Список работ с золотым сечением - List of works designed with the golden ratio

Много произведения искусства утверждают, что были разработаны с использованием золотое сечениеОднако многие из этих утверждений оспариваются или опровергаются измерениями.[1]

В Золотое сечение, иррациональный номер, составляет примерно 1,618; это часто обозначается Греческая буква φ (фи ).

Ранняя история

В Великая пирамида в Гизе, Египет

Различные авторы утверждали, что ранние памятники Золотое сечение пропорции, часто основанные на предположительных интерпретациях, использующие приблизительные измерения и лишь приблизительно соответствующие 1,618.[1] Например, утверждается, что пропорции золотого сечения в египетских, шумерских и греческих вазах, китайской керамике, скульптурах ольмеков, а также критских и микенских изделиях позднего бронзового века. Они появились примерно на 1000 лет раньше, чем греческие математики, впервые изучившие золотое сечение.[2][3] Однако исторические источники неясны, и результаты анализа трудно сравнивать, поскольку в них используются разные методы.[2]

Утверждается, например, что Стоунхендж (3100 г. до н.э. - 2200 г. до н.э.) имеет пропорции золотого сечения между его концентрическими кругами.[2][4] Кимберли Элам предлагает эту связь как раннее свидетельство когнитивного предпочтения человека золотому сечению.[5] Однако другие отмечают, что такая интерпретация Стоунхенджа «может быть сомнительной» и что геометрическая конструкция, которая ее порождает, можно только предполагать.[2] Другой пример: Карлос Чанфон Олмос заявляет, что скульптура короля Гудеа (ок. 2350 г. до н.э.) имеет золотые пропорции между всеми вторичными элементами, многократно повторяющимися в основании.[3]

В Великая пирамида в Гизе (построен около 2570 г. до н.э. Хемиуну ) демонстрирует золотое сечение согласно различным пирамидологи, включая Чарльза Фанк-Хеллета.[3][6] Джон Ф. Пайл, профессор дизайна интерьеров и историк, утверждал, что египетские архитекторы искали золотые пропорции без математических методов и что соотношение 1,618: 1, наряду со многими другими более простыми геометрическими концепциями, является обычным явлением в их архитектурных деталях. , и предметы быта, найденные в гробницах. По его мнению, «кажется очевидным, что египтяне знали об этом и использовали его».[7]

Еще до появления этих теорий другие историки и математики предлагали альтернативные теории для конструкций пирамид, которые не связаны с каким-либо использованием золотого сечения, а вместо этого основаны на чисто рациональных наклонах, которые только приблизительно соответствуют золотому сечению.[8] Египтяне того времени, по-видимому, не знали теорема Пифагора; единственный прямоугольный треугольник, пропорции которого они знали, был треугольником 3: 4: 5.[9]

Древняя и средневековая архитектура

Греция

Западный фасад Парфенона

В Акрополь Афин (468–430 гг. До н.э.), в том числе Парфенон, согласно некоторым исследованиям, имеет множество пропорций, приближенных к золотому сечению.[10] Другие ученые задаются вопросом, было ли золотое сечение известно или использовалось греческими художниками и архитекторами как принцип эстетической пропорции.[11] Строительство Акрополя было начато около 600 г. до н.э., но работы, показывающие пропорции золотого сечения, были созданы с 468 г. до н.э. по 430 г. до н.э.

