Квадратичная взаимность - Quadratic reciprocity

Гаусс опубликовали первое и второе доказательства закона квадратичной взаимности по статьям 125–146 и 262 Disquisitiones Arithmeticae в 1801 г.

В теория чисел, то закон квадратичной взаимности это теорема о модульная арифметика что дает условия разрешимости квадратные уравнения по модулю простые числа. Из-за своей тонкости в нем много формулировок, но наиболее стандартное утверждение звучит так:

Этот закон вместе с его добавки, позволяет легко вычислить любой символ Лежандра, давая возможность определить, существует ли целочисленное решение для любого квадратного уравнения вида ${displaystyle x ^ {2} Equiv a {mod {p}}}$ для нечетного простого числа ${displaystyle p}$; то есть, чтобы определить "полные квадраты" по модулю ${displaystyle p}$. Однако это неконструктивный результат: он не помогает найти специфический решение; для этого требуются другие методы. Например, в случае ${displaystyle pequiv 3 {mod {4}}}$ с помощью Критерий Эйлера можно дать явную формулу для "квадратных корней" по модулю ${displaystyle p}$ квадратичного вычета ${displaystyle a}$, а именно

${displaystyle pm a ^ {frac {p + 1} {4}}}$

в самом деле,

${displaystyle left (pm a ^ {frac {p + 1} {4}} ight) ^ {2} = a ^ {frac {p + 1} {2}} = acdot a ^ {frac {p-1} { 2}} эквивалент слева ({frac {a} {p}} ight) = a {mod {p}}.}$

Обратите внимание, что эта формула работает, только если заранее известно, что ${displaystyle a}$ это квадратичный вычет, что можно проверить с помощью закона квадратичной взаимности.

Квадратичная теорема взаимности была предположена Эйлер и Legendre и впервые доказано Гаусс,^[1] который назвал ее «фундаментальной теоремой» в своем Disquisitiones Arithmeticae и его документы, письмо

Фундаментальную теорему, несомненно, следует рассматривать как одну из самых элегантных в своем роде. (Статья 151)

В частном порядке Гаусс называл это «золотой теоремой».^[2] Он опубликовал шесть доказательства за это, и еще два были найдены в его посмертных документах. В настоящее время опубликовано более 240 доказательств.^[3] Включено кратчайшее известное доказательство ниже, вместе с краткими доказательствами дополнений к закону (символы Лежандра -1 и 2).

Распространение закона взаимности на высшие степени было ведущей проблемой математики и имело решающее значение для развития большей части механизма современная алгебра, теория чисел и алгебраическая геометрия, кульминацией Артиновая взаимность, теория поля классов, а Программа Langlands.

Мотивирующие примеры

Квадратичная взаимность возникает из некоторых тонких шаблонов факторизации, включающих точные квадратные числа. В этом разделе мы приводим примеры, которые приводят к общему случаю.

Факторинг п² − 5

Рассмотрим многочлен ${displaystyle f (n) = n ^ {2} -5}$ и его значения для ${displaystyle nin mathbb {N}.}$ Простые факторизации этих значений даны следующим образом:

п	${displaystyle f (n)}$			п	${displaystyle f (n)}$			п	${displaystyle f (n)}$
1	−4	−22		16	251	251		31	956	22⋅239
2	−1	−1		17	284	22⋅71		32	1019	1019
3	4	22		18	319	11⋅29		33	1084	22⋅271
4	11	11		19	356	22⋅89		34	1151	1151
5	20	22⋅5		20	395	5⋅79		35	1220	22⋅5⋅61
6	31	31		21	436	22⋅109		36	1291	1291
7	44	22⋅11		22	479	479		37	1364	22⋅11⋅31
8	59	59		23	524	22⋅131		38	1439	1439
9	76	22⋅19		24	571	571		39	1516	22⋅379
10	95	5⋅19		25	620	22⋅5⋅31		40	1595	5⋅11⋅29
11	116	22⋅29		26	671	11⋅61		41	1676	22⋅419
12	139	139		27	724	22⋅181		42	1759	1759
13	164	22⋅41		28	779	19⋅41		43	1844	22⋅461
14	191	191		29	836	22⋅11⋅19		44	1931	1931
15	220	22⋅5⋅11		30	895	5⋅179		45	2020	22⋅5⋅101

Основные факторы ${displaystyle p}$ разделение ${displaystyle f (n)}$ находятся ${displaystyle p = 2,5}$, и каждое простое число, последняя цифра которого ${displaystyle 1}$ или же ${displaystyle 9}$; нет простых чисел, оканчивающихся на ${displaystyle 3}$ или же ${displaystyle 7}$ когда-либо появиться. Сейчас же, ${displaystyle p}$ является основным фактором некоторых ${displaystyle n ^ {2} -5}$ в любое время ${displaystyle n ^ {2} -5equiv 0 {mod {p}}}$, т.е. всякий раз, когда ${displaystyle n ^ {2} Equiv 5 {mod {p}},}$ т.е. всякий раз, когда 5 - квадратичный вычет по модулю ${displaystyle p}$. Это происходит для ${displaystyle p = 2,5}$ и те простые числа с ${displaystyle pequiv 1,4 {mod {5}},}$ и обратите внимание, что последние числа ${displaystyle 1 = (pm 1) ^ {2}}$ и ${displaystyle 4 = (pm 2) ^ {2}}$ в точности квадратичные вычеты по модулю ${displaystyle 5}$. Следовательно, кроме ${displaystyle p = 2,5}$у нас есть это ${displaystyle 5}$ квадратичный вычет по модулю ${displaystyle p}$ если только ${displaystyle p}$ квадратичный вычет по модулю ${displaystyle 5}$.

