий.[5] Во-первых, они используют геометрию, потому что она определяет пространственную форму здания.[6] Во-вторых, они используют математику для разработки форм, которые считается красивым или гармоничный.[7] Со времен Пифагорейцы с их религиозной философией числа,[8] архитекторы в древняя Греция, древний Рим, то Исламский мир и Итальянский ренессанс выбрали пропорции построенной среды - зданий и их спроектированного окружения - в соответствии с математическими, эстетическими и иногда религиозными принципами.[9][10][11][12] В-третьих, они могут использовать математические объекты, такие как мозаика для украшения зданий.[13][14] В-четвертых, они могут использовать математику в форме компьютерного моделирования для достижения экологических целей, например, для минимизации вихревых воздушных потоков у основания высоких зданий.[1]

Светская эстетика

Древний Рим

План греческого дома по Витрувий

Витрувий

Дальнейшая информация: Витрувий, Витрувианский модуль, и De Architectura
Интерьер Пантеон к Джованни Паоло Панини, 1758

Влиятельный древнеримский архитектор Витрувий утверждал, что дизайн такого здания, как храм, зависит от двух качеств: пропорции и симметрия. Пропорциональность гарантирует, что каждая часть здания гармонично сочетается со всеми остальными частями. Симметрия в использовании Витрувия означает нечто более близкое к английскому термину модульность, чем зеркальная симметрия, опять же, это касается сборки (модульных) частей во все здание. В его базилике в Фано, он использует отношения малых целых чисел, особенно треугольные числа (1, 3, 6, 10, ...), чтобы разделить структуру на (Витрувианские) модули.[а] Таким образом, ширина Базилики к длине составляет 1: 2; проход вокруг него такой же высоты, как и ширины, 1: 1; колонны пять футов толщиной и пятьдесят футов высотой, 1:10.[9]

План этажа Пантеона

Витрувий назвал три качества, требуемых от архитектуры в своей De Architectura, c. 15 г. до н. Э .: твердость, полезность (или «товар» в Генри Уоттон английский 16 века) и восторг. Их можно использовать как категории для классификации способов использования математики в архитектуре. Устойчивость включает в себя использование математики для обеспечения устойчивости здания, следовательно, математические инструменты, используемые при проектировании и поддержке строительства, например, для обеспечения устойчивости и моделирования производительности. Частично полезность достигается за счет эффективного применения математики, рассуждения и анализа пространственных и других взаимосвязей в дизайне. Восторг - это атрибут получившегося здания, являющийся результатом воплощения математических соотношений в здании; он включает эстетические, чувственные и интеллектуальные качества.[16]

Пантеон

Основная статья: Пантеон (Рим)

В Пантеон в Риме сохранился нетронутым, демонстрируя классическую римскую структуру, пропорции и украшения. Основная конструкция - купол, вершина которого оставлена ​​открытой в виде круглой формы. окулус впустить свет; перед ним небольшая колоннада с треугольным фронтоном. Высота окулуса и диаметр внутреннего круга одинаковы, 43,3 метра (142 фута), поэтому весь интерьер поместится точно в куб, а внутри может быть сфера того же диаметра.[17] Эти параметры имеют больше смысла, если выразить их в древнеримские единицы измерения: Ширина купола 150 Римские ноги[b]); окулус 30 римских футов в диаметре; высота дверного проема составляет 40 римских футов.[18] Пантеон остается крупнейшим в мире неармированным бетонным куполом.[19]

эпоха Возрождения

Дальнейшая информация: Архитектура эпохи Возрождения
Фасад Санта Мария Новелла, Флоренция, 1470. Фриз (с квадратами) и выше - автор Леон Баттиста Альберти.

Первым трактатом об архитектуре эпохи Возрождения был труд Леона Баттисты Альберти 1450 года. De re aedificatoria (Об искусстве строительства); она стала первой печатной книгой по архитектуре в 1485 году. Она частично основана на книге Витрувия. De Architectura а через Никомаха - пифагорейскую арифметику. Альберти начинает с куба и выводит из него соотношения. Таким образом, диагональ лица дает соотношение 1:√2, а диаметр сферы, описывающей куб, дает 1:√3.[20][21] Альберти также задокументировал Филиппо Брунеллески открытие линейная перспектива, разработан, чтобы позволить проектировать здания, которые будут выглядеть красиво пропорционально, если смотреть с удобного расстояния.[12]

Архитектурная перспектива сцены, созданной Себастьяно Серлио, 1569[22]

Следующий важный текст был Себастьяно Серлио с Regole Generali d'architettura (Общие правила архитектуры); первый том появился в Венеции в 1537 году; том 1545 г. (книги 1 и 2) закрытая геометрия и перспектива. Два метода Серлио построения перспектив были неправильными, но это не помешало широко использовать его работы.[23]

Андреа Палладио план и высота Вилла Пизани

В 1570 г. Андреа Палладио опубликовал влиятельные I quattro libri dell'architettura (Четыре книги архитектуры) в Венеция. Эта широко печатная книга во многом способствовала распространению идей Итальянский ренессанс по всей Европе при поддержке таких сторонников, как английский дипломат Генри Уоттон с его книгой 1624 г. Элементы архитектуры.[24] Пропорции каждой комнаты на вилле были рассчитаны на основе простых математических соотношений, таких как 3: 4 и 4: 5, и различные комнаты в доме были связаны этими отношениями. Ранее архитекторы использовали эти формулы для уравновешивания единственного симметричного фасада; однако проекты Палладио относились к целой, обычно квадратной вилле.[25] Палладио разрешил ряд соотношений в Quattro libri, заявив:[26][27]

Есть семь типов комнат, которые являются самыми красивыми, пропорциональными и получаются лучше: их можно сделать круглыми, хотя они встречаются редко; или квадрат; или их длина будет равна диагонали квадрата ширины; или квадрат и третий; или квадрат-полтора; или квадрат и две трети; или два квадрата.[c]

В 1615 г. Винченцо Скамоцци опубликовал трактат позднего Возрождения L'idea dell'architettura Universale (Идея универсальной архитектуры).[28] Он попытался связать дизайн городов и зданий с идеями Витрувия и пифагорейцев, а также с более поздними идеями Палладио.[29]

Девятнадцатый век

Решетка гиперболоида маяк к Владимир Шухов, Украина, 1911

Гиперболоидные структуры использовались с конца девятнадцатого века Владимир Шухов для мачт, маяков и градирен. Их поразительная форма эстетически интересна и прочна, а конструкционные материалы используются экономно. Первая гиперболоидальная башня Шухова был выставлен в Нижний Новгород в 1896 г.[30][31][32]

Двадцатый век

Дальнейшая информация: Современная архитектура и Современная архитектура
Де Стейл скользящие, пересекающиеся плоскости: Дом Ритвельда Шредера, 1924