Парфенон (447–432 гг. До н.э.) был храмом греческая богиня Афина. Фасад Парфенона, а также элементы его фасада и других мест, как утверждается, ограничены прогрессией золотые прямоугольники.[12] Некоторые недавние исследования опровергают мнение о том, что в дизайне использовалось золотое сечение.[1][11][13]

Хеменуэй утверждает, что греческий скульптор Фидий (ок. 480 – ок. 430 до н. э.) использовал божественные пропорции в некоторых своих скульптурах.[14] Он создал Афина Парфенос в Афины и Статуя Зевса (один из Семь чудес древнего мира ) в Храм Зевса в Олимпия. Считается, что он отвечал за другие скульптуры Парфенона, хотя они могли быть выполнены его учеником или коллегами. В начале 20 века американский математик Марк Барр предложил Греческая буква фи (φ), первая буква имени Фидия, обозначающая золотое сечение.[15]

Лотар Хазельбергер утверждает, что Храм Аполлона в Didyma (ок. 334 г. до н.э.), спроектированный Дафнисом Милетским и Пайониосом Эфесским, имеет золотые пропорции.[3]

Доиспанская мезоамериканская архитектура

Между 1950 и 1960 годами Мануэль Амабилис применил некоторые методы анализа Фредерик Макоди Лунд и Джей Хэмбидж в нескольких проектах доиспанских построек, таких как Эль-Толок и La Iglesia de Las Monjas (Церковь монахинь), выдающийся комплекс Терминал Классик здания, построенные в Пуук архитектурный стиль в Чичен-Ица. Согласно его исследованиям, их пропорции конкретизируются из серии вписанных многоугольников, кругов и пентаграмм, как Лунд обнаружил в своих исследованиях готических церквей. Мануэль Амабилис опубликовал свои исследования вместе с несколькими очевидными изображениями других доколумбовый здания, построенные в пропорциях золотого сечения в La Arquitectura Precolombina de Mexico.[16] Работа отмечена золотой медалью и званием Academico посредством Настоящая академия изящных искусств Сан-Фернандо (Испания) в Фиеста де ла Раза (День Колумба ) 1929 г.

Замок Чичен-Ица был построен Цивилизация майя между 11 и 13 веками нашей эры как храм бога Кукулькан. Джон Пайл утверждает, что его внутренняя планировка имеет пропорции золотого сечения. Он говорит, что внутренние стены расположены так, что внешние пространства связаны с центральной комнатой по золотому сечению.[17]

Исламская архитектура

В Великая мечеть Кайруана, Тунис

В Великая мечеть Кайруана (построен Укба ибн Нафи c. 670 г. н.э.), как утверждается, использовало золотое сечение в дизайне, включая его план, молитвенное пространство, двор и минарет,[18] но соотношение не появляется в оригинальных частях мечети.[19]

Буддийская архитектура

Ступа Боробудур в Ява, Индонезия (построенная с восьмого по девятый века нашей эры), самая большая известная буддийская ступа, имеет размер квадратного основания, связанный с диаметром самой большой круглой террасы как 1,618: 1, согласно Пайлу.[20]

Романская архитектура

В Романский стиль архитектуры преобладал в Европе между 900–1200 гг., период, который заканчивается переходом к Готическая архитектура. Контраст между романской и готической концепциями в религиозных зданиях можно понять в эпистолярном стихе между Сенбернар, Цистерцианский, а Аббат Сугер порядка Cluny, инициатор Готика искусство в Сен-Дени.

Одно из самых красивых произведений романского цистерцианца - Аббатство Сенанк в Провансе. В Сенанк монастырь был основан в 1148 году и освящен в 1178 году. Святой Бернар Клервоский. «La Lumière à Sénanque» (Свет в Сенанке),[21]глава Cîteaux: commentarii cistercienses, публикация Цистерцианский Орден. Ее автор, Ким Льоверас и Монтсеррат, провел в 1992 году полное исследование аббатства и утверждает, что аббатская церковь была спроектирована с использованием системы мер, основанной на золотом сечении, и что инструменты, использованные для ее строительства, были «Vescica» и средневековые площади, используемые строителями, оба спроектированы с использованием золотого сечения. "Vescica" Сенанка находится в монастырской обители, напротив Капитула, на месте мастерской.

Готическая архитектура

Иллюстрация Нотр-Дам Лаона собор. Согласно с Фредерик Макоди Лунд, наложенные линии регуляторов показывают, что собор имеет золотые пропорции.