Закон квадратичной взаимности дает аналогичную характеристику простых делителей числа ${displaystyle f (n) = n ^ {2} -q}$ для любого прайма q, что приводит к характеризации любого целого числа ${displaystyle q}$.

Паттерны среди квадратичных вычетов

Позволять п быть нечетным простым числом. Число по модулю п это квадратичный вычет всякий раз, когда он конгруэнтен квадрату (мод. п); в противном случае это квадратичный невычет. («Квадратичный» можно отбросить, если это ясно из контекста.) Здесь мы исключаем ноль как частный случай. Тогда как следствие того, что мультипликативная группа конечное поле порядка п цикличен по порядку п-1, имеют место следующие утверждения:

• Есть равное количество квадратичных вычетов и невычетов; и
• Произведение двух квадратичных остатков является остатком, произведение остатка и неостаточного остатка является не остатком, а произведение двух неостаточных остатков является остатком.

Во избежание сомнений, эти утверждения нет выполняется, если модуль не простой. Например, в мультипликативной группе по модулю 15 всего 3 квадратичных вычета (1, 4 и 9). Более того, хотя 7 и 8 являются квадратичными невычетами, их произведение 7x8 = 11 также является квадратичным невычетом, в отличие от первичный случай.

Квадратичные остатки представлены в следующей таблице:

Эта таблица является полной для нечетных простых чисел меньше 50. Чтобы проверить, соответствует ли число м является квадратичным вычетом по модулю одного из этих простых чисел п, найти а ≡ м (мод п) и 0 ≤ а < п. Если а в ряду п, тогда м является вычетом (mod п); если а не в ряду п стола, то м не остаток (мод п).

Квадратичный закон взаимности - это утверждение, что определенные закономерности, найденные в таблице, в целом верны.

q = ± 1 и первое дополнение

Тривиально 1 - квадратичный вычет для всех простых чисел. Для −1 вопрос становится более интересным. Изучая таблицу, мы находим −1 в строках 5, 13, 17, 29, 37 и 41, но не в строках 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43 или 47. Первый набор простых чисел конгруэнтен с 1 по модулю 4, а последние сравнимы с 3 по модулю 4.

Первое дополнение к квадратичной взаимности. Соответствие ${displaystyle x ^ {2} Equiv -1 {mod {p}}}$ разрешимо тогда и только тогда, когда ${displaystyle p}$ сравнимо с 1 по модулю 4.

q = ± 2 и второе дополнение

Изучая таблицу, мы находим 2 в строках 7, 17, 23, 31, 41 и 47, но не в строках 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37 или 43. Все первые простые числа ≡ ± 1 (mod 8), а последние все ≡ ± 3 (mod 8). Это ведет к

Второе дополнение к квадратичной взаимности. Соответствие ${displaystyle x ^ {2} Equiv 2 {mod {p}}}$ разрешимо тогда и только тогда, когда ${displaystyle p}$ сравнимо с ± 1 по модулю 8.

−2 находится в строках 3, 11, 17, 19, 41, 43, но не в строках 5, 7, 13, 23, 29, 31, 37 или 47. Первые - ≡ 1 или ≡ 3 (mod 8) , а последние - 5, 7 (mod 8).

q = ±3

3 находится в строках 11, 13, 23, 37 и 47, но не в строках 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41 или 43. Первые составляют ± 1 (mod 12), а вторые - все ≡ ± 5 (mod 12).

−3 находится в строках 7, 13, 19, 31, 37 и 43, но не в строках 5, 11, 17, 23, 29, 41 или 47. Первые равны ≡ 1 (mod 3), а вторые 2 (мод 3).

Поскольку единственный вычет (mod 3) равен 1, мы видим, что −3 - квадратичный вычет по модулю любого простого числа, который является вычетом по модулю 3.

q = ±5

5 находится в строках 11, 19, 29, 31 и 41, но не в строках 3, 7, 13, 17, 23, 37, 43 или 47. Первые составляют ≡ ± 1 (mod 5), а вторые - ≡ ± 2 (по модулю 5).

Поскольку единственные вычеты (по модулю 5) равны ± 1, мы видим, что 5 является квадратичным вычетом по модулю любого простого числа, которое является вычетом по модулю 5.

−5 находится в строках 3, 7, 23, 29, 41, 43 и 47, но не в строках 11, 13, 17, 19, 31 или 37. Первые - ≡ 1, 3, 7, 9 (mod 20 ), а последние - 11, 13, 17, 19 (mod 20).

Выше q

Наблюдения за −3 и 5 остаются в силе: −7 - вычет по модулю п если и только если п - вычет по модулю 7, −11 - вычет по модулю п если и только если п - вычет по модулю 11, 13 - вычет (mod п) если и только если п является вычетом по модулю 13 и т. д. Более сложные на вид правила для квадратичных характеров чисел 3 и −5, которые зависят от сравнений по модулю 12 и 20 соответственно, - это просто правила для −3 и 5, работающие с первым дополнением.

Пример. Чтобы −5 был вычетом (mod п) либо и 5, и −1 должны быть вычетами (mod п) или они оба должны быть не остатками: т.е. п ≡ ± 1 (мод. 5) и п ≡ 1 (мод 4) или п ≡ ± 2 (мод 5) и п ≡ 3 (мод.4). С использованием Китайская теорема об остатках они эквивалентны п ≡ 1, 9 (мод 20) или п № 3, 7 (мод.20).

Обобщение правил для −3 и 5 - это утверждение Гаусса о квадратичной взаимности.

Версия Лежандра

Другой способ организации данных - увидеть, какие простые числа являются остатками по модулю других простых чисел, как показано в следующей таблице. Запись в строке п столбец q является р если q является квадратичным вычетом (mod п); если это не остаток, запись N.

