Шестидесятеричный - Sexagesimal

Шестидесятеричный, также известный как база 60 или же шестидесятилетний,^[1] это система счисления с шестьдесят как его основание. Он возник с древних Шумеры в 3-м тысячелетии до н.э. передалась древним Вавилоняне, и до сих пор используется - в измененной форме - для измерения время, углы, и географические координаты.

Число 60, а высшее очень сложное число, имеет двенадцать факторы, а именно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, из которых 2, 3 и 5 являются простые числа. С таким количеством факторов многие фракции с участием шестидесятеричных чисел упрощены. Например, один час можно равномерно разделить на части по 30 минут, 20 минут, 15 минут, 12 минут, 10 минут, 6 минут, 5 минут, 4 минуты, 3 минуты, 2 минуты и 1 минуту. 60 - наименьшее число, которое делится на каждое число от 1 до 6; то есть это наименьшее общее кратное из 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

В этой статье все шестидесятеричные цифры представлены как десятичные числа, если не указано иное. Например, 10 означает число десять и 60 означает число шестьдесят.

Источник

Люди могут считать по пальцам до 12, используя только одну руку, с большим пальцем, указывающим на каждую кость пальца на четыре пальца по очереди. Традиционная система счета, которая до сих пор используется во многих регионах Азии, работает таким образом и может помочь объяснить появление систем счисления, основанных на 12 и 60, помимо систем, основанных на 10, 20 и 5. В этой системе счет одной рукой повторяется постоянно. до 12, отображая количество итераций на другом, до пяти десятков, т.е. е. 60 полны.^[2][3]

В соответствии с Отто Нойгебауэр, истоки шестидесятеричных не так просты, последовательны или единичны во времени, как их часто изображают. На протяжении многих веков их использования, которое продолжается и сегодня для специализированных тем, таких как время, углы и астрономические системы координат, шестидесятеричные системы счисления всегда содержали сильную подоплеку десятичных чисел, например, в том, как записываются шестидесятеричные числа. Их использование также всегда включало (и продолжает включать) несоответствия в том, где и как различные основы должны представлять числа даже в пределах одного текста.^[4]

Самым мощным стимулом для строгого, полностью последовательного использования шестидесятеричного числа всегда были его математические преимущества для записи и вычисления дробей. В древних текстах это проявляется в том, что шестидесятеричное число используется наиболее единообразно и последовательно в математических таблицах данных.^[4] Еще одним практическим фактором, который помогал расширить использование шестидесятичного числа в прошлом, хотя и менее последовательно, чем в математических таблицах, было его очевидное преимущество для торговцев и покупателей в облегчении повседневных финансовых операций, когда они включали торги и разделение больших количеств товаров. Рано шекель в частности была одна шестидесятая часть мана^[4] хотя позже греки превратили это соотношение в более совместимое с основанием 10 соотношение: шекель составляет одну пятидесятую часть мина.

Помимо математических таблиц, несоответствия в том, как числа были представлены в большинстве текстов, простирались вплоть до самых основных клинопись символы, используемые для представления числовых величин.^[4] Например, клинописный символ для 1 представлял собой эллипс, полученный путем приложения закругленного конца стилуса под углом к ​​глине, в то время как шестидесятеричный символ для 60 был большим овалом или «большой 1». Но в тех же текстах, в которых использовались эти символы, число 10 было представлено как круг, образованный путем применения круглого конца стиля, перпендикулярного глине, а больший круг или «большая 10» использовался для обозначения 100. Такие многоосновные числовые количественные символы могут быть смешаны друг с другом и с сокращениями, даже в пределах одного числа. Детали и даже подразумеваемые величины (поскольку ноль использовался непоследовательно) были идиоматичными для конкретных периодов времени, культур и количества или представленных концепций. Хотя такие контекстно-зависимые представления числовых величин легко критиковать в ретроспективе, в наше время у нас все еще есть десятки регулярно используемых примеров тематического базового смешения, включая недавнее новшество добавления десятичных дробей к шестидесятеричным астрономическим координатам.^[4]

использование

Вавилонская математика

Шестидесятеричная система, используемая в древних Месопотамия не была чистой системой base-60, в том смысле, что она не использовала 60 различных символов для своего цифры. Вместо этого клинопись используемые цифры десять в качестве подосновы в виде знаковое обозначение: шестидесятеричная цифра состояла из группы узких клиновидных знаков, представляющих единицы до девяти (, , , , ..., ) и группу широких клиновидных знаков, представляющих до пяти десятков (, , , , ). Значение цифры представляло собой сумму значений составляющих ее частей:

Числа больше 59 были обозначены несколькими блоками символов этой формы в обозначение значений. Потому что не было символа для нуль не всегда сразу очевидно, как следует интерпретировать число, и его истинное значение иногда должно определяться его контекстом. Например, символы 1 и 60 идентичны.^[5][6] В более поздних вавилонских текстах использовался заполнитель () для обозначения нуля, но только в средних положениях, а не в правой части числа, как мы это делаем с числами вроде 13200.^[6]

Другие исторические обычаи

в Китайский календарь, а шестидесятилетний цикл обычно используется, в котором дни или годы называются позициями в последовательности из десяти основ и в другой последовательности из 12 ветвей. Один и тот же стебель и ветка повторяются каждые 60 шагов в этом цикле.