Движение начала двадцатого века Современная архитектура, впервые[d] по русски Конструктивизм,[33] используется прямолинейный Евклидово (также называемый Декартово ) геометрия. в Де Стейл движение, горизонталь и вертикаль рассматривались как составляющие универсальное. Архитектурная форма состоит из соединения этих двух направленных тенденций, используя плоскости крыши, плоскости стен и балконы, которые либо скользят мимо, либо пересекаются друг с другом, как в 1924 году. Дом Ритвельда Шредера к Геррит Ритвельд.[34]

Рауль Генрих Франсе с мак и горшок с перцем (биомиметика ) изображение из Die Pflanze как Erfinder, 1920

Модернистские архитекторы могли свободно использовать не только плоскости, но и кривые. Чарльз Холден 1933 год Станция Арнос имеет круглый билетный зал из кирпича с плоской бетонной крышей.[35] В 1938 г. Баухаус художник Ласло Мохоли-Надь усыновленный Рауль Генрих Франсе семь биотехнический элементы, а именно кристалл, сфера, конус, плоскость, (кубовидная) полоса, (цилиндрический) стержень и спираль, как предполагаемые основные строительные блоки архитектуры, вдохновленной природой.[36][37]

Ле Корбюзье предложил антропометрический шкала пропорций в архитектуре, Модулор, исходя из предполагаемого роста мужчины.[38] Ле Корбюзье, 1955 год Chapelle Notre-Dame du Haut использует кривые произвольной формы, не описываемые математическими формулами.[e] Говорят, что эти формы напоминают естественные формы, такие как нос корабля или молящихся рук.[41] Дизайн только в самом большом масштабе: нет иерархии деталей в меньших масштабах и, следовательно, нет фрактальной размерности; то же самое относится и к другим знаменитым зданиям двадцатого века, таким как Сиднейский оперный театр, Международный аэропорт Денвера, а Музей Гуггенхайма, Бильбао.[39]

Современная архитектура, по мнению 90 ведущих архитекторов, откликнувшихся на проект 2010 г. Обзор мировой архитектуры, чрезвычайно разнообразен; лучший был признан Фрэнк Гери Музей Гуггенхайма, Бильбао.[42]

В минимальные поверхности из тканевая крыша из Международный аэропорт Денвера, завершенный в 1995 году, вызывают Колорадо заснеженные горы и типи палатки Коренные американцы.

Здание терминала международного аэропорта Денвера, построенное в 1995 году, имеет тканевая крыша поддерживается как минимальная поверхность (т.е. его средняя кривизна равен нулю) стальными тросами. Это вызывает Колорадо заснеженные горы и типи палатки Коренные американцы.[43][44]

Архитектор Ричард Бакминстер Фуллер славится созданием сильных тонкостенные конструкции известный как геодезические купола. В Montréal Biosphère купол 61 метр (200 футов) в высоту; его диаметр составляет 76 метров (249 футов).[45]

У Сиднейского оперного театра есть драматическая крыша, состоящая из высоких белых сводов, напоминающих паруса корабля; Чтобы их можно было построить с использованием стандартизованных компонентов, своды состоят из треугольных секций сферических оболочек с одинаковым радиусом. У них есть необходимая униформа кривизна во всех направлениях.[46]

Движение конца двадцатого века Деконструктивизм создает умышленный беспорядок, чем Никос Салингарос в Теория архитектуры вызывает случайные формы[47] высокой сложности[48] с использованием непараллельных стен, наложенных друг на друга сеток и сложных двумерных поверхностей, как в книге Фрэнка Гери. Концертный зал Диснея и Музей Гуггенхайма, Бильбао.[49][50] До двадцатого века студенты-архитекторы были обязаны иметь математическое образование. Салингарос утверждает, что первые «чрезмерно упрощенные, политически мотивированные» Модернизм а затем «антинаучный» деконструктивизм эффективно отделил архитектуру от математики. Он считает, что этот «переворот математических значений» вреден, поскольку «всепроникающая эстетика» нематематической архитектуры учит людей «отвергать математическую информацию в искусственной среде»; он утверждает, что это отрицательно сказывается на обществе.[39]

Религиозные принципы

Древний Египет

Смотрите также: Золотое сечение § египетские пирамиды
Основание: отношения гипотенузы (b: a) для пирамид, подобных Великая пирамида в Гизе может быть: 1: φ (Треугольник Кеплера ), 3:5 (3: 4: 5 треугольник ), или 1: 4 / π

В пирамиды из древний Египет находятся гробницы построены с математическими пропорциями, но какие они были, и были ли теорема Пифагора использовались, обсуждаются. Отношение высоты склона к половине длины основания Великая пирамида в Гизе менее 1% от Золотое сечение.[51] Если бы это был метод проектирования, это означало бы использование Треугольник Кеплера (угол наклона лица 51 ° 49 '),[51][52] но по мнению многих историки науки, золотое сечение не было известно до времен Пифагорейцы.[53] Великая пирамида также могла быть основана на треугольнике с отношением основания к гипотенузе 1: 4 / π (угол наклона граней 51 ° 50 ').[54]

Пропорции некоторых пирамид также могли быть основаны на 3: 4: 5 треугольник (угол лица 53 ° 8 '), известный из Математический папирус Райнда (ок. 1650–1550 до н. э.); это было впервые предположено историком Мориц Кантор в 1882 г.[55] Известно, что прямые углы были выложены точно в Древнем Египте с использованием узловатые шнуры для измерения,[55] который Плутарх записано в Исида и Осирис (ок. 100 г. н.э.), что египтяне восхищались треугольником 3: 4: 5,[55] и что свиток до 1700 г. до н.э. продемонстрировал основные квадрат формулы.[56][f] Историк Роджер Л. Кук отмечает, что «трудно представить, чтобы кто-то интересовался такими условиями, не зная теоремы Пифагора», но также отмечает, что ни в одном египетском тексте до 300 г. до н.э. на самом деле не упоминается использование теоремы для определения длины треугольника. сторон и что есть более простые способы построить прямой угол. Кук заключает, что предположение Кантора остается неопределенным; он предполагает, что древние египтяне, вероятно, знали теорему Пифагора, но «нет никаких доказательств того, что они использовали ее для построения прямых углов».[55]

Древняя Индия

Дальнейшая информация: Архитектура Индии и Ваасту Шастра
Гопурам из Индуистский Храм Вирупакши имеет фрактал -подобная структура, в которой части похожи на целое.

Ваасту Шастра, древний Индийский каноны архитектуры и градостроительства, использует симметричные рисунки, называемые мандалы. Для определения размеров здания и его компонентов используются сложные расчеты. Дизайн предназначен для интеграции архитектуры с природой, относительных функций различных частей структуры и древних верований с использованием геометрических узоров (янтра ), симметрии и направленный выравнивания.[57][58] Однако первые строители могли случайно придти к математическим пропорциям. Математик Жорж Ифра отмечает, что простые «трюки» с веревкой и кольями можно использовать для построения геометрических фигур, таких как эллипсы и прямые углы.[12][59]

План Храм Минакши Амман, Мадурай, начиная с 7 века. Четыре ворот (пронумерованные I-IV) высокие. гопурамы.