Если строка, столбец или оба имеют значение 1 (mod 4), запись будет синей или зеленой; если и строка, и столбец ≡ 3 (mod 4), он желтый или оранжевый.

Синие и зеленые элементы симметричны относительно диагонали: запись для строки п, столбец q является р (соответственно N) тогда и только тогда, когда запись в строке q, столбец п, является р (соответственно N).

Желтый и оранжевый, с другой стороны, антисимметричны: запись для строки п, столбец q является р (соответственно N) тогда и только тогда, когда запись в строке q, столбец п, является N (соответственно р).

Закон взаимности гласит, что эти модели верны для всех п и q.

Формулировка теоремы

Квадратичная взаимность (утверждение Гаусса). Если ${displaystyle qequiv 1 {mod {4}}}$ тогда сравнение ${displaystyle x ^ {2} Equiv p {mod {q}}}$ разрешимо тогда и только тогда, когда ${displaystyle x ^ {2} Equiv q {mod {p}}}$ разрешима. Если ${displaystyle qequiv 3 {mod {4}}}$ тогда сравнение ${displaystyle x ^ {2} Equiv p {mod {q}}}$ разрешимо тогда и только тогда, когда ${displaystyle x ^ {2} Equiv -q {mod {p}}}$ разрешима.

Квадратичная взаимность (комбинированное утверждение). Определять ${displaystyle q ^ {*} = (- 1) ^ {гидроразрыв {q-1} {2}} q}$. Тогда сравнение ${displaystyle x ^ {2} Equiv p {mod {q}}}$ разрешимо тогда и только тогда, когда ${displaystyle x ^ {2} Equiv q ^ {*} {mod {p}}}$ разрешима.

Квадратичная взаимность (утверждение Лежандра). Если п или же q сравнимы с 1 по модулю 4, то: ${displaystyle x ^ {2} Equiv q {mod {p}}}$ разрешимо тогда и только тогда, когда ${displaystyle x ^ {2} Equiv p {mod {q}}}$ разрешима. Если п и q сравнимы с 3 по модулю 4, то: ${displaystyle x ^ {2} Equiv q {mod {p}}}$ разрешимо тогда и только тогда, когда ${displaystyle x ^ {2} Equiv p {mod {q}}}$ не разрешима.

Последнее немедленно эквивалентно современной форме, указанной во введении выше. Это простое упражнение, чтобы доказать, что утверждения Лежандра и Гаусса эквивалентны - оно требует не более чем первого дополнения и фактов об умножении вычетов и невычетов.

Доказательство

Следующее доказательство из The American Mathematical Monthly^[4], по-видимому, самый короткий из известных.

Позволять

${displaystyle S_ {n} (t) = sum _ {x_ {1} + x_ {2} + dots + x_ {n} = t} left ({frac {x_ {1} x_ {2} cdots x_ {n}) } {p}} ight),}$

куда ${displaystyle t, x_ {i} в mathbb {Z} _ {p}}$ и ${displaystyle left ({frac {a} {p}} ight)}$ - символ Лежандра. Обратите внимание, что для нечетного ${displaystyle n}$ и любой ${displaystyle ain mathbb {Z} _ {p} / {0},}$

${displaystyle S_ {n} (t) = left ({frac {a} {p}} ight) ^ {n} sum _ {{frac {x_ {1}} {a}} + cdots + {frac {x_ { n}} {a}} = {frac {t} {a}}} слева ({frac {{frac {x_ {1}} {a}} cdots {frac {x_ {n}} {a}}} { p}} ight) = left ({frac {a} {p}} ight) S_ {n} (t / a).}$

В частности, подставив ${displaystyle t = 0}$ и ${displaystyle a}$ без остатка, получаем ${displaystyle S_ {n} (0) = 0}$, и установка ${displaystyle t = a}$, мы получили ${displaystyle S_ {n} (a) = left ({frac {a} {p}} ight) S_ {n} (1)}$; и по аналогичным рассуждениям,

${displaystyle S_ {2} (a) = left ({frac {a} {p}} ight) ^ {2} S_ {2} (1) = S_ {2} (1).}$

Более того,

${displaystyle S_ {2} (0) = sum _ {xin mathbb {Z} _ {p} / {0}} left ({frac {-x ^ {2}} {p}} ight) = left ({frac {-1} {p}} ight) (p-1),}$

и, напоминая, что

${displaystyle sum _ {tin mathbb {Z} _ {p}} left ({frac {t} {p}} ight) = 0,}$

${displaystyle S_ {2} (1) = sum _ {xin mathbb {Z} _ {p} / {0}} left ({frac {x ^ {2} x ^ {- 1} (1-x)} { p}} ight) = sum _ {xin mathbb {Z} _ {p} / {0}, y = x ^ {- 1}} left ({frac {y-1} {p}} ight) = - left ({frac {-1} {p}} ight).}$

Следовательно, для нечетных ${displaystyle n}$ у нас есть

${displaystyle S_ {n + 2} (1) = sum _ {tin mathbb {Z} _ {p} / {0,1}} S_ {n} (t) S_ {2} (1-t) + S_ { n} (1) S_ {2} (0) + S_ {n} (0) S_ {2} (1) = sum _ {tin mathbb {Z} _ {p} / {0,1}} влево ({ frac {t} {p}} ight) S_ {n} (1) left (-left ({frac {-1} {p}} ight) ight) + S_ {n} (1) left ({frac {- 1} {p}} ight) (p-1) = S_ {n} (1) left ({frac {-1} {p}} ight) p.}$

С ${displaystyle S_ {1} (1) = left ({frac {1} {p}} ight) = 1}$по индукции по нечетным ${displaystyle n}$

${displaystyle S_ {n} (1) = left (left ({frac {-1} {p}} ight) pight) ^ {frac {n-1} {2}} = p ^ {frac {n-1} {2}} (- 1) ^ {{frac {p-1} {2}} {frac {n-1} {2}}}.}$

