Специальный прямоугольный треугольник - Special right triangle

Положение некоторых особых треугольников в Диаграмма Эйлера типов треугольников, используя определение, что равнобедренные треугольники имеют по крайней мере две равные стороны, т.е. равносторонние треугольники равнобедренные.

А специальный прямоугольный треугольник это прямоугольный треугольник с некоторой регулярной функцией, которая производит расчеты на треугольник проще, или для которых существуют простые формулы. Например, прямоугольный треугольник может иметь углы, образующие простые соотношения, такие как 45 ° –45 ° –90 °. Это называется прямоугольным треугольником, основанным на углах. Прямоугольный треугольник, основанный на боковых сторонах, - это треугольник, в котором длины сторон образуют соотношение целые числа, например 3: 4: 5, или других специальных чисел, например Золотое сечение. Знание соотношений углов или соотношений сторон этих специальных прямоугольных треугольников позволяет быстро вычислять различные длины в геометрических задачах, не прибегая к более продвинутым методам.

Угловой

Специальные угловые треугольники, вписанные в единичный круг, удобны для визуализации и запоминания тригонометрические функции кратных 30 и 45 градусам.

Специальные прямоугольные треугольники "на основе углов" определяются соотношением углов, из которых состоит треугольник. Углы этих треугольников таковы, что больший (прямой) угол, который составляет 90 градусов или π/2 радиан равен сумме двух других углов.

Длины сторон обычно рассчитываются на основе единичный круг или другой геометрический методы. Этот подход может использоваться для быстрого воспроизведения значений тригонометрических функций для углов 30 °, 45 ° и 60 °.

Специальные треугольники используются для помощи в вычислении общих тригонометрических функций, как показано ниже:

45°–45°–90°

30°–60°–90°

Треугольник 45 ° –45 ° –90 °, треугольник 30 ° –60 ° –90 ° и равносторонний / равносторонний (60 ° –60 ° –60 °) треугольник - это три Треугольники Мебиуса в самолете, а это значит, что они мозаика плоскость через отражения в их сторонах; видеть Группа треугольников.

45 ° –45 ° –90 ° треугольник

Установить квадрат

Длины сторон треугольника 45 ° –45 ° –90 °

В плоской геометрии построение диагонали квадрата приводит к треугольнику, три угла которого находятся в соотношении 1: 1: 2, что в сумме дает 180 ° или π радианы. Следовательно, углы соответственно составляют 45 ° (π/4), 45° (π/4) и 90 ° (π/2). Стороны этого треугольника находятся в соотношении 1: 1:√2, что непосредственно следует из теорема Пифагора.

Из всех прямоугольных треугольников треугольник с углом 45 ° –45 ° –90 ° имеет наименьшее отношение гипотенузы к сумме катетов, а именно √2/2.^{[1]:стр.282, стр.358} и наибольшее отношение высоты от гипотенузы к сумме катетов, а именно √2/4.^{[1]:стр.282}

Треугольники с этими углами - единственные возможные прямоугольные треугольники, которые также равнобедренные треугольники в Евклидова геометрия. Однако в сферическая геометрия и гиперболическая геометрия, существует бесконечное множество различных форм правильных равнобедренных треугольников.

Треугольник 30 ° –60 ° –90 °

Установить квадрат

Стороны треугольника 30 ° –60 ° –90 °

Это треугольник, три угла которого находятся в соотношении 1: 2: 3 и составляют соответственно 30 ° (π/6), 60° (π/3) и 90 ° (π/2). Стороны находятся в соотношении 1:√3  : 2.

Доказательство этого факта наглядно тригонометрия. В геометрический доказательство:

Нарисуйте равносторонний треугольник ABC с длиной стороны 2 и с острием D как середина сегмента до н.э. Проведите высотную линию от А к D. потом ABD представляет собой треугольник 30 ° –60 ° –90 ° с гипотенузой длины 2 и основанием BD длиной 1.

Дело в том, что оставшаяся нога ОБЪЯВЛЕНИЕ имеет длину √3 следует непосредственно из теорема Пифагора.

Треугольник 30 ° –60 ° –90 ° - единственный прямоугольный треугольник, углы которого находятся в арифметической прогрессии. Доказательство этого факта простое и следует из того, что если α, α + δ, α + 2δ - это углы в прогрессии, тогда сумма углов 3α + 3δ = 180 °. После деления на 3 угол α + δ должно быть 60 °. Прямой угол равен 90 °, а оставшийся угол равен 30 °.

Боковой

Правые треугольники со сторонами целое число длины, со сторонами, известными как Пифагорейские тройки, имеют углы, которые не могут быть все рациональное число из градусы.^[2] (Это следует из Теорема Нивена.) Они наиболее полезны тем, что их легко запомнить и несколько сторон производит такое же отношение. Используя формулу Евклида для генерации троек Пифагора, стороны должны быть в соотношении

м² − п² : 2мин : м² + п²

куда м и п любые положительные целые числа такие, что м > п.

Общие пифагорейские тройки

Есть несколько хорошо известных пифагоровых троек, в том числе со сторонами в отношениях:

3:	4	:5
5:	12	:13
8:	15	:17
7:	24	:25
9:	40	:41

Треугольники 3: 4: 5 - единственные прямоугольные треугольники с ребрами в арифметическая прогрессия. Треугольники на основе троек Пифагора Heronian, что означает, что они имеют целую площадь, а также целые стороны.