Книга VIII из Платон с Республика включает в себя аллегорию брака, основанную на числе 60⁴ = 12960000 и его делители. Это число имеет особенно простое шестидесятеричное представление 1,0,0,0,0. Позднее ученые использовали как вавилонскую математику, так и теорию музыки, пытаясь объяснить этот отрывок.^[7]

Птолемей с Альмагест, трактат о математическая астрономия написано во втором веке нашей эры, использует основание 60 для выражения дробных частей чисел. В частности, его таблица аккордов, который, по сути, был единственным обширным тригонометрическая таблица более тысячелетия имеет дробные части градуса по основанию 60.

Средневековые астрономы также использовали шестидесятеричные числа для обозначения времени. Аль-Бируни сначала разделил час по половому признаку на минут, секунды, трети и четверти в 1000 при обсуждении еврейских месяцев.^[8] Около 1235 г. Иоанн Сакробоско продолжил эту традицию, хотя Нотафт считал, что Сакробоско был первым, кто это сделал.^[9] Парижская версия Альфонсиновые столы (ок. 1320 г.) использовал день как базовую единицу времени, записывая кратные и дробные числа дня в системе счисления с основанием 60.^[10]

Шестидесятеричная система счисления продолжала часто использоваться европейскими астрономами для вычислений вплоть до 1671 года.^[11] Например, Йост Бюрги в Fundamentum Astronomiae (представлены Император Рудольф II в 1592 г.), его коллега Урсус в Fundamentum Astronomicum, и, возможно, также Генри Бриггс В конце 16 века использовала таблицы умножения, основанные на шестидесятеричной системе счисления, для вычисления синусов.^[12]

В конце восемнадцатого и начале девятнадцатого века Тамильский Было обнаружено, что астрономы производили астрономические вычисления, считая снаряды, используя смесь десятичной и шестидесятеричной системы счисления, разработанную Эллинистический астрономы.^[13]

Системы счисления с основанием 60 также использовались в некоторых других культурах, которые не имеют отношения к шумерам, например, в Экари люди из Западная Новая Гвинея.^[14][15]

Современное использование

Современное использование шестидесятеричной системы включает измерение углы, географические координаты, электронная навигация и время.^[16]

Один час времени делится на 60 минут, а одна минута делится на 60 секунд. Таким образом, измерение времени, такое как 3:23:17 (3 часа 23 минуты 17 секунд) может интерпретироваться как целое шестидесятеричное число (без шестидесятеричной точки), что означает 3 × 60² + 23 × 60¹ + 17 × 60⁰ секунды. Однако каждая из трех шестидесятеричных цифр в этом числе (3, 23 и 17) записывается с использованием десятичный система.

Точно так же практической единицей измерения угла является степень, из которых есть 360 (шесть шестидесятых) по кругу. Всего 60 угловые минуты в степени, и 60 угловые секунды в минуту.

YAML

В версии 1.1^[17] из YAML формат хранения данных, шестидесятичные числа поддерживаются для простых скаляров и формально указаны как для целых чисел^[18] и числа с плавающей запятой.^[19] Это привело к путанице, например, немного MAC-адреса будут распознаваться как шестидесятичные и загружаться как целые числа, а другие - как строки. В YAML 1.2 была прекращена поддержка шестидесятичных чисел.^[20]

Обозначения

В Эллинистический греческий астрономические тексты, такие как сочинения Птолемей, шестидесятеричные числа записывались с использованием Греческие буквенные цифры, где каждая шестидесятеричная цифра рассматривается как отдельное число. Эллинистические астрономы приняли новый символ нуля, —°, который на протяжении веков трансформировался в другие формы, включая греческую букву омикрон, ο, обычно означающую 70, но допустимую в шестидесятеричной системе, где максимальное значение в любой позиции составляет 59.^[21][22] Греки ограничивали использование шестидесятеричных чисел дробной частью числа.^[23]

В средневековых латинских текстах шестидесятеричные числа записывались с использованием арабские цифры; обозначены разные уровни фракций минута (т.е. дробь), minuta secunda, minuta tertiaи т. д. К семнадцатому веку стало обычным обозначать целую часть шестидесятеричных чисел нулем в верхнем индексе, а различные дробные части - одним или несколькими знаками ударения. Джон Уоллис, в его Матезис универсалис, обобщил это обозначение, включив в него числа, кратные 60; приведя в качестве примера число 49‵‵‵‵36‵‵‵25‵‵15‵1°15′2″36‴49⁗; где числа слева умножаются на более высокие степени 60, числа справа делятся на степени 60, а число, отмеченное нулем в верхнем индексе, умножается на 1.^[24] Это обозначение приводит к современным знакам для градусов, минут и секунд. Та же самая номенклатура минут и секунд также используется для единиц времени, а современные обозначения времени с часами, минутами и секундами, записанными в десятичном виде и отделенными друг от друга двоеточиями, могут интерпретироваться как форма шестидесятеричной записи.