Следовательно, по Критерий Эйлера, для нечетного простого числа ${displaystyle q}$,

${displaystyle S_ {q} (1) экв. слева ({frac {p} {q}} ight) (- 1) ^ {{frac {p-1} {2}} {frac {q-1} {2} }} {mod {q}}.}$

Теперь ${displaystyle q}$ циклические сдвиги заданного ${displaystyle q}$пара ${displaystyle (x_ {1}, dots, x_ {q})}$ отличны, если все ${displaystyle x_ {i}}$ равны, так как период его повторного однопозиционного циклического сдвига делит ${displaystyle q}$, и так ${displaystyle q}$ или 1. Когда они отличны, их общий вклад в сумму, определяющую ${displaystyle S_ {q} (1)}$ является ${displaystyle qleft ({frac {x_ {1} x_ {2} cdots x_ {q}} {p}} ight)}$, который делится на ${displaystyle q}$. Следовательно, по модулю ${displaystyle q}$ (мы принимаем ${displaystyle qeq p}$),

${displaystyle S_ {q} (1) эквивалентная сумма _ {x_ {1} + x_ {2} + точки + x_ {q} = 1, x_ {1} = x_ {2} = точки = x_ {q}} слева ({frac {x_ {1} x_ {2} cdots x_ {q}} {p}} ight) = left ({frac {q ^ {- 1}} {p}} ight) ^ {q} = left ( {frac {q} {p}} ight).}$

Так

${displaystyle left ({frac {p} {q}} ight) (- 1) ^ {{frac {p-1} {2}} {frac {q-1} {2}}}}$

и ${displaystyle left ({frac {q} {p}} ight)}$ конгруэнтны ${displaystyle S_ {q} (1)}$, и, таким образом, друг к другу, по модулю ${displaystyle q}$ - но они оба являются числами формы ${displaystyle pm 1}$, поэтому они равны, что является законом квадратичной взаимности.

Доказательства добавок

Ценность символа Лежандра ${displaystyle -1}$ (использованное в доказательстве выше) следует непосредственно из Критерий Эйлера:

${displaystyle left ({frac {-1} {p}} ight) Equiv (-1) ^ {frac {p-1} {2}} {mod {p}}}$

по критерию Эйлера, но обе стороны этого сравнения - числа вида ${displaystyle pm 1}$, поэтому они должны быть равны.

Ли ${displaystyle 2}$ является квадратичным вычетом, если мы знаем количество решений уравнения ${displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 2}$ с ${displaystyle x, yin mathbb {Z} _ {p},}$ которую можно решить стандартными методами. А именно, все его решения, где ${displaystyle xyeq 0, xeq pm y}$ можно сгруппировать в октуплеты вида ${displaystyle (pm x, pm y), (pm y, pm x)}$, и остались четыре решения вида ${displaystyle (pm 1, pm 1)}$ и, возможно, четыре дополнительных решения, где ${displaystyle x ^ {2} = 2, y = 0}$ и ${displaystyle x = 0, y ^ {2} = 2}$, которые существуют в точности, если ${displaystyle 2}$ является квадратичным вычетом. То есть, ${displaystyle 2}$ является квадратичным вычетом в точности, если число решений этого уравнения делится на ${displaystyle 8}$. И это уравнение здесь решается точно так же, как и над рациональными числами: подставляем ${displaystyle x = a + 1, y = at + 1}$, где мы требуем, чтобы ${displaystyle aeq 0}$ (исключая два решения ${displaystyle (1, pm 1)}$), то исходное уравнение преобразуется в

${displaystyle a = - {frac {2 (t + 1)} {(t ^ {2} +1)}}.}$

Здесь ${displaystyle t}$ может иметь любое значение, при котором знаменатель не равен нулю - для которых есть ${displaystyle 1 + left ({frac {-1} {p}} ight)}$ возможности (т.е. ${displaystyle 2}$ если ${displaystyle -1}$ это остаток, ${displaystyle 0}$ если нет) - и тоже не делает ${displaystyle a}$ ноль, что исключает еще один вариант, ${displaystyle t = -1}$. Таким образом, есть

${displaystyle p-left (1 + left ({frac {-1} {p}} ight) ight) -1}$

возможности для ${displaystyle t}$, поэтому вместе с двумя исключенными решениями есть общие ${displaystyle p-left ({frac {-1} {p}} ight)}$ решения исходного уравнения. Следовательно, ${displaystyle 2}$ является вычетом по модулю ${displaystyle p}$ если и только если ${displaystyle 8}$ разделяет ${displaystyle p - (- 1) ^ {гидроразрыв {p-1} {2}}}$. Это переформулировка указанного выше условия.

История и альтернативные утверждения

Теорема была сформулирована многими способами до ее современной формы: Эйлер и Лежандр не использовали нотацию конгруэнтности Гаусса, а Гаусс не имел символа Лежандра.

В этой статье п и q всегда относятся к различным положительным нечетным простым числам, и Икс и у до неопределенных целых чисел.

Ферма

Ферма доказал^[5] (или утверждал, что доказал)^[6] ряд теорем о выражении простого числа квадратичной формой:

${displaystyle {egin {align} p = x ^ {2} + y ^ {2} qquad & Longleftrightarrow qquad p = 2quad {ext {or}} quad pequiv 1 {mod {4}} p = x ^ {2} + 2y ^ {2} qquad & Longleftrightarrow qquad p = 2quad {ext {or}} quad pequiv 1,3 {mod {8}} p = x ^ {2} + 3y ^ {2} qquad & Longleftrightarrow qquad p = 3quad {ext {or}} quad pequiv 1 {mod {3}} end {align}}}$

Он не сформулировал закон квадратичной взаимности, хотя случаи -1, ± 2 и ± 3 легко выводятся из этих и других его теорем.