В своей книге 1919 года Ad Quadratum, Фредерик Макоди Лунд историк, изучавший геометрию нескольких готических построек, утверждает, что Шартрский собор (начало XII века), Нотр-Дам Лаона (1157–1205), а Собор Парижской Богоматери (1160) разработаны по золотому сечению.[3] Другие ученые утверждают, что до 1509 года Лука Пачоли De Divina Proportione (см. следующий раздел), золотое сечение было неизвестно художникам и архитекторам, хотя это маловероятно, поскольку это соотношение было явно определено Евклидом.[11]

На конференции 2003 года по средневековой архитектуре была издана книга Ad Quadratum: применение геометрии в средневековой архитектуре. Согласно резюме одного рецензента:

Большинство участников считают, что разметка была сделана ad quadratum, с использованием сторон квадрата и его диагонали. Это дало несоизмеримое соотношение [квадратный корень из (2)], проведя по дуге окружности (что можно легко сделать с веревкой, вращающейся вокруг колышка). Большинство также утверждало, что разметка производилась геометрически, а не арифметически (с помощью измерительной рейки). Некоторые считали, что в изложении также использовались равносторонние или пифагоровые треугольники, пятиугольники и восьмиугольники. Два автора считают, что использовалось золотое сечение (или, по крайней мере, его приближение), но его использование в средневековье не поддерживается большинством историков архитектуры.[22]

Австралийский историк архитектуры Джон Джеймс подробно изучил Шартрский собор. В своей работе Мастера масонов Шартра он говорит, что Бронза, один из мастеров-масонов, использовал золотое сечение. Это было такое же соотношение, как и между рукавами их металлического квадрата:

Для сравнения, Бронза был новатором скорее в практических, чем в философских вещах. Между прочим, Бронза был одним из немногих мастеров, использовавших удивительное соотношение золотой середины. Для строителя наиболее важная функция Fi, когда мы пишем золотую середину, состоит в том, что при последовательном использовании он обнаружит, что каждое подразделение, независимо от того, насколько случайно оно могло быть получено, уместится где-то в серии. Это соотношение не так уж сложно воспроизвести, и Бронза мог бы иметь две руки его металлического квадрата, вырезанные для его представления. Все, что ему нужно было сделать, это поместить квадрат на камень и, натянув веревку между углами, связать любые две длины по Фи. Нет ничего лучше, чем облегчить жизнь.[23]

Изобразительное искусство

Дальнейшая информация: Математика и искусство

эпоха Возрождения

Иллюстрация Леонардо да Винчи с изображением головы человека из картины Пачоли De Divina Proportione[24]

De Divina пропорционально, написано Лука Пачоли в Милане в 1496–1498 гг., издано в Венеции в 1509 г.,[24] содержит 60 рисунков Леонардо да Винчи, некоторые из которых иллюстрируют появление золотого сечения в геометрических фигурах. Начиная с части работ Леонардо да Винчи, этот архитектурный трактат оказал большое влияние на поколения художников и архитекторов.

Витрувианский человек, созданный Леонардо да Винчи около 1492 года,[25] основан на теориях человека, в честь которых рисунок получил свое название, Витрувий, кто в De Architectura: Планирование храмов (ок. I до н. э.) указал, что планирование храмов зависит от симметрии, которая должна основываться на идеальных пропорциях человеческого тела. Некоторые авторы считают, что нет фактических доказательств того, что да Винчи использовал золотое сечение в Витрувианский человек;[26] однако Олмос[3] (1991) с помощью геометрического анализа отмечает иное. Он также предлагает Леонардо да Винчи Автопортрет, Микеланджело Дэйвид (1501–1504), Альбрехт Дюрер с Меленколия I и классический скрипка дизайн мастеров Кремоны (Гварнери, Страдивари и несколько членов Амати семейство) как имеющие аналогичные линии регулятора, относящиеся к золотому сечению.

