Знаковое представление - Signed-digit representation

В математическая запись за числа, а представление цифр со знаком это позиционная система счисления с набором подписанный цифры привыкший кодировать в целые числа.

Представление цифр со знаком можно использовать для быстрого сложения целых чисел, поскольку оно может устранить цепочки зависимых переносов.^[1] в двоичная система счисления, специальным представлением подписанной цифры является несмежная форма, который может обеспечить повышение скорости при минимальных накладных расходах.

История

Проблемы в расчет побудил ранних авторов Колсона (1726) и Коши (1840) использовать представление цифр со знаком. Дальнейший шаг замены отрицательных цифр новыми был предложен Селлингом (1887 г.) и Каджори (1928 г.).

В 1928 г. Флориан Каджори отметил повторяющуюся тему подписанных цифр, начиная с Colson (1726) и Коши (1840).^[2] В его книге История математических обозначений, Каджори озаглавил раздел «Отрицательные числа».^[3] Для полноты картины Колсон^[4] использует примеры и описывает добавление (стр 163,4), умножение (стр 165,6) и разделение (стр 170,1) с использованием таблицы кратных делителя. Он объясняет удобство приближения усечением при умножении. Колсон также разработал инструмент (счетную таблицу), который вычисляет цифры со знаком.

Эдуард Продам^[5] выступает за инвертирование цифр 1, 2, 3, 4 и 5 для обозначения отрицательного знака. Он также предложил снис, Джес, рывок, reff, и нюхать как имена для использования в голосе. Большинство других ранних источников использовали черту над цифрой, чтобы указать отрицательный знак для него. Другое немецкое использование цифр со знаком было описано в 1902 году в Энциклопедия Кляйна.^[6]

Определение и свойства

Набор цифр

Позволять ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ быть конечный набор из числовые цифры с мощность ${ displaystyle b> 1}$ (Если ${ displaystyle b leq 1}$ , то позиционная система счисления банальный и представляет только тривиальное кольцо ), где каждая цифра обозначена как ${ displaystyle d_ {i}}$ за ${ Displaystyle 0 Leq я <б.}$ ${ displaystyle b}$ известен как основание или же база чисел. ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ может использоваться для представления цифры со знаком, если он связан с уникальным функция ${ displaystyle f _ { mathcal {D}}: { mathcal {D}} rightarrow mathbb {Z}}$ такой, что ${ Displaystyle е _ { mathcal {D}} (d_ {я}) эквив я { bmod {b}}}$ для всех ${ Displaystyle 0 Leq я <б.}$ Эта функция, ${ displaystyle f _ { mathcal {D}},}$ это то, что строго и формально устанавливает, как целочисленные значения присваиваются символам / глифам в ${ displaystyle { mathcal {D}}.}$ Одним из преимуществ этого формализма является то, что определение «целых чисел» (как бы они ни были определены) не связано с какой-либо конкретной системой их записи / представления; таким образом, эти две различные (хотя и тесно связанные) концепции сохраняются отдельно.

${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ возможно разделенный на три различных набора ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {+}}$ , ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {0}}$ , и ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {-}}$ , представляющие положительные, нулевые и отрицательные цифры соответственно, так что все цифры ${ displaystyle d _ {+} in { mathcal {D}} _ {+}}$ удовлетворить ${ displaystyle f _ { mathcal {D}} (d _ {+})> 0}$ , все цифры ${ displaystyle d_ {0} in { mathcal {D}} _ {0}}$ удовлетворить ${ displaystyle f _ { mathcal {D}} (d_ {0}) = 0}$ и все цифры ${ displaystyle d _ {-} in { mathcal {D}} _ {-}}$ удовлетворить ${ displaystyle f _ { mathcal {D}} (d _ {-}) <0}$ . Мощность ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {+}}$ является ${ displaystyle b _ {+}}$ , мощность ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {0}}$ является ${ displaystyle b_ {0}}$ , а мощность ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {-}}$ является ${ displaystyle b _ {-}}$ , давая количество положительных и отрицательных цифр соответственно, так что ${ displaystyle b = b _ {+} + b_ {0} + b _ {-}}$ .