Он также утверждал, что у него есть доказательство того, что если простое число п заканчивается на 7 (с основанием 10) и простым числом q заканчивается на 3, и п ≡ q ≡ 3 (mod 4), тогда

${displaystyle pq = x ^ {2} + 5y ^ {2}.}$

Эйлер предположил, а Лагранж доказал, что^[7]

${displaystyle {egin {выравнивается} p & Equiv 1,9 {mod {20}} quad Longrightarrow quad p = x ^ {2} + 5y ^ {2} p, q & Equiv 3,7 {mod {20}} quad Longrightarrow quad pq = x ^ {2} + 5y ^ {2} конец {выровнено}}}$

Доказательство этих и других утверждений Ферма было одной из вещей, которые привели математиков к теореме взаимности.

Эйлер

В переводе на современные обозначения Эйлер заявил ^[8] что для различных нечетных простых чисел п и q:

1. Если q ≡ 1 (mod 4), затем q является квадратичным вычетом (mod п) тогда и только тогда, когда существует некоторое целое число б такой, что п ≡ б² (мод q).
2. Если q ≡ 3 (mod 4), затем q является квадратичным вычетом (mod п) тогда и только тогда, когда существует некоторое целое число б что нечетное и не делится на q такой, что п ≡ ±б² (мод 4q).

Это эквивалентно квадратичной взаимности.

Он не мог этого доказать, но доказал вторую добавку.^[9]

Лежандр и его символ

Ферма доказал, что если п простое число и а целое число,

${displaystyle a ^ {p} эквивалентно {mod {p}}.}$

Таким образом, если п не разделяет а, используя неочевидный факт (см., например, Ирландию и Розен ниже), что вычеты по модулю п сформировать поле и поэтому, в частности, мультипликативная группа является циклической, следовательно, может быть не более двух решений квадратного уравнения:

${displaystyle a ^ {frac {p-1} {2}} Equiv pm 1 {mod {p}}.}$

Legendre^[10] Давайте а и А представляют собой положительные простые числа ≡ 1 (mod 4) и б и B положительные простые числа ≡ 3 (mod 4), и представляет собой таблицу из восьми теорем, которые вместе эквивалентны квадратичной взаимности:

Теорема	Когда	следует, что
я	${displaystyle b ^ {frac {a-1} {2}} Equiv 1 {mod {a}}}$	${displaystyle a ^ {frac {b-1} {2}} Equiv 1 {mod {b}}}$
II	${displaystyle a ^ {frac {b-1} {2}} Equiv -1 {mod {b}}}$	${displaystyle b ^ {frac {a-1} {2}} Equiv -1 {mod {a}}}$
III	${displaystyle a ^ {frac {A-1} {2}} Equiv 1 {mod {A}}}$	${displaystyle A ^ {frac {a-1} {2}} Equiv 1 {mod {a}}}$
IV	${displaystyle a ^ {frac {A-1} {2}} Equiv -1 {mod {A}}}$	${displaystyle A ^ {frac {a-1} {2}} Equiv -1 {mod {a}}}$
V	${displaystyle a ^ {frac {b-1} {2}} Equiv 1 {mod {b}}}$	${displaystyle b ^ {frac {a-1} {2}} Equiv 1 {mod {a}}}$
VI	${displaystyle b ^ {frac {a-1} {2}} Equiv -1 {mod {a}}}$	${displaystyle a ^ {frac {b-1} {2}} Equiv -1 {mod {b}}}$
VII	${displaystyle b ^ {frac {B-1} {2}} Equiv 1 {mod {B}}}$	${displaystyle B ^ {frac {b-1} {2}} Equiv -1 {mod {b}}}$
VIII	${displaystyle b ^ {frac {B-1} {2}} Equiv -1 {mod {B}}}$	${displaystyle B ^ {frac {b-1} {2}} Equiv 1 {mod {b}}}$

Он говорит, что, поскольку выражения формы

${displaystyle N ^ {frac {c-1} {2}} {mod {c}}, qquad gcd (N, c) = 1}$

будет появляться так часто, что он будет сокращать их как:

${displaystyle left ({frac {N} {c}} ight) Equiv N ^ {frac {c-1} {2}} {mod {c}} = pm 1.}$

Теперь это известно как Символ Лежандра, и эквивалент^[11][12] сегодня используется определение: для всех целых чисел а и все нечетные простые числа п

${displaystyle left ({frac {a} {p}} ight) = {egin {cases} 0 & aequiv 0 {mod {p}} 1 & aot Equiv 0 {mod {p}} {ext {and}} существует x: aequiv x ^ {2} {mod {p}} - 1 & aot Equiv 0 {mod {p}} {ext {а такого нет}} x.end {case}}}$

Версия квадратичной взаимности Лежандра

${displaystyle left ({frac {p} {q}} ight) = {egin {case} left ({frac {q} {p}} ight) & pequiv 1 {mod {4}} quad {ext {or}} quad qequiv 1 {mod {4}} - left ({frac {q} {p}} ight) & pequiv 3 {mod {4}} quad {ext {and}} quad qequiv 3 {mod {4}} end {случаях }}}$

Он отмечает, что их можно комбинировать:

${displaystyle left ({frac {p} {q}} ight) left ({frac {q} {p}} ight) = (- 1) ^ {{frac {p-1} {2}} {frac {q -1} {2}}}.}$

Ряд доказательств, особенно основанных на Лемма Гаусса,^[13] явно вычислить эту формулу.