Да Винчи Мона Лиза (ок. 1503–1506) «был предметом стольких томов противоречивых научных и популярных предположений, что практически невозможно прийти к каким-либо однозначным выводам» относительно золотого сечения, согласно Ливио.[11]

В Темпьетто часовня в Монастырь Святого Петра в Монторио, Рим, построенный Браманте имеет отношение к золотому сечению в его фасадах и внутренних линиях.[27]

La Inmaculada Concepción (Мурильо, 1665 г.)

Барокко

Хосе Вильягран Гарсия потребовал[28] что золотое сечение - важный элемент в дизайне Столичный собор Мехико (около 1667–1813 гг.). Олмос утверждает то же самое в отношении дизайна городов Коатепек (1579), Чикоалоапа (1579) и Уэджутла (1580), а также Кафедральный собор Мериды, Храм Аколмана, Распятый Христос от Диего Веласкес (1639) и Непорочное зачатие от Бартоломе Эстебан Мурильо.[3]

Неоимпрессионизм

Жорж Сёра, 1887-88, Парад-де-цирк (Цирковое шоу) с соотношением сторон 4: 6 и Золотая середина наложение, показывающее лишь близкое приближение к божественной пропорции.

Матила Гика[29] и другие[30] утверждать, что Жорж Сёра использовали пропорции золотого сечения в картинах, таких как Parade de Cirque, Le Pont de Courbevoie, и Купальщицы в Аньер. Однако прямых доказательств в поддержку этих утверждений нет.[26]

В то время как золотое сечение, по-видимому, управляет геометрической структурой Сёра Parade de Cirque (Цирковое шоу),[31][32] Современные историки искусства сходятся во мнении, что Сёра никогда не использовал эту «божественную пропорцию» в своих работах.[33][34][35]

Заключительное исследование Парад, выполненная до холста маслом, разделена по горизонтали на четверти и по вертикали на шестые (соотношение 4: 6) в соответствии с размерами холста, который в полтора раза шире его вертикального размера. Эти оси не соответствуют в точности золотому сечению 1: 1.6, как можно было бы ожидать. Скорее, они соответствуют основным математическим подразделениям (простым отношениям, которые, кажется, приблизительно соответствуют золотому сечению), как отметил Сёра с цитатами из математика, изобретателя, эстетика. Чарльз Генри.[33]

Кубизм

Идея Section d'Or (или Groupe de Puteaux) возникла в ходе разговоров между Альберт Глейзес, Жан Метцингер и Жак Вийон. Название группы было предложено Виллоном после прочтения перевода 1910 года. Леонардо да Винчи с Трактат о живописи от Жозефин Пеладан. Пеладан приложил большие усилия мистический значение для золотое сечение (Французский: nombre d'or) и другие подобные геометрические конфигурации. Для Вийона это символизировало его веру в порядок и значение математических пропорций, поскольку оно отражало закономерности и взаимосвязи, встречающиеся в природе. Жан Метцингер и братья Дюшаны страстно интересовались математикой. Жан Метцингер, Хуан Грис и возможно Марсель Дюшан в это время были соратниками Морис Принст, математик-любитель, которому приписывают внесение глубоких и рациональных научных аргументов в дискуссии о кубизме.[36] Название «Section d'Or» одновременно олицетворяет преемственность прошлых традиций и текущих тенденций в смежных областях, оставляя открытыми перспективы для развития искусства.[37][38]


Сюрреализм

Таинство Тайной вечери (1955): Холст этого сюрреалист шедевр Сальвадор Дали золотой прямоугольник. Огромный додекаэдр с гранями в золотом соотношении друг к другу подвешен над Иисусом и позади него и доминирует в композиции.[11][39]

Де Стейл

Некоторые работы голландского художественного движения под названием Де Стейл, или неопластицизм, демонстрируют пропорции золотого сечения. Пит Мондриан широко использовал золотое сечение в своих неопластических геометрических картинах, созданных примерно в 1918–1938 годах.[30][40] Мондриан искал пропорции в своих картинах с помощью наблюдения, знания и интуиции, а не геометрических или математических методов.[41]