Представления сбалансированной формы

Представления сбалансированной формы - это представления, в которых для каждой положительной цифры ${ displaystyle d _ {+}}$ , существует соответствующая отрицательная цифра ${ displaystyle d _ {-}}$ такой, что ${ displaystyle f _ { mathcal {D}} (d _ {+}) = - f _ { mathcal {D}} (d _ {-})}$ . Следует, что ${ displaystyle b _ {+} = b _ {-}}$ . Только нечетные основания могут иметь сбалансированные представления формы, например, когда ${ displaystyle b _ {+} = b _ {-}}$ тогда ${ displaystyle b = b _ {+} + b _ {-} + 1 = 2b _ {+} + 1}$ будет нечетное число. В сбалансированной форме отрицательные цифры ${ displaystyle d _ {-} in { mathcal {D}} _ {-}}$ обычно обозначаются как положительные цифры с чертой над цифрой, так как ${ displaystyle d _ {-} = { bar {d}} _ {+}}$ за ${ displaystyle d _ {+} in { mathcal {D}} _ {+}}$ . Например, набор цифр сбалансированный тройной было бы ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {3} = lbrace { bar {1}}, 0,1 rbrace}$ с ${ displaystyle f _ {{ mathcal {D}} _ {3}} ({ bar {1}}) = - 1}$ , ${ displaystyle f _ {{ mathcal {D}} _ {3}} (0) = 0}$ , и ${ displaystyle f _ {{ mathcal {D}} _ {3}} (1) = 1}$ . Эта конвенция принята в конечные поля странного основной порядок ${ displaystyle q}$ :^[7]

{ displaystyle mathbb {F} _ {q} = lbrace 0,1, { bar {1}} = - 1, ... d = { frac {q-1} {2}}, { bar {d}} = { frac {1-q} {2}} | q = 0 rbrace.}

Двойное представление цифр со знаком

Каждый набор цифр ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ имеет двойной набор цифр ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { operatorname {op}}}$ предоставленный обратный порядок цифр с изоморфизм ${ displaystyle g: { mathcal {D}} rightarrow { mathcal {D}} ^ { operatorname {op}}}$ определяется ${ displaystyle -f _ { mathcal {D}} = g circ f _ {{ mathcal {D}} ^ { operatorname {op}}}}$ . В результате для любых представлений цифр со знаком ${ displaystyle { mathcal {N}}}$ системы счисления звенеть ${ displaystyle N}$ построен из ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ с оценка ${ displaystyle v _ { mathcal {D}}: { mathcal {N}} rightarrow N}$ , существует двойное представление чисел со знаком ${ displaystyle N}$ , ${ displaystyle { mathcal {N}} ^ { operatorname {op}}}$ , построенный из ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { operatorname {op}}}$ с оценка ${ displaystyle v _ {{ mathcal {D}} ^ { operatorname {op}}}: { mathcal {N}} ^ { operatorname {op}} rightarrow N}$ , и изоморфизм ${ displaystyle h: { mathcal {N}} rightarrow { mathcal {N}} ^ { operatorname {op}}}$ определяется ${ displaystyle -v _ { mathcal {D}} = h circ v _ {{ mathcal {D}} ^ { operatorname {op}}}}$ , куда ${ displaystyle -}$ является аддитивным обратным оператором ${ displaystyle N}$ . Набор цифр для сбалансированных представлений формы: самодвойственный.