Возможное использование треугольника 3: 4: 5 в Древний Египет с предполагаемым использованием веревки с узлами для построения такого треугольника, и вопрос о том, была ли в то время известна теорема Пифагора, вызывал много споров.^[3] Впервые это предположил историк. Мориц Кантор в 1882 г.^[3] Известно, что в Древнем Египте прямые углы были выложены точно; что их геодезисты использовали веревки для измерений;^[3] который Плутарх записано в Исида и Осирис (около 100 г. н.э.), что египтяне восхищались треугольником 3: 4: 5;^[3] и что Берлинский папирус 6619 от Среднее царство Египта (до 1700 г. до н.э.) утверждал, что «площадь квадрата 100 равна площади двух меньших квадратов. Сторона одного равна ½ + стороны другого».^[4] Историк математики Роджер Л. Кук отмечает: «Трудно представить, чтобы кто-то интересовался такими условиями, не зная теоремы Пифагора».^[3] В противовес этому Кук отмечает, что ни в одном египетском тексте до 300 г. до н.э. на самом деле не упоминается использование теоремы для определения длины сторон треугольника, и что существуют более простые способы построить прямой угол. Кук заключает, что гипотеза Кантора остается неопределенной: он предполагает, что древние египтяне, вероятно, знали теорему Пифагора, но что «нет доказательств того, что они использовали ее для построения прямых углов».^[3]

Ниже приведены все тройные отношения Пифагора, выраженные в наименьшей форме (помимо пяти наименьших в наименьшей форме в списке выше) с обеими сторонами, не являющимися гипотенузами, меньше 256:

11:	60	:61
12:	35	:37
13:	84	:85
15:	112	:113
16:	63	:65
17:	144	:145
19:	180	:181
20:	21	:29
20:	99	:101
21:	220	:221

Почти равнобедренные пифагоровы тройки

Равнобедренные прямоугольные треугольники не могут иметь стороны с целыми значениями, потому что отношение гипотенузы к любой другой стороне равно √2, но √2 не может быть выражено как отношение двух целых чисел. Однако бесконечно много почти равнобедренный прямоугольные треугольники существуют. Это прямоугольные треугольники с целыми сторонами, у которых длины ребра без гипотенузы отличаются на единицу.^[5][6] Такие почти равнобедренные прямоугольные треугольники можно получить рекурсивно,

а₀ = 1, б₀ = 2

а_п = 2б_п−1 + а_п−1

б_п = 2а_п + 5б_п−1

а_п длина гипотенузы, п = 1, 2, 3, .... Эквивалентно,

${ displaystyle ({ tfrac {x-1} {2}}) ^ {2} + ({ tfrac {x + 1} {2}}) ^ {2} = y ^ {2}}$

куда {Икс, у} являются решениями Уравнение Пелла Икс² − 2у² = −1, с гипотенузой у являясь странным термином Числа Пелла 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378 ... (последовательность A000129 в OEIS ) .. Наименьшие результирующие тройки Пифагора:^[7]

3 :	4	: 5
20 :	21	: 29
119 :	120	: 169
696 :	697	: 985
4,059 :	4,060	: 5,741
23,660 :	23,661	: 33,461
137,903 :	137,904	: 195,025
803,760 :	803,761	: 1,136,689
4,684,659 :	4,684,660	: 6,625,109

В качестве альтернативы те же треугольники могут быть получены из квадратные треугольные числа.^[8]

Арифметические и геометрические прогрессии

А Треугольник Кеплера представляет собой прямоугольный треугольник, образованный тремя квадратами с площадями в геометрической прогрессии в соответствии с Золотое сечение.

Треугольник Кеплера - это прямоугольный треугольник, стороны которого лежат в геометрическая прогрессия. Если стороны образованы из геометрической прогрессии а, ар, ар² тогда его обычное отношение р дан кем-то р = √φ куда φ это золотое сечение. Следовательно, его стороны находятся в соотношении 1 : √φ : φ. Таким образом, форма треугольника Кеплера однозначно определяется (с точностью до масштабного коэффициента) требованием, чтобы его стороны находились в геометрической прогрессии.

Треугольник 3–4–5 - это единственный прямоугольный треугольник (с точностью до масштаба), стороны которого лежат в арифметическая прогрессия.^[9]

Стороны правильных многоугольников

Стороны пятиугольника, шестиугольника и десятиугольника, вписанные в конгруэнтный круги, образуют прямоугольный треугольник

Позволять а = 2 греха π/10 = −1 + √5/2 = 1/φ быть длиной стороны обычного десятиугольник вписаны в единичный круг, где φ это Золотое сечение. Позволять б = 2 греха π/6 = 1 быть длиной стороны обычного шестиугольник в единичном круге, и пусть c = 2 греха π/5 = ${ displaystyle { sqrt { tfrac {5 - { sqrt {5}}} {2}}}}$ быть длиной стороны обычного пятиугольник в единичном круге. потом а² + б² = c², поэтому эти три длины образуют стороны прямоугольного треугольника.^[10] Тот же треугольник образует половину золотой прямоугольник. Его также можно найти в правильный икосаэдр длины стороны c: самый короткий отрезок из любой вершины V к плоскости своих пяти соседей имеет длину а, а конечные точки этого отрезка прямой вместе с любыми соседями V образуют вершины прямоугольного треугольника со сторонами а, б, и c.^[11]

Смотрите также

• Целочисленный треугольник
• Спираль Теодора

Рекомендации

внешняя ссылка

• 3: 4: 5 треугольник
• 30–60–90 треугольник
• 45–45–90 треугольник - с интерактивной анимацией