Современная архитектура

Мис ван дер Роэ

В Дом Фарнсворта, разработано Людвиг Мис ван дер Роэ, был описан как «пропорции в стеклянных стенах приближаются к 1: 2».[42] и «с отношением ширины к длине 1: 1,75 (почти золотое сечение)»[43] и был изучен с другими его работами в отношении золотого сечения.[44]

Ле Корбюзье

Швейцарский архитектор Ле Корбюзье, известный своим вкладом в современный международный стиль, сосредоточил свою философию дизайна на системах гармонии и пропорций. Вера Ле Корбюзье в математический порядок Вселенной была тесно связана с золотым сечением и Число Фибоначчи, которые он описал как «ритмы, видимые глазу и ясные в их отношениях друг с другом. И эти ритмы лежат в основе человеческой деятельности. Они звучат в человеке органической неизбежностью, той тонкой неизбежностью, которая вызывает прослеживание Золотого сечения детьми, стариками, дикарями и учеными ».[45]

Памятная швейцарская монета с изображением Модулор

Ле Корбюзье явно использовал золотое сечение в своей системе для шкала из архитектурная пропорция. Он видел эту систему как продолжение давней традиции Витрувий Леонардо да Винчи "Витрувианский человек ", работа Леон Баттиста Альберти, и другие, которые использовали пропорции человеческого тела для улучшения внешнего вида и функций архитектура. Помимо золотого сечения Ле Корбюзье основал систему на человеческие измерения, Числа Фибоначчи и двойная единица. Он довел предложение Леонардо о золотом сечении в человеческих пропорциях до крайности: он разделил высоту своего модельного человеческого тела на уровне пупка двумя частями в золотом сечении, а затем разделил эти части в золотом сечении на коленях и горле; он использовал эти пропорции золотого сечения в Модулор система.[46]

В Модулятор: гармоничная мера в человеческом масштабе, универсально применимая к архитектуре и механике Ле Корбюзье показывает, что использовал свою систему в Марселе Unité d'habitation (в генплане и разрезе фасад, план и разрез квартиры, в столярке, стенах, крыше и некоторой сборной мебели), небольшой офис на рю де Севр, 35, фабрика в Сен-Дье и в Штаб-квартира ООН здание в Нью-Йорке.[47] Многие авторы утверждают, что форма второго фасада является результатом трех золотых прямоугольников;[48] однако каждый из трех прямоугольников, которые действительно можно оценить, имеют разную высоту.

Josep Lluís Sert

Каталонский архитектор Josep Lluis Sert, ученик Ле Корбюзье, применил меры Модулор во всех его конкретных работах, включая Дом Серта в Кембридже[49] и Фонд Жоана Миро в Барселоне.[50]

Неоготика

Согласно официальной туристической странице Буэнос айрес, Аргентина, цокольный этаж Паласио Бароло (1923 г.) по проекту итальянского архитектора. Марио Паланти, построен по золотому сечению.[51]

Постмодернистский

Другой швейцарский архитектор, Марио Ботта, основывает многие свои проекты на геометрических фигурах. Несколько частных домов, которые он спроектировал в Швейцарии, состоят из квадратов и кругов, кубов и цилиндров. В доме, который он спроектировал в Ориглио, золотое сечение - это соотношение между центральной и боковыми частями дома.[52]

Музыка

Эрно Лендваи анализы Бела Барток работает как основанная на двух противоположных системах: золотом сечении и акустическая шкала,[53] хотя другие ученые-музыковеды отвергают этот анализ.[11]

Музыковед Рой Ховат заметил, что формальные границы Дебюсси La mer точно соответствуют золотому сечению.[54] Трезизе считает внутреннее свидетельство "замечательным", но предупреждает, что никакие письменные или заявленные свидетельства не предполагают, что Дебюсси сознательно стремился к таким масштабам.[55]

Леонид Сабанеев предполагает, что отдельные временные интервалы музыкальных произведений, связанных «кульминационным событием», как правило, находятся в соотношении золотого сечения.[56] Однако автор связывает это происшествие с инстинктом музыкантов: «Все такие события инстинктом автора приурочены к таким точкам всей длины, что они делят временные длительности на отдельные части, находящиеся в соотношении золотого сечения».