Для целых чисел

Учитывая набор цифр ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ и функция ${ displaystyle f: { mathcal {D}} rightarrow mathbb {Z}}$ как определено выше, давайте определим целое число эндофункция ${ Displaystyle T: mathbb {Z} rightarrow mathbb {Z}}$ в дальнейшем:

{ displaystyle T (n) = { begin {cases} { frac {nf (d_ {i})} {b}} & { text {if}} n Equiv i { bmod {b}}, 0 leq i

Если бы только периодическая точка из ${ displaystyle T}$ это фиксированная точка ${ displaystyle 0}$ , то набор всех представлений цифр со знаком целые числа ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ с помощью ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ дается Клини плюс ${ Displaystyle { mathcal {D}} ^ {+}}$ , множество всех конечных соединенный строки цифр ${ Displaystyle d_ {п} ldots d_ {0}}$ хотя бы с одной цифрой, с ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$ . Представление каждой подписанной цифры ${ displaystyle m in { mathcal {D}} ^ {+}}$ имеет оценка ${ displaystyle v _ { mathcal {D}}: { mathcal {D}} ^ {+} rightarrow mathbb {Z}}$

${ displaystyle v _ { mathcal {D}} (m) = sum _ {i = 0} ^ {n} f _ { mathcal {D}} (d_ {i}) b ^ {i}}$ .

Примеры включают сбалансированный тройной с цифрами ${ displaystyle { mathcal {D}} = lbrace { bar {1}}, 0,1 rbrace}$ .

В противном случае, если существует ненулевой периодическая точка из ${ displaystyle T}$ , то существуют целые числа, которые представлены бесконечным числом ненулевых цифр в ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ . Примеры включают стандарт десятичная система счисления с набором цифр ${ displaystyle operatorname {dec} = lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 rbrace}$ , что требует бесконечное число цифр ${ displaystyle 9}$ представлять Противоположное число ${ displaystyle -1}$ , так как ${ displaystyle T _ { operatorname {dec}} (- 1) = { frac {-1-9} {10}} = - 1}$ , а позиционная система счисления с набором цифр ${ displaystyle { mathcal {D}} = lbrace { text {A}}, 0,1 rbrace}$ с ${ displaystyle f ({ text {A}}) = - 4}$ , что требует бесконечного числа цифр ${ displaystyle { text {A}}}$ представлять число ${ displaystyle 2}$ , так как ${ displaystyle T _ { mathcal {D}} (2) = { frac {2 - (- 4)} {3}} = 2}$ .

Для десятичных дробей

Если целые числа могут быть представлены Клини плюс ${ Displaystyle { mathcal {D}} ^ {+}}$ , то набор всех представлений цифр со знаком десятичные дроби, или же ${ displaystyle b}$ -adic рациональные ${ displaystyle mathbb {Z} [1 обратная косая черта b]}$ , дан кем-то ${ Displaystyle { mathcal {Q}} = { mathcal {D}} ^ {+} times { mathcal {P}} times { mathcal {D}} ^ {*}}$ , то Декартово произведение из Клини плюс ${ Displaystyle { mathcal {D}} ^ {+}}$ , множество всех конечных соединенный строки цифр ${ Displaystyle d_ {п} ldots d_ {0}}$ хотя бы с одной цифрой, одиночка ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ состоящий из точка счисления ( ${ displaystyle.}$ или же ${ displaystyle,}$ ), а Клини звезда ${ Displaystyle { mathcal {D}} ^ {*}}$ , множество всех конечных соединенный строки цифр ${ displaystyle d _ {- 1} ldots d _ {- m}}$ , с ${ displaystyle m, n in mathbb {N}}$ . Представление каждой подписанной цифры ${ displaystyle q in { mathcal {Q}}}$ имеет оценка ${ displaystyle v _ { mathcal {D}}: { mathcal {Q}} rightarrow mathbb {Z} [1 backslash b]}$

${ displaystyle v _ { mathcal {D}} (q) = sum _ {i = -m} ^ {n} f _ { mathcal {D}} (d_ {i}) b ^ {i}}$