Математика фракталы был использован, чтобы показать, что причина, по которой существующие здания имеют универсальную привлекательность и визуально удовлетворительны, заключается в том, что они дают зрителю ощущение масштаба на разных расстояниях просмотра. Например, в высоком гопурам сторожки Индуистский храмы, такие как Храм Вирупакши в Хампи построенный в седьмом веке, и другие, такие как Храм Кандария Махадева в Кхаджурахо, части и целое имеют одинаковый характер, с фрактальная размерность в диапазоне от 1,7 до 1,8. Группа меньших башен (шихара, лит. 'гора') о самой высокой центральной башне, представляющей священный Гора Кайлас, обитель Господа Шива, изображает бесконечное повторение вселенных в Индуистская космология.[2][60] Ученый-религиовед Уильям Дж. Джексон наблюдал за образцом башен, сгруппированных среди меньших башен, которые сами сгруппированы среди еще меньших башен, что:

Идеальная форма, изящно созданная, предполагает бесконечные восходящие уровни существования и сознания, увеличивающиеся размеры, восходящие к трансцендентности наверху, и в то же время заключающие священное глубоко внутри.[60][61]

В Храм Минакши Амман это большой комплекс с множеством святынь, с улицами Мадурай расположены концентрически вокруг него согласно шастрам. Четыре ворот - высокие башни (гопурамы ) с фрактальной повторяющейся структурой, как у Хампи. Ограждения вокруг каждого святилища имеют прямоугольную форму и окружены высокими каменными стенами.[62]

Древняя Греция

Дальнейшая информация: Греческая архитектура, Золотое сечение, Пифагореизм, и Евклидова геометрия
В Парфенон был разработан с использованием Пифагорейский соотношения.

Пифагор (ок. 569 - ок. 475 до н. э.) и его последователи, пифагорейцы, считали, что «все есть числа». Они наблюдали гармонии, производимые нотами с определенными целочисленными отношениями частоты, и утверждали, что здания также должны быть спроектированы с такими отношениями. Греческое слово симметрия Первоначально обозначал гармонию архитектурных форм в точных соотношениях от мельчайших деталей здания до всего его дизайна.[12]

В Парфенон имеет длину 69,5 метра (228 футов), ширину 30,9 метра (101 фут) и высоту до карниза 13,7 метра (45 футов). Это дает соотношение ширины к длине 4: 9 и то же самое для высоты к ширине. Если сложить их вместе, получаем высоту: ширину: длину 16:36:81 или к радости.[63] пифагорейцев 42:62:92. Это устанавливает модуль как 0,858 м. Прямоугольник 4: 9 можно построить как три смежных прямоугольника со сторонами в соотношении 3: 4. Тогда каждый полупрямоугольник представляет собой удобный прямоугольный треугольник 3: 4: 5, позволяющий проверять углы и стороны с помощью веревки с подходящим узлом. Внутренняя часть (naos) также имеет пропорции 4: 9 (21,44 метра (70,3 фута) в ширину и 48,3 метра в длину); соотношение между диаметром внешних колонн, 1,905 метра (6,25 фута), и расстоянием между их центрами, 4,293 метра (14,08 фута), также составляет 4: 9.[12]

План этажа Парфенона

Парфенон считают такие авторы, как Джон Джулиус Норвич «самый совершенный дорический храм из когда-либо построенных».[64] Его тщательно продуманные архитектурные усовершенствования включают «тонкое соответствие между кривизной стилобата и конусом наос стены и энтазис колонн ».[64] Энтазис относится к незначительному уменьшению диаметра колонн по мере их подъема. Стилобат - это площадка, на которой стоят колонны. Как и в других классических греческих храмах,[65] платформа имеет небольшую параболическую кривизну, направленную вверх, чтобы отводить дождевую воду и укрепить здание от землетрясений. Таким образом, можно было бы предположить, что колонны наклонены наружу, но на самом деле они слегка наклонены внутрь, так что, если они продолжат свое движение, они встретятся примерно в полутора километрах над центром здания; поскольку все они имеют одинаковую высоту, кривизна внешнего края стилобата передается на архитрав и крыша выше: «все следуют правилу построения изящных изгибов».[66]

Золотое сечение было известно в 300 г. до н. Э., Когда Евклид описал метод геометрического построения.[67] Утверждалось, что золотое сечение использовалось в дизайне Парфенона и других древнегреческих зданий, а также скульптур, картин и ваз.[68] Однако более поздние авторы, такие как Никос Салингарос, сомневаются во всех этих утверждениях.[69] Эксперименты компьютерного ученого Джорджа Марковски не смогли выявить предпочтения золотой прямоугольник.[70]

Исламская архитектура

Дальнейшая информация: Исламская архитектура и Золотое сечение § Архитектура
Мечеть Селимие, Эдирне, 1569–1575

Историк исламского искусства Антонио Фернандес-Пуэртас предполагает, что Альгамбра, словно Великая мечеть Кордовы,[71] был разработан с использованием Испано-мусульманский стопа или кодо около 0,62 метра (2,0 фута). Во дворце Суд львов, пропорции следуют серии серпы. Прямоугольник со сторонами 1 и √2 имеет (по Теорема Пифагора ) диагональ √3, который описывает прямоугольный треугольник, образованный сторонами корта; серия продолжается √4 (дает соотношение 1: 2), √5 и так далее. Орнаменты имеют одинаковые пропорции, √2 образуя квадраты внутри кругов и восьмиконечных звезд, √3 генерируя шестиконечные звезды. Нет никаких доказательств, подтверждающих более ранние утверждения о том, что в Альгамбре использовалось золотое сечение.[10][72] В Суд львов заключен в скобки Залом Двух Сестер и Залом Абенсерраджес; обычный шестиугольник могут быть взяты из центров этих двух залов и четырех внутренних углов Двор Льва.[73]

В Мечеть Селимие в Эдирне, Турция, построена Мимар Синан предоставить место, где михраб можно было увидеть из любой точки здания. Соответственно, очень большое центральное пространство расположено в виде восьмиугольника, образованного восемью огромными колоннами и увенчанного круглым куполом диаметром 31,25 метра (102,5 фута) и высотой 43 метра (141 фут). Восьмиугольник образован квадратом с четырьмя полукуполами и четырьмя исключительно высокими минаретами высотой 83 метра (272 фута). Таким образом, план здания представляет собой круг внутри восьмиугольника внутри квадрата.[74]

Могольская архитектура

Основные статьи: Могольская архитектура, Фатехпур Сикри, и Истоки и архитектура Тадж-Махала
В Тадж-Махал мавзолей с частью садов комплекса на Агра

Могольская архитектура, как видно в заброшенном имперском городе Фатехпур Сикри и Тадж-Махал сложный, имеет отчетливый математический порядок и сильную эстетику, основанную на симметрии и гармонии.[11][75]

Тадж-Махал является примером архитектуры Великих Моголов, представляющих рай[76] и отображение Император Великих Моголов Шах Джахан Сила в его масштабе, симметрии и дорогой отделке. Белый мрамор мавзолей, украшенный Pietra Dura, великие ворота (Дарваза-и рауза), другие здания, сады и аллеи вместе образуют единый иерархический дизайн. Здания включают мечеть из красного песчаника на западе и почти идентичное здание, Джаваб или «ответ» на востоке, чтобы сохранить двустороннюю симметрию комплекса. Формальный чарбаг («четырехчастный сад») состоит из четырех частей, символизирующих четыре райские реки и предлагающих виды и отражения мавзолея. Они разделены на 16 партеров.[77]

План участка Тадж-Махал сложный. Справа - большие ворота, в центре - мавзолей, окруженный мечетью (внизу) и джавабом. План включает квадраты и восьмиугольники.