Рон Нотт[57] раскрывает, как золотое сечение непреднамеренно присутствует в нескольких произведениях классической музыки:

  • Статья из Американский ученый[58] («Использовал ли Моцарт золотую середину?», Март / апрель 1996 г.) сообщает, что Джон Путц обнаружил значительное отклонение от деления пропорций во многих сонатах Моцарта и заявил, что любая близость к этому числу может быть объяснена ограничениями сама сонатная форма.
  • Дерек Хейлок[59] утверждает, что начальный мотив Людвиг ван Бетховен с Симфония No. 5 до минор, соч. 67 (ок. 1804–08), встречается точно в точке золотой середины 0,618 в такте 372 из 601 и снова в такте 228, который является другой точкой золотого сечения (0,618034 от конца пьесы), но он должен использовать 601 столбец чтобы получить эти цифры. Он делает это, игнорируя последние 20 тактов, которые появляются после окончательного появления мотива, а также игнорирует такт 387.

По словам автора Леона Харклроуда, «некоторые из самых ошибочных попыток связать музыку и математику включали Числа Фибоначчи и соответствующее золотое сечение ".[60]

Рекомендации

  1. ^ а б c Марковский, Джордж (январь 1992 г.). «Заблуждения о золотом сечении». Математический журнал колледжа. 23 (1): 2–19. Дои:10.2307/2686193.
  2. ^ а б c d Майнцер, Клаус (1996). Симметрии природы: Справочник по философии природы и науки. Вальтер де Грюйтер. п. 118. ISBN  3-11-012990-6.
  3. ^ а б c d е ж грамм Чанфон Олмос, Карлос. Curso sobre Proporción. Процедуры регуляторов в строительстве. Convenio de intercambio UNAM – UADY. Мексика - Мерида, 1991 г.
  4. ^ Триведе, Праш. 27 небесных порталов: настоящий секрет 12 звездных знаков. Lotus Press. Стр. Решебника 397
  5. ^ Кимберли Элам. Геометрия дизайна: исследования пропорций и композиции Кимберли Элам. Princeton Architectural Press. п. 6.
  6. ^ Лидуэлл, Уильям; Холден, Критина; и Батлер, Джилл. Универсальные принципы дизайна. Издательство Rockport. 1 октября 2003 г., стр. 96
  7. ^ Свая 2005, п. 29.
  8. ^ Маор, Эли. Тригонометрические наслаждения, Princeton Univ. Пресса, 2000 г.
  9. ^ Белл, Эрик Темпл. Развитие математики, Нью-Йорк: Довер, 1940, с.40.
  10. ^ Ван Мерсберген; Одри М. (1998). «Риторические прототипы в архитектуре: измерение Акрополя». Связь ежеквартально. Восточная коммуникационная ассоциация. 46 (2): 194–195. Дои:10.1080/01463379809370095.
  11. ^ а б c d е ж Ливио, Марио (2002). Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире. Нью-Йорк: Бродвейские книги. ISBN  0-7679-0815-5.
  12. ^ Ван Мерсберген, Одри М., «Риторические прототипы в архитектуре: измерение Акрополя», Philosophical Polemic Communication Quarterly, Vol. 46, 1998.
  13. ^ Марковский, Георгий «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2011-07-19. Получено 2011-02-10.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (ссылка на сайт)
  14. ^ Хеменуэй, Прия (2005). Божественная пропорция: Фи в искусстве, природе и науке. Нью-Йорк: Стерлинг. п. 96. ISBN  1-4027-3522-7.