Для реальных чисел

Если целые числа могут быть представлены Клини плюс ${ Displaystyle { mathcal {D}} ^ {+}}$ , то набор всех представлений цифр со знаком действительные числа ${ Displaystyle mathbb {R}}$ дан кем-то ${ Displaystyle { mathcal {R}} = { mathcal {D}} ^ {+} times { mathcal {P}} times { mathcal {D}} ^ { mathbb {N}}}$ , то Декартово произведение из Клини плюс ${ Displaystyle { mathcal {D}} ^ {+}}$ , множество всех конечных соединенный строки цифр ${ Displaystyle d_ {п} ldots d_ {0}}$ хотя бы с одной цифрой, одиночка ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ состоящий из точка счисления ( ${ displaystyle.}$ или же ${ displaystyle,}$ ), а Канторовское пространство ${ Displaystyle { mathcal {D}} ^ { mathbb {N}}}$ , набор всех бесконечный соединенный строки цифр ${ displaystyle d _ {- 1} d _ {- 2} ldots}$ , с ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$ . Представление каждой подписанной цифры ${ displaystyle r in { mathcal {R}}}$ имеет оценка ${ displaystyle v _ { mathcal {D}}: { mathcal {R}} rightarrow mathbb {R}}$

${ displaystyle v _ { mathcal {D}} (r) = sum _ {i = - infty} ^ {n} f _ { mathcal {D}} (d_ {i}) b ^ {i}}$ .

В бесконечная серия всегда сходится к конечному действительному числу.

Для других систем счисления

Вся база- ${ displaystyle b}$ цифры могут быть представлены как подмножество ${ Displaystyle { mathcal {D}} ^ { mathbb {Z}}}$ , набор всех дважды бесконечные последовательности цифр в ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ , куда ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ это набор целые числа, а звенеть базы- ${ displaystyle b}$ цифры представлены кольцо формальной мощности ${ Displaystyle mathbb {Z} [[b, b ^ {- 1}]]}$ , дважды бесконечный ряд

${ displaystyle sum _ {я = - infty} ^ { infty} a_ {i} b ^ {i}}$

куда ${ displaystyle a_ {i} in mathbb {Z}}$ за ${ Displaystyle я в mathbb {Z}}$ .

Целые числа по модулю ${ displaystyle b ^ {n}}$

Набор всех представлений цифр со знаком целые числа по модулю ${ displaystyle b ^ {n}}$ , ${ displaystyle mathbb {Z} обратная косая черта b ^ {n} mathbb {Z}}$ дается множеством ${ Displaystyle { mathcal {D}} ^ {п}}$ , множество всех конечных соединенный строки цифр ${ Displaystyle d_ {п-1} ldots d_ {0}}$ длины ${ displaystyle n}$ , с ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$ . Представление каждой подписанной цифры ${ displaystyle m in { mathcal {D}} ^ {n}}$ имеет оценка ${ displaystyle v _ { mathcal {D}}: { mathcal {D}} ^ {n} rightarrow mathbb {Z} / b ^ {n} mathbb {Z}}$

${ Displaystyle v _ { mathcal {D}} (m) Equiv sum _ {i = 0} ^ {n-1} f _ { mathcal {D}} (d_ {i}) b ^ {i} { bmod {b}} ^ {n}}$

Прюфер группы

А Prüfer group это факторгруппа ${ displaystyle mathbb {Z} (b ^ { infty}) = mathbb {Z} [1 обратная косая черта b] / mathbb {Z}}$ целых чисел и ${ displaystyle b}$ -адические рациональные числа. Набор всех представлений цифр со знаком Prüfer group дается Клини звезда ${ Displaystyle { mathcal {D}} ^ {*}}$ , множество всех конечных соединенный строки цифр ${ Displaystyle d_ {1} ldots d_ {n}}$ , с ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$ . Представление каждой подписанной цифры ${ displaystyle p in { mathcal {D}} ^ {*}}$ имеет оценка ${ displaystyle v _ { mathcal {D}}: { mathcal {D}} ^ {*} rightarrow mathbb {Z} (b ^ { infty})}$

${ displaystyle v _ { mathcal {D}} (m) Equiv sum _ {i = 1} ^ {n} f _ { mathcal {D}} (d_ {i}) b ^ {- i} { bmod {1}}}$