Комплекс Тадж-Махал был разбит на сетку, разделенную на более мелкие сетки. Историки архитектуры Кох и Барро согласны с традиционными оценками, согласно которым ширина комплекса составляет 374 ярда Великих Моголов. газ,[грамм] Основная площадь - три квадрата на 374 газа. Они были разделены на такие области, как базар и караван-сарай, на модули на 17 газов; сад и террасы в модулях по 23 газа, шириной 368 газов (16 x 23). Мавзолей, мечеть и гостевой дом выложены сеткой из 7 газ. Кох и Барро замечают, что если восьмиугольнику, многократно используемому в комплексе, даны стороны 7 единиц, то она имеет ширину 17 единиц,[час] что может помочь объяснить выбор соотношений в комплексе.[78]

Христианская архитектура

Дальнейшая информация: Церковная архитектура

В Христианин патриархальный базилика из Собор Святой Софии в Византия (сейчас же Стамбул ), впервые построенный в 537 году (и дважды перестраиваемый), был в течение тысячи лет[я] самый большой собор из когда-либо построенных. Он вдохновил многие более поздние постройки, в том числе Султан Ахмед и другие мечети города. В Византийская архитектура включает в себя неф, увенчанный круглым куполом и двумя полукуполами, все одинакового диаметра (31 метр (102 фута)), с еще пятью меньшими полукуполами, образующими апсида и четыре закругленных угла огромного прямоугольного интерьера.[79] Средневековые архитекторы интерпретировали это как представление обыденного внизу (квадратное основание) и божественного неба наверху (парящий сферический купол).[80] Император Юстиниан использовал два геометра, Исидор Милетский и Анфемий из Тралл как архитекторы; Исидор собрал произведения Архимед на сплошная геометрия, и находился под его влиянием.[12][81]

Собор Святой Софии, Стамбул
а) План галереи (верхняя половина)
б) План первого этажа (нижняя половина)

Важность воды крещение в христианстве нашла отражение в шкале баптистерий архитектура. Самый старый, самый Латеранский баптистерий в Риме, построен в 440 г.,[82] установить тренд на восьмиугольные баптистерии; в крестильная купель внутри этих зданий часто было восьмиугольником, хотя крупнейший в Италии баптистерий в Пизе, построенный между 1152 и 1363 годами, круглый, с восьмиугольным шрифтом. Его высота составляет 54,86 метра (180,0 футов), а диаметр - 34,13 метра (112,0 футов) (соотношение 8: 5).[83] Святой Амвросий писали, что купели и кресты были восьмиугольными, "потому что на восьмой день[j] воскреснув, Христос ослабляет рабство смерти и принимает мертвых из могил ».[84][85]Святой Августин аналогичным образом описал восьмой день как «вечный ... освященный воскрешение Христа ».[85][86] Восьмиугольный Баптистерий Святого Иоанна, Флоренция, построенный между 1059 и 1128 годами, является одним из старейших зданий в этом городе и одним из последних, сохранивших прямые традиции классической античности; он оказал огромное влияние на последующий флорентийский ренессанс, так как крупные архитекторы, в том числе Франческо Таленти, Альберти и Брунеллески использовали его как образец классической архитектуры.[87]

Число пять употребляется «с избытком».[88] в 1721 г. Паломническая церковь св. Иоанна Непомуцкого на Зеленой горе, около Шар-над-Сазавой в Чехии по проекту Ян Блажей Сантини Айхель. Неф круглый, окружен пятью парами колонн и пятью овальными куполами, чередующимися с оживальными апсидами. У церкви пять ворот, пять часовен, пять алтарей и пять звезд; легенда утверждает, что когда Святой Иоанн Непомуцкий был замучен, над его головой появилось пять звезд.[88][89] Пятичленная архитектура может также символизировать пять ран Христа и пять букв «Tacui» (лат. «Я молчал» [о секретах конфессиональный ]).[90]

Антони Гауди использовали широкий спектр геометрических структур, некоторые из которых были минимальными поверхностями, в Саграда Фамилия, Барселона, начат в 1882 г. (и не завершен по состоянию на 2015 г.). К ним относятся гиперболические параболоиды и гиперболоиды революции,[91] мозаика, цепные арки, катеноиды, геликоиды, и линейчатые поверхности. Это разнообразное сочетание геометрических форм по-разному творчески сочетается в церкви. Например, в Страстном фасаде храма Святого Семейства Гауди собрал каменные «ветви» в форме гиперболических параболоидов, которые перекрываются своими вершинами (директрисами), поэтому не встречаются в одной точке. Напротив, в колоннаде есть гиперболические параболоидальные поверхности, которые плавно соединяются с другими структурами, образуя неограниченные поверхности. Далее, Гауди подвиги природные узоры сами математические, с столбцы полученный из форм деревья, и перемычки сделано из немодифицированного базальт Естественно растрескавшиеся (при охлаждении расплавленной породы) на шестиугольные колонны.[92][93][94]

1971 год Собор Успения Пресвятой Богородицы, Сан-Франциско имеет двускатная крыша состоит из восьми сегментов гиперболических параболоидов, расположенных так, что нижнее горизонтальное поперечное сечение крыши представляет собой квадрат, а верхнее поперечное сечение представляет собой Христианский крест. Здание представляет собой квадрат со стороной 77,7 метра (255 футов) и высотой 57,9 метра (190 футов).[95] 1970 год Собор Бразилиа к Оскар Нимейер по-другому использует гиперболоидную структуру; он построен из 16 идентичных бетонных балок, каждая весом 90 тонн,[k] расположены по кругу, образуя гиперболоид вращения, белые лучи создают форму рук, молящихся небу. Снаружи виден только купол: большая часть здания находится под землей.[96][97][98][99]

Несколько средневековых церкви в Скандинавии круглые, в том числе четыре на датском острове Борнхольм. Один из старейших из них, Церковь Эстерларс с. 1160 г., имеет круглый неф вокруг массивной круглой каменной колонны, пронизанной арками и украшенной фреской. Круглое трехэтажное строение, по-видимому, было укрепленным, причем верхний этаж служил для защиты.[100][101]