  15. ^ Кук, Теодор Андреа (1979). Кривые жизни, п. 420. Courier Dover Publications, ISBN  0-486-23701-X.
  16. ^ Manue Amabilis. (1956) La Arquitectura Precolombina в Мексике. Редакция Орион. С. 200, 202.
  17. ^ Свая 2005, п. 23.
  18. ^ Буссора, Кенза; Мазуз, Саид (весна 2004 г.). «Использование золотого сечения в Великой мечети Кайруана». Сетевой журнал Nexus. 6 (1): 7–16. Дои:10.1007 / s00004-004-0002-y. Архивировано из оригинал на 2008-10-04. Геометрическая техника построения золотого сечения, по-видимому, определила основные решения пространственной организации. Золотое сечение неоднократно появляется в некоторых частях обмеров здания. Он проявляется в общей пропорции плана и в размерах молитвенного пространства, двора и минарета. Наличие золотого сечения в некоторых частях мечети Кайруан указывает на то, что элементы, разработанные и созданные с использованием этого принципа, могли быть реализованы в то же время.
  19. ^ Бринкворт, Питер; Скотт, Пол (2001). «Место математики». Учитель математики Австралии. 57 (3): 2.
  20. ^ Свая 2005, п. 88.
  21. ^ http://upcommons.upc.edu/e-prints/handle/2117/1794
  22. ^ «Геометрия романских и готических соборов. (Ad Quadratum: Применение геометрии в средневековой архитектуре) (Книжное обозрение)». Обзор архитектурной науки. 46 (3): 337–338. 1 сентября 2003 г.
  23. ^ Джеймс, Джон, Мастера масонов Шартра. Выпуск 1990 г. 273 Торговый центр, Леура Новый Южный Уэльс 2780 Австралия: Вест-Гринстед Паблишинг. п. 157. ISBN  0646008056
  24. ^ а б Пачоли, Лука. De Divina Proportione. Венеция, 1509 год.
  25. ^ Тубервиль, Джозеф. Проблеск света из глаза гиганта: табличное свидетельство монумента в гармонии со Вселенной. 2001. Стр. 1
  26. ^ а б Кейт Девлин (июнь 2004 г.). "Хорошие истории, жаль, что они неправда". MAA Online. Математическая ассоциация Америки. Архивировано из оригинал на 2013-07-01.
  27. ^ Свая 2005, п. 130.
  28. ^ Виллагран Гарсия, Хосе. Los Trazos Reguladores de la Proporcion Arquitectonica. Memoria de el Colegio Nacional, Volume VI, No. 4, Редакционное de El Colegio Nacional, Мексика, 1969
  29. ^ Гика, Матила. Геометрия искусства и жизни. 1946. Стр. 162
  30. ^ а б Сташков, Рональд и Брэдшоу, Роберт. Математическая палитра. Томсон Брукс / Коул. С. 372.
  31. ^ Майкл Ф. Циммерманн. Сёра и теория искусства его времени. Антверпен, 1991 г.
  32. ^ Андре Лот, Французская энциклопедия. Vol. 16, часть 1, Искусство и литература в современном обществе. Париж, 1935, стр. 16.30-7, ил. стр. 16.30-6, 16.31-7
  33. ^ а б Роберт Л. Герберт, Жорж Сёра, 1859-1891 гг., Музей Метрополитен, 1991, pp. 340-345, archive.org (полный текст онлайн)
  34. ^ Роджер Герц-Фишлер. Рассмотрение претензий в отношении Сёра и Золотого числа. Gazette des beaux-arts, 6-я серия, 101 (март 1983), стр. 109–12 n. 12
  35. ^ Маргарита Нево. Строительство и пропорции: немецкие разработки по франшизе 1850-1950 гг.. Парижский университет (доктор философии), 1990