Круговая группа

В круговая группа фактор-группа ${ Displaystyle mathbb {T} = mathbb {R} / mathbb {Z}}$ целых и действительных чисел. Набор всех представлений цифр со знаком круговая группа дается Канторовское пространство ${ Displaystyle { mathcal {D}} ^ { mathbb {N}}}$ , набор всех конкатенированных вправо бесконечных цепочек цифр ${ Displaystyle d_ {1} d_ {2} ldots}$ . Представление каждой подписанной цифры ${ displaystyle m in { mathcal {D}} ^ {n}}$ имеет оценка ${ displaystyle v _ { mathcal {D}}: { mathcal {D}} ^ { mathbb {N}} rightarrow mathbb {T}}$

${ displaystyle v _ { mathcal {D}} (m) Equiv sum _ {i = 1} ^ { infty} f _ { mathcal {D}} (d_ {i}) b ^ {- i} { bmod {1}}}$

В бесконечная серия всегда сходится.

${ displaystyle b}$ -адические целые числа

Набор всех представлений цифр со знаком ${ displaystyle b}$ -адические целые числа, ${ displaystyle mathbb {Z} _ {b}}$ дается Канторовское пространство ${ Displaystyle { mathcal {D}} ^ { mathbb {N}}}$ , набор всех бесконечных слева конкатенированных цепочек цифр ${ Displaystyle ldots d_ {1} d_ {0}}$ . Представление каждой подписанной цифры ${ displaystyle m in { mathcal {D}} ^ {n}}$ имеет оценка ${ displaystyle v _ { mathcal {D}}: { mathcal {D}} ^ { mathbb {N}} rightarrow mathbb {Z} _ {b}}$

${ displaystyle v _ { mathcal {D}} (m) = sum _ {i = 0} ^ { infty} f _ { mathcal {D}} (d_ {i}) b ^ {i}}$

${ displaystyle b}$ -адические соленоиды

Набор всех представлений цифр со знаком ${ displaystyle b}$ -адические соленоиды, ${ displaystyle mathbb {T} _ {b}}$ дается Канторовское пространство ${ Displaystyle { mathcal {D}} ^ { mathbb {Z}}}$ , набор всех вдвойне бесконечный конкатенированные строки цифр ${ Displaystyle ldots d_ {1} d_ {0} d _ {- 1} ldots}$ . Представление каждой подписанной цифры ${ displaystyle m in { mathcal {D}} ^ {n}}$ имеет оценка ${ displaystyle v _ { mathcal {D}}: { mathcal {D}} ^ { mathbb {Z}} rightarrow mathbb {T} _ {b}}$

${ displaystyle v _ { mathcal {D}} (m) = sum _ {i = - infty} ^ { infty} f _ { mathcal {D}} (d_ {i}) b ^ {i}}$

Письменным и устным языком

Устные и письменные формы чисел в Язык пенджаби используйте форму отрицательного числа, записанного как una или же ООН.^[8] Это отрицательное число используется для образования 19, 29,…, 89 из корня для 20, 30,…, 90. Явно вот числа:
19 унни, 20 вих, 21 икки
29 унатти, 30 ти, 31 икатти
39 унтали, 40 чали, 41 иктали
49 унанджа, 50 панджах, 51 икванжа
59 унахат, 60 сат, 61 икахат
69 унаттар, 70 саттар, 71 ихаттар
79 унаси, 80 асси, 81 икиаси
89 unanve, 90 nabbe, 91 ikinnaven.
Точно так же Сесото язык использует отрицательные числа для образования восьмерок и девяток.
8 robeli (/ Ro-bay-dee /), что означает «сломать два», то есть двумя пальцами вниз
9. Робонг (/ Ro-bong /) означает «сломать один», то есть на один палец вниз
в английский язык время обычно называют, например, «семь до трех», «до», выполняя отрицание.
Другие системы