Математическое оформление

Исламское архитектурное украшение

Основная статья: Исламские геометрические узоры

Исламские здания часто украшают геометрические узоры которые обычно используют несколько математических мозаика из керамической плитки (гирих, Zellige ), которые сами по себе могут быть однотонными или украшенными полосами.[12] В исламских узорах используются симметрии, такие как звезды с шестью, восемью или кратными восьми точкам. Некоторые из них основаны на мотиве «Хатем Сулемани» или печати Соломона, который представляет собой восьмиконечную звезду, состоящую из двух квадратов, один из которых повернут на 45 градусов относительно другого в том же центре.[102] Исламские модели используют многие из 17 возможных группы обоев; Еще в 1944 году Эдит Мюллер показала, что Альгамбра использовала 11 групп обоев в своих украшениях, а в 1986 году Бранко Грюнбаум утверждал, что нашел 13 обоев группы в Альгамбре, утверждая, спорно, что оставшиеся четыре группы не найдены где-нибудь в исламском орнаменте.[102]

Современное архитектурное украшение

Дальнейшая информация: Орнамент (искусство) и Современная архитектура

К концу 20-го века архитекторы начали использовать новые математические конструкции, такие как фрактальная геометрия и апериодическая мозаика, чтобы обеспечить интересные и привлекательные покрытия для зданий.[4] В 1913 году архитектор-модернист Адольф Лоос объявил, что «Орнамент - это преступление»,[103] влияние на архитектурное мышление до конца 20 века. В 21 веке архитекторы снова начинают исследовать использование орнамент. Орнамент 21 века чрезвычайно разнообразен. Хеннинг Ларсен 2011 Концертный и конференц-центр Harpa В Рейкьявике есть что-то похожее на хрустальную каменную стену, сделанную из больших стеклянных блоков.[103] Архитекторы Министерства иностранных дел '2010 Ravensbourne College, Лондон украшен мозаикой из 28 000 анодированных алюминиевых плиток красного, белого и коричневого цветов, соединяющих круглые окна разных размеров. В тесселяции используются три типа плитки, равносторонний треугольник и два неправильных пятиугольника.[104][105][l] Кадзуми Кудо Библиотека Канадзава Умимираи создает декоративную сетку из небольших круглых стеклянных блоков, вставленных в простые бетонные стены.[103]

Защита

Европа

Дальнейшая информация: Звездный форт

Архитектура укрепления развился из средневековые крепости с высокими каменными стенами до низких, симметричных звездные форты способен противостоять артиллерия бомбардировка между серединой пятнадцатого и девятнадцатого веков. Геометрия звездных форм была продиктована необходимостью избегать мертвых зон, где атакующая пехота могла укрыться от оборонительного огня; стороны выступающих точек были расположены под углом, чтобы позволить такому огню охватить землю и обеспечить перекрестный огонь (с обеих сторон) за каждую выступающую точку. Известные архитекторы, проектировавшие такие защитные сооружения, включают: Микеланджело, Baldassare Peruzzi, Винченцо Скамоцци и Себастьян Ле Престре де Вобан.[106][107]

Историк архитектуры Зигфрид Гедион утверждал, что укрепление в форме звезды оказало определяющее влияние на формирование образца эпохи Возрождения. идеальный город: «Ренессанс был загипнотизирован одним типом города, который на протяжении полутора веков - от Филарета до Скамоцци - был запечатлен во всех утопических схемах: это город в форме звезды».[108]

Китай

А Тулу в Yongding County, Провинция Фуцзянь

В Китайская архитектура, то Тулу из Провинция Фуцзянь представляют собой круглые общественные оборонительные сооружения с в основном глухими стенами и единственной деревянной железной дверью, некоторые из которых относятся к XVI веку. Стены увенчаны крышами, которые плавно наклоняются наружу и внутрь, образуя кольцо. В центре круга находится открытый мощеный двор, часто с колодцем, окруженный деревянными галереями высотой до пяти этажей.[109]

Экологические цели

Яхчал в Йезд, Иран

Архитекторы также могут выбрать форму здания для достижения экологических целей.[88] Например, Фостер и партнеры ' 30 St Mary Axe, Лондон, известный как "Корнишон "за его огурец -подобная форма, представляет собой твердый революционный разработан с использованием параметрическое моделирование. Его геометрия была выбрана не только из эстетических соображений, но и для того, чтобы минимизировать вихревые потоки воздуха в основании. Несмотря на внешне изогнутую поверхность здания, все стеклянные панели, образующие его оболочку, плоские, за исключением линзы наверху. Большинство панелей четырехугольники, так как они могут быть вырезаны из прямоугольного стекла с меньшими отходами, чем треугольные панели.[1]

Традиционный яхчал (ледяная яма) из Персия функционировал как испарительный охладитель. Надземное сооружение имело куполообразную форму, но имело подземное хранилище для льда, а иногда и для еды. Подземное пространство и толстая термостойкая конструкция утепляли складские помещения круглый год. Внутреннее пространство часто дополнительно охлаждали ветроуловители. Лед был доступен летом для замороженного десерта. Faloodeh.[110]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ В книге 4, главе 3 De Architectura, он обсуждает модули напрямую.[15]
  2. ^ А Римская стопа составлял около 0,296 метра (0,97 фута).
  3. ^ В современных алгебраических обозначениях эти отношения равны соответственно 1: 1, √2:1, 4:3, 3:2, 5:3, 2:1.
  4. ^ Например, конструктивизм повлиял на Баухаус и Ле Корбюзье.[33]
  5. ^ Пейс Никос Салингарос, предполагающий обратное,[39] но неясно, какая именно математика может быть воплощена в кривых часовни Ле Корбюзье.[40]
  6. ^ Берлинский папирус 6619 от Поднебесная заявил, что «площадь квадрата 100 равна площади двух меньших квадратов. Сторона одного равна ½ + стороны другого».
  7. ^ 1 газ составляет около 0,86 метра (2,8 фута).
  8. ^ Квадрат, нарисованный вокруг восьмиугольника путем продолжения чередующихся сторон, добавляет четыре прямоугольных треугольника с гипотенузой 7. и две другие стороны √49/2 или 4,9497 ..., почти 5. Таким образом, сторона квадрата равна 5 + 7 + 5, что составляет 17.
  9. ^ До того как Севильский кафедральный собор был завершен в 1520 году.
  10. ^ Шестой день Страстная неделя был Хорошая пятница; в следующее воскресенье (из воскрешение Таким образом, был восьмой день.[84]
  11. ^ Это 90 тонн (89 длинных тонн; 99 коротких тонн).
  12. ^ Рассматривалась апериодическая мозаика, чтобы избежать ритма структурной сетки, но на практике мозаика Пенроуза была слишком сложной, поэтому была выбрана сетка 2,625 м по горизонтали и 4,55 м по вертикали.[105]