Дополнительные законы с использованием символов Лежандра

${displaystyle {egin {выровнено} left ({frac {-1} {p}} ight) & = (- 1) ^ {frac {p-1} {2}} = {egin {cases} 1 & pequiv 1 {mod { 4}} - 1 & pequiv 3 {mod {4}} end {case}} left ({frac {2} {p}} ight) & = (- 1) ^ {frac {p ^ {2} -1} {8}} = {egin {case} 1 & pequiv 1,7 {mod {8}} - 1 & pequiv 3,5 {mod {8}} end {cases}} end {align}}}$

Попытка Лежандра доказать взаимность основана на его теореме:

Теорема Лежандра. Позволять а, б и c быть целыми числами, где любая пара из трех взаимно просты. Более того, предположим, что хотя бы один из ab, до н.э или же ок отрицательно (т.е. у них разные знаки). Если

${displaystyle {egin {выровнено} u ^ {2} & Equiv -bc {mod {a}} v ^ {2} & Equiv -ca {mod {b}} w ^ {2} & Equiv -ab {mod {c} } конец {выровнен}}}$

разрешимы, то следующее уравнение имеет нетривиальное решение в целых числах:

${displaystyle ax ^ {2} + by ^ {2} + cz ^ {2} = 0.}$

Пример. Теорема I обрабатывается, позволяя а ≡ 1 и б ≡ 3 (mod 4) - простые числа и предполагая, что ${displaystyle left ({frac {b} {a}} ight) = 1}$ и, вопреки теореме, ${displaystyle left ({frac {a} {b}} ight) = - 1.}$ потом ${displaystyle x ^ {2} + ay ^ {2} -bz ^ {2} = 0}$ имеет решение, и взятие сравнений (mod 4) приводит к противоречию.

Этот метод не работает для теоремы VIII. Позволять б ≡ B ≡ 3 (mod 4), и предположим

${displaystyle left ({frac {B} {b}} ight) = left ({frac {b} {B}} ight) = - 1.}$

Тогда, если есть другое простое число п ≡ 1 (mod 4) такая, что

${displaystyle left ({frac {p} {b}} ight) = left ({frac {p} {B}} ight) = - 1,}$

разрешимость ${displaystyle Bx ^ {2} + by ^ {2} -pz ^ {2} = 0}$ приводит к противоречию (mod 4). Но Лежандр не смог доказать, что такое простое число должно быть. п; Позже он смог показать, что все, что требуется, это:

Лемма Лежандра. Если п простое число, сравнимое с 1 по модулю 4, то существует нечетное простое число q такой, что ${displaystyle left ({frac {p} {q}} ight) = - 1.}$

но и этого он доказать не мог. Символ Гильберта (внизу) обсуждает, как методы, основанные на существовании решений ${displaystyle ax ^ {2} + by ^ {2} + cz ^ {2} = 0}$ можно заставить работать.

Гаусс

Часть статьи 131 в редакции первой (1801 г.) Disquisitiones, перечисляя 8 случаев квадратичной взаимности

Гаусс первым доказывает^[14] дополнительные законы. Он устанавливает^[15] основание для индукции путем доказательства теоремы для ± 3 и ± 5. Отмечая^[16] что легче утверждать для −3 и +5, чем для +3 или −5, он утверждает^[17] общая теорема в виде:

Если п простое число вида 4п +1 затем п, но если п имеет вид 4п + 3, затем -п, является квадратичным вычетом (соответственно невычетом) каждого простого числа, которое с положительным знаком является вычетом (соответственно невычетом) простого числа. п. В следующем предложении он окрестил ее «фундаментальной теоремой» (Гаусс никогда не использовал слово «взаимность»).

Вводя обозначения а р б (соотв. а N б) значить а является квадратичным вычетом (соответственно невычетом) (mod б), и позволяя а, а′ И т. Д. Представляют собой положительные простые числа ≡ 1 (mod 4) и б, б′ И т.д. положительные простые числа ≡ 3 (mod 4), он разбивает его на те же 8 случаев, что и Лежандр:

В следующей статье он обобщает это на основные правила Символ Якоби (внизу). Сдача А, А′ И т. Д. Представляют любые (простые или составные) положительные числа ≡ 1 (mod 4) и B, B′ И т. Д. Положительные числа ≡ 3 (mod 4):

Все эти случаи принимают форму «если простое число является вычетом (по модулю составного), то составное число является вычетом или невычетом (по модулю простого числа), в зависимости от сравнений (по модулю 4)». Он доказывает, что это следует из случаев 1) - 8).

Гауссу нужно было, и он смог доказать,^[18] лемма, аналогичная той, что понадобилась Лежандру:

Лемма Гаусса. Если п является простым числом, сравнимым с 1 по модулю 8, то существует нечетное простое число q такой, что:

${displaystyle q <2 {sqrt {p}} + 1quad {ext {and}} quad left ({frac {p} {q}} ight) = - 1.}$

Доказательство квадратичной взаимности использует полная индукция.

Версия Гаусса в легандровых символах.

${displaystyle left ({frac {p} {q}} ight) = {egin {case} left ({frac {q} {p}} ight) & qequiv 1 {mod {4}} left ({frac {-q } {p}} ight) & qequiv 3 {mod {4}} end {cases}}}$

Их можно комбинировать:

Комбинированная версия Гаусса в символах Лежандра. Позволять

${displaystyle q ^ {*} = (- 1) ^ {frac {q-1} {2}} q.}$

Другими словами:

${displaystyle | q ^ {*} | = | q | quad {ext {and}} quad q ^ {*} Equiv 1 {mod {4}}.}$

Потом:

${displaystyle left ({frac {p} {q}} ight) = left ({frac {q ^ {*}} {p}} ight).}$

Ряд доказательств теоремы, особенно основанных на Суммы Гаусса вывести эту формулу.^[19] или разбиение простых чисел на поля алгебраических чисел,^[20]

Прочие заявления

Обратите внимание, что утверждения в этом разделе эквивалентны квадратичной взаимности: если, например, предполагается версия Эйлера, версия Лежандра-Гаусса может быть выведена из нее, и наоборот.