Существуют и другие базы цифр со знаком, такие что база ${ displaystyle b neq b _ {+} + b _ {-} + 1}$ . Ярким примером этого является Кодирование будки, который имеет набор цифр ${ displaystyle { mathcal {D}} = lbrace { bar {1}}, 0,1 rbrace}$ с ${ displaystyle b _ {+} = 1}$ и ${ displaystyle b _ {-} = 1}$ , но который использует базу ${ displaystyle b = 2 <3 = b _ {+} + b _ {-} + 1}$ . Стандарт двоичная система счисления будет использовать только цифры значения ${ Displaystyle lbrace 0,1 rbrace}$ .
Обратите внимание, что нестандартные представления цифр со знаком не уникальны. Например:
${ displaystyle 0111 _ { mathcal {D}} = 4 + 2 + 1 = 7}$
${ displaystyle 10 { bar {1}} 1 _ { mathcal {D}} = 8-2 + 1 = 7}$
${ displaystyle 1 { bar {1}} 11 _ { mathcal {D}} = 8-4 + 2 + 1 = 7}$
${ displaystyle 100 { bar {1}} _ { mathcal {D}} = 8-1 = 7}$
В несмежная форма (NAF) кодирования Бута действительно гарантирует уникальное представление для каждого целочисленного значения. Однако это применимо только к целочисленным значениям. Например, рассмотрим следующие повторяющийся двоичный числа в NAF,
${ displaystyle { frac {2} {3}} = 0. { overline {10}} _ { mathcal {D}} = 1. { overline {0 { bar {1}}}} _ { mathcal {D}}}$
Смотрите также

Сбалансированный тройной
Отрицательная база
Избыточное двоичное представление
Примечания и ссылки

^ Дхананджай Пхатак, И. Корен (1994) Гибридные системы чисел со знаком: унифицированная структура для представления избыточных чисел с ограниченными цепями распространения переноса
^ Огюстен-Луи Коши (16 ноября 1840 г.) "Sur les moyens d'eviter les erreurs dans les calcs numerique", Comptes rendus 11: 789. Также найдено в Oevres завершает Сер. 1, т. 5. С. 434–42.
^ Кахори, Флориан (1993) [1928-1929]. История математических обозначений. Dover Publications. п.57. ISBN 978-0486677668.
^ Джон Колсон (1726) "Краткий отчет о Negativo-Affirmativo Arithmetik", Философские труды Королевского общества 34: 161–173. Доступен как Раннее содержание журнала из JSTOR
^ Эдуард Селлинг (1887) Eine neue Rechenmachine, стр. 15–18, Берлин
^ Рудольф Мехмке (1902) "Numerisches Rechen", §4 Beschränkung in den verwendeten Ziffern, Энциклопедия Кляйна, И-2, с. 944.
^ Хиршфельд, Дж. У. П. (1979). Проективные геометрии над конечными полями. Oxford University Press. п. 8. ISBN 978-0-19-850295-1.
^ Числа на панджаби из Quizlet
Дж. П. Балантин (1925) «Цифра для отрицания», Американский математический ежемесячный журнал 32:302.
Луи Хан, Дондонг Чен, Сок-Бум Ко, Хан А. Вахид «Неспекулятивный десятичный сумматор со знаком» от кафедры электротехники и вычислительной техники, Университет Саскачевана.

[1] Дхананджай Пхатак, И. Корен (1994) Гибридные системы чисел со знаком: унифицированная структура для представления избыточных чисел с ограниченными цепями распространения переноса

[2] Огюстен-Луи Коши (16 ноября 1840 г.) "Sur les moyens d'eviter les erreurs dans les calcs numerique", Comptes rendus 11: 789. Также найдено в Oevres завершает Сер. 1, т. 5. С. 434–42.

[3] Кахори, Флориан (1993) [1928-1929]. История математических обозначений. Dover Publications. п.57. ISBN 978-0486677668.

[4] Джон Колсон (1726) "Краткий отчет о Negativo-Affirmativo Arithmetik", Философские труды Королевского общества 34: 161–173. Доступен как Раннее содержание журнала из JSTOR

[5] Эдуард Селлинг (1887) Eine neue Rechenmachine, стр. 15–18, Берлин

[6] Рудольф Мехмке (1902) "Numerisches Rechen", §4 Beschränkung in den verwendeten Ziffern, Энциклопедия Кляйна, И-2, с. 944.

[7] Хиршфельд, Дж. У. П. (1979). Проективные геометрии над конечными полями. Oxford University Press. п. 8. ISBN 978-0-19-850295-1.

[8] Числа на панджаби из Quizlet

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]