Рекомендации

  1. ^ а б c Фрайбергер, Марианна (1 марта 2007 г.). «Идеальные здания: математика современной архитектуры». Плюс журнал. Получено 5 октября 2015.
  2. ^ а б Rian, Iasef Md; Пак, Джин-Хо; Ан, Хён Ук; Чанг, Донгкук (2007). «Фрактальная геометрия как синтез индуистской космологии в храме Кандария Махадев, Кхаджурахо». Строительство и окружающая среда. 42 (12): 4093–4107. Дои:10.1016 / j.buildenv.2007.01.028.
  3. ^ Уильямс, Ким; Оствальд, Майкл Дж., Ред. (2015). Архитектура и математика от античности до будущего: Том I: от античности до 1500-х годов. Birkhäuser. С. Глава 1. 1–24. ISBN  978-3-319-00136-4.
  4. ^ а б Уильямс, Ким; Оствальд, Майкл Дж., Ред. (2015). Архитектура и математика от античности до будущего: Том II: 1500-е годы до будущего. Birkhäuser. С. Глава 48. 1–24. ISBN  978-3-319-00142-5.
  5. ^ «Обзор архитектурного проектирования» (PDF). Центр карьеры Sloan Cornerstone. Архивировано из оригинал (PDF) 14 июля 2015 г.. Получено 11 октября 2015.
  6. ^ Лейтон, Майкл (2001). Генеративная теория формы. Springer. ISBN  978-3-540-42717-9.
  7. ^ Стахов Алексей; Олсен, Олсен (2009). Математика гармонии: от Евклида до современной математики и информатики. World Scientific. ISBN  978-981-277-582-5.
  8. ^ Смит, Уильям (1870). Словарь греческой и римской биографии и мифологии. Маленький, Браун. п. 620.
  9. ^ а б Витрувий (2009). Об архитектуре. Книги пингвинов. С. 8–9. ISBN  978-0-14-193195-1.
  10. ^ а б Теннант, Раймонд (июль 2003 г.). "Международная совместная конференция ISAMA, Международного общества искусств, математики и архитектуры и BRIDGES. Математические связи в искусстве, музыке и науке, Гранадский университет, Испания, июль 2003 г. Исламские конструкции: геометрия, необходимая мастерам" (PDF). Международная совместная конференция ISAMA, Международного общества искусств, математики и архитектуры, и BRIDGES, Математические связи в искусстве, музыке и науке.
  11. ^ а б Рай, Джасвант (1993). «Математика и эстетика в исламской архитектуре: отсылка к Фатехпур Сикри». Журнал Университета Короля Сауда, Архитектура и планирование. 5 (1): 19–48.[постоянная мертвая ссылка ]
  12. ^ а б c d е ж грамм О'Коннор, Дж. Дж .; Робертсон, Э. Ф. (февраль 2002 г.). «Математика и архитектура». Сент-Эндрюсский университет. Получено 4 октября 2015.
  13. ^ ван ден Хувен, Саския; ван дер Вин, Maartje (2010). «Мукарнас: математика в исламском искусстве» (PDF). Утрехтский университет. Архивировано из оригинал (PDF) 4 марта 2016 г.. Получено 30 сентября 2015.
  14. ^ Cucker, Фелипе (2013). Многообразные зеркала: пути пересечения искусства и математики. Издательство Кембриджского университета. С. 103–106. ISBN  978-0-521-72876-8.
  15. ^ Витрувий. "ВИТРУВИУС, КНИГА IV, ГЛАВА 3 О дорическом ордене". Vitruvius.be. Получено 6 октября 2015.
  16. ^ Уильямс, Ким; Оствальд, Майкл Дж. (9 февраля 2015 г.). Архитектура и математика от античности до будущего: том I: от древности до 1500-х годов. Birkhäuser. С. 42, 48. ISBN  978-3-319-00137-1.
  17. ^ Рот, Лиланд М. (1992). Понимание архитектуры: ее элементы, история и значение. Боулдер: Westview Press. п.36. ISBN  0-06-438493-4.
  18. ^ Кларидж, Аманда (1998). Рим. Оксфордские археологические гиды. Оксфорд, Оксфордшир: Издательство Оксфордского университета. стр.204–5. ISBN  0-19-288003-9.
  19. ^ Ланкастер, Линн С. (2005). Бетонные сводчатые конструкции в Императорском Риме: инновации в контексте. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр.44 –46. ISBN  0-521-84202-6.
  20. ^ Март, Лайонел (1996). «Математика эпохи Возрождения и архитектурная пропорция в De re aedificatoria Альберти». Architectural Research Quarterly. 2 (1): 54–65. Дои:10.1017 / S135913550000110X.
  21. ^ «Сфера, ограничивающая куб». Обзор инженерной математики Mathalino.com. Получено 4 октября 2015.
  22. ^ Тип 525.69.781, Библиотека Хоутона, Гарвардский университет
  23. ^ Андерсен, Кирсти (2008). Геометрия искусства: история математической теории перспективы от Альберти до Монжа. Springer. С. 117–121. ISBN  978-0-387-48946-9.
  24. ^ Рул, Карстен (7 апреля 2011 г.). «Палладианство: от итальянской виллы к международной архитектуре». Европейская история онлайн. Получено 3 октября 2015.
  25. ^ Коплстоун, Трэвин (1963). Мировая Архитектура. Хэмлин. п.251.
  26. ^ Васселл, Стивен Р. "Математика вилл Палладио: семинар '98". Сетевой журнал Nexus. Получено 3 октября 2015.
  27. ^ Палладио, Андреа; Тавернор, Роберт; Скофилд, Ричард (пер.) (1997) [1570]. I quattro libri dell'architettura. MIT Press. п. книга I, глава xxi, страница 57.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
  28. ^ Скамоцци, Винченцо; Врум, У. Х. М. (пер.) (2003) [1615]. Идея универсальной архитектуры. Architectura & Natura.
  29. ^ Борис, Энн Мари (28 марта 2014 г.). Винченцо Скамоцци и хорография архитектуры раннего модерна. Издательство Ashgate. С. 140–148 и пасс. ISBN  978-1-4094-5580-6.
  30. ^ Бекх, Маттиас (2015). Гиперболические конструкции: решетчатые башни Шухова - предшественники современной легкой конструкции. Джон Вили и сыновья. с. 75 и пасс. ISBN  978-1-118-93268-1.
  31. ^ «Нижегородская выставка: Водонапорная башня, строящееся помещение, пружина пролетом 91 фут». Инженер: 292–294. 19 марта 1897 г.
  32. ^ Грефе, Райнер; и другие. (1990). Сухов Владимир Григорьевич 1853–1939. Die Kunst der sparsamen Konstruktion. Deutsche Verlags-Anstalt. стр.110 –114. ISBN  3-421-02984-9.