Формулировка Эйлера квадратичной взаимности.^[21] Если ${displaystyle pequiv pm q {mod {4a}}}$ тогда ${displaystyle left ({frac {a} {p}} ight) = left ({frac {a} {q}} ight).}$

Это можно доказать, используя Лемма Гаусса.

Квадратичная взаимность (Гаусс; четвертое доказательство).^[22] Позволять а, б, c, ... быть неравными положительными нечетными простыми числами, произведение которых равно п, и разреши м - количество таких 3 (mod 4); проверить, есть ли п/а является остатком а, ли п/б является остатком б, .... Количество обнаруженных неотчетных остатков будет даже тогда, когда м ≡ 0, 1 (mod 4), и будет нечетным, если м ≡ 2, 3 (мод. 4).

Четвертое доказательство Гаусса состоит из доказательства этой теоремы (путем сравнения двух формул для значений сумм Гаусса) с последующим ограничением его до двух простых чисел. Затем он приводит пример: Пусть а = 3, б = 5, c = 7 и d = 11. Три из них, 3, 7 и 11 3 (mod 4), поэтому м ≡ 3 (мод.4). 5 × 7 × 11 R 3; 3 × 7 × 11 R 5; 3 × 5 × 11 R 7; и 3 × 5 × 7 N 11, поэтому имеется нечетное количество невычетов.

Формулировка Эйзенштейна квадратичной взаимности.^[23] Предполагать

${displaystyle peq q, quad p'eq q ', quad pequiv p' {mod {4}}, quad qequiv q '{mod {4}}.}.$

потом

${displaystyle left ({frac {p} {q}} ight) left ({frac {q} {p}} ight) = left ({frac {p '} {q'}} ight) left ({frac {q '} {p'}} ight).}$

Формулировка Морделла квадратичной взаимности.^[24] Позволять а, б и c быть целыми числами. Для каждого прайма п, деля abc если соответствие

${displaystyle ax ^ {2} + by ^ {2} + cz ^ {2} Equiv 0 {mod {frac {4abc} ​​{p}}}}$

имеет нетривиальное решение, то есть:

${displaystyle ax ^ {2} + by ^ {2} + cz ^ {2} Equiv 0 {mod {4abc}}.}$

Формулировка дзета-функции

Как упоминалось в статье о Дзета-функции Дедекинда, квадратичная взаимность эквивалентна дзета-функции квадратичного поля, являющегося произведением дзета-функции Римана и некоторой L-функции Дирихле

Символ Якоби

В Символ Якоби является обобщением символа Лежандра; основное отличие состоит в том, что нижнее число должно быть положительным и нечетным, но не обязательно простым. Если он простой, два символа совпадают. Он подчиняется тем же правилам манипуляции, что и символ Лежандра. Особенно

${displaystyle {egin {выравнивается} left ({frac {-1} {n}} ight) = (- 1) ^ {frac {n-1} {2}} & = {egin {cases} 1 & nequiv 1 {mod { 4}} - 1 & nequiv 3 {mod {4}} end {case}} left ({frac {2} {n}} ight) = (- 1) ^ {frac {n ^ {2} -1} { 8}} & = {egin {case} 1 & nequiv 1,7 {mod {8}} - 1 & nequiv 3,5 {mod {8}} end {cases}} end {align}}}$

и если оба числа положительные и нечетные (это иногда называют «законом взаимности Якоби»):

${displaystyle left ({frac {m} {n}} ight) = (- 1) ^ {frac {(m-1) (n-1)} {4}} left ({frac {n} {m}}) ight).}$

Однако, если символ Якоби равен 1, но знаменатель не является простым числом, это не обязательно означает, что числитель является квадратичным вычетом знаменателя. Случаи Гаусса 9) - 14) выше могут быть выражены в терминах символов Якоби:

${displaystyle left ({frac {M} {p}} ight) = (- 1) ^ {frac {(p-1) (M-1)} {4}} left ({frac {p} {M}}) ight),}$

и с тех пор п простое число, левая часть - символ Лежандра, и мы знаем, M является вычетом по модулю п или нет.

Формулы, перечисленные в предыдущем разделе, верны для символов Якоби до тех пор, пока символы определены. Формулу Эйлера можно записать

${displaystyle left ({frac {a} {m}} ight) = left ({frac {a} {mpm 4an}} ight), qquad nin mathbb {Z}, mpm 4an> 0.}$

Пример.

${displaystyle left ({frac {2} {7}} ight) = left ({frac {2} {15}} ight) = left ({frac {2} {23}} ight) = left ({frac {2 } {31}} ight) = cdots = 1.}$

2 - вычет по модулю простых чисел 7, 23 и 31:

${displaystyle 3 ^ {2} Equiv 2 {mod {7}}, quad 5 ^ {2} Equiv 2 {mod {23}}, quad 8 ^ {2} Equiv 2 {mod {31}}.}$

Но 2 не является квадратичным вычетом по модулю 5, поэтому он не может быть единицей по модулю 15. Это связано с проблемой, которую имел Лежандр: если ${displaystyle left ({frac {a} {m}} ight) = - 1,}$ тогда а является невычетом по модулю каждого простого числа в арифметической прогрессии м + 4а, м + 8а, ..., если здесь находятся любые простые числа в этой серии, но это не было доказано до десятилетий после Лежандра.^[25]

Формула Эйзенштейна требует условий относительной простоты (которые верны, если числа простые)

Позволять ${стиль отображения a, b, a ', b'}$ быть положительными нечетными целыми числами, такими что:

${displaystyle {egin {align} gcd & (a, b) = gcd (a ', b') = 1 & aequiv a '{mod {4}} & bequiv b' {mod {4}} конец {выровнено}} }$

потом

${displaystyle left ({frac {a} {b}} ight) left ({frac {b} {a}} ight) = left ({frac {a '} {b'}} ight) left ({frac {b '} {a'}} ight).}$

Символ Гильберта

Квадратичный закон взаимности можно сформулировать в терминах Символ Гильберта ${displaystyle (a, b) _ {v}}$ куда а и б - любые два ненулевых рациональных числа и v пробегает все нетривиальные абсолютные значения рациональных чисел (архимедова и п-адические абсолютные значения для простых чисел п). Символ Гильберта ${displaystyle (a, b) _ {v}}$ равно 1 или -1. Он определяется как 1 тогда и только тогда, когда уравнение ${displaystyle ax ^ {2} + by ^ {2} = z ^ {2}}$ имеет решение в завершение рациональных v Кроме как ${displaystyle x = y = z = 0}$. Закон взаимности Гильберта гласит, что ${displaystyle (a, b) _ {v}}$, для фиксированных а и б и различные v, равно 1 для всех, кроме конечного числа v и продукт ${displaystyle (a, b) _ {v}}$ общий v равно 1. (Формально это напоминает теорему о вычетах из комплексного анализа.)

Доказательство гильбертовой взаимности сводится к проверке нескольких частных случаев, а нетривиальные случаи оказываются эквивалентными основному закону и двум дополнительным законам квадратичной взаимности для символа Лежандра. В законе взаимности Гильберта нет взаимности; его название просто указывает на исторический источник результата квадратичной взаимности. В отличие от квадратичной взаимности, которая требует знаковых условий (а именно положительности задействованных простых чисел) и особой обработки простого числа 2, закон взаимности Гильберта рассматривает все абсолютные значения рациональных чисел на равной основе. Следовательно, это более естественный способ выражения квадратичной взаимности с точки зрения обобщения: закон взаимности Гильберта распространяется с очень небольшими изменениями на все глобальные поля и это расширение по праву можно считать обобщением квадратичной взаимности на все глобальные поля.

Связь с круговыми полями

Ранние доказательства квадратичной взаимности относительно неинтересны. Ситуация изменилась, когда Гаусс использовал Суммы Гаусса показать это квадратичные поля являются подполями циклотомические поля, и неявно вывел квадратичную взаимность из теоремы взаимности для круговых полей. Его доказательство было представлено в современной форме более поздними теоретиками алгебраических чисел. Это доказательство послужило образцом для теория поля классов, что можно рассматривать как обширное обобщение квадратичной взаимности.

Роберт Лэнглендс сформулировал Программа Langlands, что дает гипотетическое обширное обобщение теории полей классов. Он написал:^[26]

Признаюсь, что как студент, не знакомый с историей предмета и не знающий о связи с циклотомией, я не нашел закон или его так называемые элементарные доказательства привлекательными. Я полагаю, хотя я не мог (и не мог) выразить себя таким образом, я видел в этом не более чем математическое любопытство, подходящее больше для любителей, чем для внимания серьезного математика, которым я тогда надеялся стать. Это было только в книге Германа Вейля по алгебраической теории чисел.^[27] что я оценил это как нечто большее.

Другие кольца

Также существуют квадратичные законы взаимности в кольца кроме целых чисел.

Гауссовские целые числа

Во второй монографии по четверная взаимность^[28] Гаусс заявил о квадратичной взаимности для кольца ${displaystyle mathbb {Z} [i]}$ из Гауссовские целые числа, говоря, что это следствие биквадратный закон в ${displaystyle mathbb {Z} [i],}$ но не представил доказательства ни одной из теорем. Дирихле^[29] показал, что закон в ${displaystyle mathbb {Z} [i]}$ можно вывести из закона для ${displaystyle mathbb {Z}}$ без использования четверной взаимности.

Для нечетного гауссовского простого числа ${displaystyle pi}$ и гауссовское целое число ${displaystyle alpha}$ относительно простой ${displaystyle pi,}$ определить квадратичный характер для ${displaystyle mathbb {Z} [i]}$ к:

${displaystyle left [{frac {alpha} {pi}} ight] _ {2} Equiv alpha ^ {frac {mathrm {N} pi -1} {2}} {mod {pi}} = {egin {cases} 1 & существует eta в mathbb {Z} [i]: альфа-эквивалент eta ^ {2} {mod {pi}} - 1 & {ext {иначе}} end {case}}}$

Позволять ${displaystyle lambda = a + bi, mu = c + di}$ - различные гауссовские простые числа, где а и c странные и б и d четные. потом^[30]

${displaystyle left [{frac {lambda} {mu}} ight] _ {2} = left [{frac {mu} {lambda}} ight] _ {2}, qquad left [{frac {i} {lambda}}} ight] _ {2} = (- 1) ^ {frac {b} {2}}, qquad left [{frac {1 + i} {lambda}} ight] _ {2} = left ({frac {2} {a + b}} ight).}$

Целые числа Эйзенштейна

Рассмотрим следующий третий корень из единства:

${displaystyle omega = {frac {-1+ {sqrt {-3}}} {2}} = e ^ {frac {2pi imath} {3}}.}$

Кольцо целых чисел Эйзенштейна есть ${displaystyle mathbb {Z} [omega].}$^[31] Для простого Эйзенштейна ${displaystyle pi, mathrm {N} pi eq 3,}$ и целое число Эйзенштейна ${displaystyle alpha}$ с ${displaystyle gcd (alpha, pi) = 1,}$ определить квадратичный характер для ${displaystyle mathbb {Z} [omega]}$ по формуле