  36. ^ "История и хронология кубизма, стр. 5". Архивировано из оригинал на 2013-03-14. Получено 2015-06-27.
  37. ^ La Section d'Or, специальный номер, 9 октября 1912 г.
  38. ^ Балмори, Сантос, Aurea mesura, Унам, 1978, 189 с. С. 23-24.
  39. ^ Хант, Карла Херндон и Гилки, Сьюзен Никодемус. Обучение математике в блоке С. 44, 47, ISBN  1-883001-51-X
  40. ^ Було, Шарль, Тайная геометрия художника: исследование композиции в искусстве (1963) стр. 247-48, Harcourt, Brace & World, ISBN  0-87817-259-9
  41. ^ Падован, Ричард. Пропорции: наука, философия, архитектура. Тейлор и Фрэнсис. Стр.26.
  42. ^ Нил Джексон (1996). Современный стальной дом. Тейлор и Фрэнсис. ISBN  0-419-21720-7.
  43. ^ Лиланд М. Рот (2001). Американская архитектура: история. Westview Press. п.433. ISBN  0-8133-3661-9. Золотой дом Фарнсворта.
  44. ^ Сано, Джуничи. Исследование золотого сечения в произведениях Мис ван дер Ролле: о золотом сечении в планах дома с тремя дворами и часовни ИИТ. Журнал архитектуры, планирования и экологической инженерии (Academic Journal, 1993) 453,153-158 /,
  45. ^ Ле Корбюзье, Модулор п. 25, цитируется у Падована Ричарда, Пропорции: наука, философия, архитектура (1999), стр. 316, Тейлор и Фрэнсис, ISBN  0-419-22780-6
  46. ^ Ле Корбюзье, Модулор, п. 35, цитируется у Падована Ричарда, Пропорции: наука, философия, архитектура (1999), стр. 320. Тейлор и Фрэнсис. ISBN  0-419-22780-6: «И в картинах, и в архитектурных решениях используется золотое сечение».
  47. ^ Ле Корбюзье, Модулятор: гармоничная мера в человеческом масштабе, универсально применимая к архитектуре и механике, Birkhäuser, 2000, стр. 130
  48. ^ Даниэль Педоу (1983). Геометрия и изобразительное искусство. Courier Dover Publications. п. 121. ISBN  0-486-24458-X.
  49. ^ http://en.wikiarquitectura.com/index.php/Sert's_House_in_Cambridge
  50. ^ es: Fundación Joan Miró
  51. ^ Официальная туристическая страница города Буэнос-Айрес В архиве 2008-06-09 на Wayback Machine
  52. ^ Урвин, Саймон. Анализ архитектуры (2003) стр. 154-5, ISBN  0-415-30685-X
  53. ^ Лендваи, Эрне (1971). Бела Барток: анализ его музыки. Лондон: Кан и Аверилл.
  54. ^ Рой Ховат (1983). Дебюсси в пропорции: музыкальный анализ. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-31145-4.
  55. ^ Саймон Трезизе (1994). Дебюсси: La Mer. Издательство Кембриджского университета. п. 53. ISBN  0-521-44656-2.
  56. ^ Сабанеев, Леонид и ДЖОФФ, Иуда А. Современные российские композиторы. 1927.
  57. ^ Нотт, Рон, [Веб-страницы Рона Нотта по математике], Числа Фибоначчи и золотое сечение в искусстве, архитектуре и музыке В архиве 2009-02-28 в Wayback Machine, Суррейский университет
  58. ^ Может, Майк, «Моцарт использовал золотую середину?», Американский ученый, Март / апрель 1996 г.
  59. ^ Хейлок, Дерек. Обучение математике, Том 84, п. 56-57. 1978 г.
  60. ^ Леон Харклероад (2006). Математика за музыкой. Издательство Кембриджского университета. п. 120. ISBN  0-521-81095-7.

Библиография

внешняя ссылка