  33. ^ а б Хазерли, Оуэн (4 ноября 2011 г.). «Конструктивисты и русская революция в искусстве и архитектуре». Хранитель. Получено 6 июн 2016.
  34. ^ "Ритвельд Шредерхейс (Дом Ритвельда Шредера)". Центр всемирного наследия. ЮНЕСКО. Получено 13 декабря 2012.
  35. ^ Историческая Англия. "Подробная информация из базы данных памятников архитектуры (1358981)". Список национального наследия Англии. Получено 5 октября 2015.
  36. ^ Мохоли-Надь, Ласло; Хоффман, Дафна М. (пер.) (1938). Новое видение: основы дизайна, живописи, скульптуры, архитектуры. Новые книги Баухауза. п. 46.
  37. ^ Гэмвелл, Линн (2015). Математика и искусство: история культуры. Издательство Принстонского университета. п. 306. ISBN  978-0-691-16528-8.
  38. ^ Ле Корбюзье (2004) [1954 и 1958]. Модулятор: гармоничная мера в человеческом масштабе, универсально применимая к архитектуре и механике. Birkhäuser. ISBN  3-7643-6188-3.
  39. ^ а б c Салингарос, Никос. «Архитектура, шаблоны и математика». Сетевой журнал Nexus. Получено 9 октября 2015. Обновленная версия Салингарос, Никос (апрель 1999 г.). «Архитектура, шаблоны и математика». Сетевой журнал Nexus. 1 (2): 75–86. Дои:10.1007 / s00004-998-0006-0. S2CID  120544101.
  40. ^ Грин, Херб. "Ле Корбюзье: Нотр-Дам-дю-О в Роншане". Архивировано из оригинал 7 сентября 2015 г.. Получено 5 октября 2015.
  41. ^ Хансер, Дэвид А. (2006). Архитектура Франции. Издательская группа «Гринвуд». п. 211. ISBN  978-0-313-31902-0.
  42. ^ «Обзор мировой архитектуры Vanity Fair: полные результаты». Ярмарка Тщеславия. 30 июня 2010 г.. Получено 22 июля 2010.
  43. ^ "Пресс-кит международного аэропорта Денвера" (PDF). Международный аэропорт Денвера. 2014. Архивировано с оригинал (PDF) 12 апреля 2015 г.. Получено 5 октября 2015.
  44. ^ «Международный аэропорт Денвера». Fenstress Architects. Получено 5 октября 2015.
  45. ^ «Биосфера». Вид на города. Получено 1 октября 2015.
  46. ^ Хан, Александр Дж. (4 февраля 2013 г.). «Математические экскурсии в архитектуру». Внутри науки. Получено 5 октября 2015.
  47. ^ Салингарос, Никос (2006). Теория архитектуры. Умбау. С. 139–141. ISBN  9783937954073.
  48. ^ Салингарос, Никос (2006). Теория архитектуры. Умбау. С. 124–125. ISBN  9783937954073.
  49. ^ Гери, Фрэнк О .; Мадфорд, Грант; Кошалек, Ричард (2009). Симфония: Концертный зал Уолта Диснея Фрэнка Гери. Пять галстуков. ISBN  9780979472749.
  50. ^ Гарсетти, Гил (2004). Утюг: возведение концертного зала Уолта Диснея. Princeton Architectural Press. ISBN  9781890449285.
  51. ^ а б Бартлетт, Кристофер (2014). «Дизайн Великой пирамиды Хуфу». Сетевой журнал Nexus. 16 (2): 299–311. Дои:10.1007 / s00004-014-0193-9.
  52. ^ Марковский, Джордж (январь 1992 г.). «Заблуждения о золотом сечении» (PDF). Математический журнал колледжа. 23 (1): 2–19. Дои:10.1080/07468342.1992.11973428. Архивировано из оригинал (PDF) на 2008-04-08. Получено 2015-10-01.
  53. ^ Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире (Первая торговая книга в мягкой обложке, ред.). Нью-Йорк: Бродвей Книги. п. 61. ISBN  0-7679-0816-3.
  54. ^ Газале, Мидхат (1999). Гномон: от фараонов до фракталов. Издательство Принстонского университета.[страница нужна ]
  55. ^ а б c d Кук, Роджер Л. (2011). История математики: краткий курс (2-е изд.). Джон Вили и сыновья. С. 237–238. ISBN  978-1-118-03024-0.
  56. ^ Жиллингс, Ричард Дж. (1982). Математика во времена фараонов. Дувр. п.161.
  57. ^ Крамриш, Стелла (1976), Том 1 и 2 индуистского храма, ISBN  81-208-0223-3
  58. ^ Вибхути Сачдев, Джайлз Тиллотсон (2004). Строительство Джайпура: создание индийского города. С. 155–160. ISBN  978-1-86189-137-2.
  59. ^ Ифра, Жорж (1998). Всеобщая история чисел. Пингвин.
  60. ^ а б «Фракталы в индийской архитектуре». Йельский университет. Архивировано из оригинал 6 февраля 2012 г.. Получено 1 октября 2015.
  61. ^ Джексон, Уильям Дж. «Для всех фрактальных целей ... введение». Университет Индианы - Университет Пердью Индианаполис. Архивировано из оригинал 14 сентября 2015 г.. Получено 1 октября 2015.
  62. ^ Кинг, Энтони Д. (2005). Здания и общество: очерки социального развития искусственной среды. Тейлор и Фрэнсис. п. 72. ISBN  0-203-48075-9.
  63. ^ Маор, Эли (2007). Теорема Пифагора: 4000-летняя история. Издательство Принстонского университета. п. 19. ISBN  978-0-691-12526-8.
  64. ^ а б Норвич, Джон Джулиус (2001). Великая архитектура мира. Дом художников. п. 63.
  65. ^ Пенроуз, Фрэнсис (1973) [1851]. Принципы афинской архитектуры. Общество дилетантов. п. гл. II.3, таблица 9.
  66. ^ Стивенс, Горхэм П. (июль 1962 г.). «О впечатляющем Парфеноне». Американский журнал археологии. 66 (3): 337–338. Дои:10.2307/501468. JSTOR  501468.
  67. ^ Евклид. Элементы. Книга 6, Предложение 30.
  68. ^ Арчибальд, Р. «Заметки о логарифмической спирали, золотом сечении и рядах Фибоначчи». Получено 1 октября 2015.
  69. ^ Применение золотой середины в архитектуре
  70. ^ Марковский, Джордж (январь 1992 г.). «Заблуждения о золотом сечении» (PDF). Математический журнал колледжа. 23 (1): 2–19. Дои:10.1080/07468342.1992.11973428. Архивировано из оригинал (PDF) на 2008-04-08. Получено 2015-10-01.
  71. ^ Гедал, Наджиб. "Великая мечеть Кордовы: геометрический анализ". Исламское искусство и архитектура. Архивировано из оригинал 2 октября 2015 г.. Получено 16 октября 2015.
  72. ^ Ирвин, Роберт (26 мая 2011 г.). Альгамбра. Профильные книги. С. 109–112. ISBN  978-1-84765-098-6.