В некоторых системах употребления каждая позиция после шестидесятеричной запятой была пронумерована с использованием латинских или французских корней: основной или же примус, второй или же secundus, ярус, катр, квинтаи т. д. По сей день мы называем часть второго порядка часа или же степени Второй". По крайней мере, до 18 века, 1/60 секунды называли «ярус» или «третий».^[25][26]

В 1930-е гг. Отто Нойгебауэр ввела современную систему обозначений для вавилонских и эллинистических чисел, которая заменяет современные десятичные обозначения от 0 до 59 в каждой позиции, используя точку с запятой (;) для разделения целой и дробной частей числа и используя запятую (,) для разделения позиции в каждой части.^[27] Например, среднее синодический месяц используется как вавилонскими, так и эллинистическими астрономами и до сих пор используется в Еврейский календарь составляет 29; 31,50,8,20 дней. Эти обозначения используются в данной статье.

Дроби и иррациональные числа

Фракции

В шестидесятеричной системе любое дробная часть в которой знаменатель это обычный номер (имея только 2, 3 и 5 в своем простые множители ) может быть выражено точно.^[28] Здесь показаны все дроби этого типа, знаменатель которых меньше или равен 60:

Однако числа, которые не имеют правильной формы, более сложны. повторяющиеся дроби. Например:

​¹⁄₇ = 0;8,34,17 (полоса указывает последовательность шестидесятеричных цифр 8,34,17, повторяющуюся бесконечно много раз)

​¹⁄₁₁ = 0;5,27,16,21,49

​¹⁄₁₃ = 0;4,36,55,23

​¹⁄₁₄ = 0;4,17,8,34

​¹⁄₁₇ = 0;3,31,45,52,56,28,14,7

​¹⁄₁₉ = 0;3,9,28,25,15,47,22,6,18,56,50,31,34,44,12,37,53,41

​¹⁄₅₉ = 0;1

​¹⁄₆₁ = 0;0,59

Тот факт, что два числа, примыкающие к шестидесяти, 59 и 61, являются простыми числами, означает, что дроби, повторяющиеся с периодом в одну или две шестидесятеричные цифры, могут иметь только обычные числа, кратные 59 или 61 в качестве знаменателя, и что в других нерегулярных числах дроби повторяются с более длинным периодом.

Иррациональные числа

Вавилонская табличка YBC 7289 показывает шестидесятеричное число 1;24,51,10 приблизительный√2

Представления иррациональные числа в любой позиционной системе счисления (включая десятичную и шестидесятеричную) ни оканчиваются, ни повторение.

В квадратный корень из 2, длина диагональ из единичный квадрат, был приближен вавилонянами древневавилонского периода (1900 г. до н.э. - 1650 г. до н.э.) в качестве

${ displaystyle 1; 24,51,10 = 1 + { frac {24} {60}} + { frac {51} {60 ^ {2}}} + { frac {10} {60 ^ {3 }}} = { frac {30547} {21600}} приблизительно 1,41421296 ldots}$^[29]

Потому что √2 ≈ 1.41421356... является иррациональный номер, оно не может быть точно выражено в шестидесятеричной системе (или любой другой системе с основанием целого числа), но его шестидесятеричное расширение действительно начинается с 1; 24,51,10,7,46,6,4,44 ... (OEIS: A070197)

Значение π как используется Греческий математик и ученый Птолемей было 3; 8,30 = 3 + 8/60 + 30/60² = 377/120 ≈ 3.141666....^[30] Джамшид аль-Каши, 15 век Персидский математик, рассчитал 2π как шестидесятеричное выражение до его правильного значения при округлении до девяти подцифров (таким образом, чтобы 1/60⁸); его значение для 2π было 6; 16,59,28,1,34,51,46,14,50.^[31][32] Нравиться √2 выше, 2π является иррациональным числом и не может быть точно выражено шестидесятеричным числом. Его шестидесятеричное расширение начинается с 6; 16,59,28,1,34,51,46,14,49,55,12,35 ... (OEIS: A091649)

Смотрите также

• Часы
• Широта
• Тригонометрия

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Ифра, Жорж (1999), Всеобщая история чисел: от предыстории до изобретения компьютера, Wiley, ISBN  0-471-37568-3.
• Nissen, Hans J .; Damerow, P .; Инглунд, Р. (1993), Архаическая бухгалтерия, Издательство Чикагского университета, ISBN  0-226-58659-6

внешняя ссылка

• «Факты о исчислении градусов и минут» это книга на арабском языке, созданная Сибу аль-Маридини, Бадр ад-Дин Мухаммад ибн Мухаммад (р. 1423 г.). Эта работа предлагает очень подробное рассмотрение шестидесятеричной математики и включает, по-видимому, первое упоминание о периодичности шестидесятеричных дробей.