  73. ^ Робертсон, Энн (2007). «Возвращаясь к геометрии Зала Дос Эрманас» (PDF). МОСТЫ. Получено 11 октября 2015.
  74. ^ Блэр, Шейла; Блум, Джонатан М. (1995). Искусство и архитектура ислама 1250–1800 гг.. Издательство Йельского университета. ISBN  0-300-06465-9.
  75. ^ Мичелл, Джордж; Пасрича, Амит (2011). Могольская архитектура и сады. Клуб коллекционеров антиквариата. ISBN  978-1-85149-670-9.
  76. ^ Паркер, Филип (2010). Всемирная история. Дорлинг Киндерсли. п. 224. ISBN  978-1-4053-4124-0.
  77. ^ Кох, Эбба (2006). Полный Тадж-Махал: и сады на берегу реки Агры (1-е изд.). Темза и Гудзон. стр.24 и пасс.. ISBN  0-500-34209-1.
  78. ^ Кох, Эбба (2006). Полный Тадж-Махал: и сады на берегу реки Агры (1-е изд.). Темза и Гудзон. стр.104–109. ISBN  0-500-34209-1.
  79. ^ Фацио, Майкл; Моффетт, Мэриан; Вудхаус, Лоуренс (2009). Здания во времени (3-е изд.). McGraw-Hill Высшее образование. ISBN  978-0-07-305304-2.
  80. ^ Гэмвелл, Линн (2015). Математика и искусство: история культуры. Издательство Принстонского университета. п. 48. ISBN  978-0-691-16528-8.
  81. ^ Kleiner, Fred S .; Мамия, Кристин Дж. (2008). Искусство Гарднера сквозь века: Том I, главы 1–18 (12-е изд.). Уодсворт. п. 329. ISBN  978-0-495-46740-3.
  82. ^ Менандр, Ханна; Брандт, Олоф; Аппетехия, Агостина; Торен, Хокан (2010). "Латеранский баптистерий в трех измерениях" (PDF). Шведский совет национального наследия. Получено 30 октября 2015.
  83. ^ "Баптистерий". Пизанская башня. Получено 30 октября 2015.
  84. ^ а б Хайзер-Кониг, Жанна. "Богословские причины баптистерийских форм". Институт христианского поклонения Кальвина. Получено 30 октября 2015.
  85. ^ а б Куен, Регина (1992). Место для крещения. Публикации по обучению литургии. С. 53–60. ISBN  978-0-929650-00-5.
  86. ^ Августин Гиппопотам (426). Город Бога. п. Книга 22, глава 30.
  87. ^ Кляйнер, Фред (2012). Искусство Гарднера сквозь века: глобальная история. Cengage Learning. С. 355–356. ISBN  978-1-133-71116-2.
  88. ^ а б c Симитч, Андреа; Варке, Вал (2014). Язык архитектуры: 26 принципов, которые должен знать каждый архитектор. Издательство Rockport. п. 191. ISBN  978-1-62788-048-0.
  89. ^ "Зеленая гора недалеко от Шар-над-Сазавой". Чешский туризм. Получено 10 ноября 2015.
  90. ^ "Атрибуты святителя Иоанна Непомуцкого". Святой Иоанн Непомуцкий. Архивировано из оригинал 4 марта 2016 г.. Получено 10 ноября 2015.
  91. ^ Берри, М.К., Дж. Р. Берри, Г.М. Данлоп и А. Махер (2001). «Соединяя евклидовы и топологические нити вместе (pdf)» (PDF). Представлено на SIRC 2001 - Тринадцатом ежегодном коллоквиуме Центра исследований пространственной информации. Данидин, Новая Зеландия: Университет Отаго. Архивировано из оригинал (PDF) на 2007-10-31. Получено 2007-11-28.
  92. ^ «Геометрия Антонио Гауди». Математика и искусство М.К. Эшера. Математика и информатика Университета Сент-Луиса. Получено 4 октября 2015.
  93. ^ Усват, Лилиана. «Антони Гауди и математика». Математический журнал. Получено 4 октября 2015.
  94. ^ M.C. Берри; Дж. Р. Берри; Г. Данлоп; А. Махер (2001). «Соединяя евклидовы и топологические нити вместе» (PDF). 13-й ежегодный коллоквиум Центра исследования пространственной информации, Университет Отаго, Данидин, Новая Зеландия. Архивировано из оригинал (PDF) 25 июня 2008 г.. Получено 5 августа 2008. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
  95. ^ Нерви, Пьер Луиджи. "Собор Успения Пресвятой Богородицы". Architectuul. Получено 12 октября 2015.
  96. ^ «Собор Бразилиа». О Бразилиа. Получено 13 ноября 2015.
  97. ^ Берендс, Эрхард; Крато, Нуно; Родригес, Хосе Франсиско (2012). Повышение осведомленности общественности о математике. Springer Science & Business Media. п. 143. ISBN  978-3-642-25710-0.
  98. ^ Эммер, Мишель (2012). Представьте себе математику: между культурой и математикой. Springer Science & Business Media. п. 111. ISBN  978-88-470-2427-4.
  99. ^ Мкртчян, Рузанна (2013). "Собор Бразилиа". Building.AM. Получено 13 ноября 2015.
  100. ^ "Østerlars kirke" (на датском). Норденс Киркер. Получено 2 декабря 2016.
  101. ^ "Østerlars kirke" (на датском). Natur Bornholm. Архивировано из оригинал 19 июля 2011 г.. Получено 2 декабря 2016.
  102. ^ а б Реннинг, Фроде. «Исламские узоры и группы симметрии» (PDF). Эксетерский университет. Получено 18 апреля 2014.
  103. ^ а б c Гибберд, Мэтт; Хилл, Альберт (20 августа 2013 г.). «Возвращение украшений». Телеграф. Получено 12 октября 2015.
  104. ^ "Равенсборнский колледж архитекторов Министерства иностранных дел". журнал de zeen. 13 сентября 2010 г.. Получено 12 октября 2015.
  105. ^ а б Бизли, Грэм. «Образцы полуострова FOA для колледжа Равенсборн». bdonline.co.uk. Получено 16 октября 2015.
  106. ^ Даффи, К. (1975). Огонь и камень, Наука войны в крепостях, 1660–1860 гг.. Книжные магазины. ISBN  978-0-7858-2109-0.
  107. ^ Чендлер, Дэвид (1990). Искусство войны в эпоху Мальборо. Spellmount. ISBN  978-0-946771-42-4.
  108. ^ Гедион, Зигфрид (1962) [1941]. Пространство, время и архитектура. Издательство Гарвардского университета. п. 43.
  109. ^ О'Нил, Том (4 января 2015 г.). «Далекие крепости Китая теряют жителей, привлекают туристов». Национальная география. Получено 6 января 2017.
  110. ^ Mahdavinejad, M .; Джаванруди, Каван (июль 2012 г.). «Оценка древних холодильников: устойчивый метод хранения льда в жарком засушливом климате». Азиатская культура и история. 4 (2). Дои:10.5539 / ач.v4n2p133.

внешняя ссылка